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【摘要】在数学学习中，理解是第一位的。理解有其丰富的内涵和不同的层次：工具性理解、关系性理解和创新性理解。数学学习中的理解有其显性特征：自然的表达、个性的创造、主动的联结和灵活的应用。理解取决于个人特定情况下的学习过程：在问题情境中理解，在结构联系中理解，在变式比较中理解，在活动体验中理解，在应用解释中理解。
【关键词】促进理解;内涵解读;显性特征;策略建构
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）29-0025-03
【作者简介】仇学春，南京市琅琊路小学（南京，210024）级部主任，一级教师，南京市数学学科带头人，曾获全国中小学信息技术创新与实践活动网络教研团队竞赛特等奖。
在数学学习中，理解是第一位的。数学理解是学生获得数学对象意义的关键。可以说，没有理解，学生就没有深刻的思维;没有理解，数学知识的运用就无从谈起;没有理解，数学教育也就没有了意义。
一、内涵解读：走向理解的原点
理解是我们在日常教学中经常使用的词汇。通常，我们会把“理解”简单地认为是“听懂了”或者“会做了”。实际上，数学学习中的理解有其丰富的内涵。
美国心理学家大卫·帕金斯认为，所谓理解，是指个体可以运用信息做事情，而不是他们记得什么。当学生理解事物时，他们可以用自己的话来解释概念，在新的情境中能够适当地运用信息，做出具有创新性的比喻及推论。[1]显然，他对理解的界定源于认知心理学对理解的界定，都是以信息的内部表征作为解释的基础。
华东师范大学李士锜教授认为：学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了。[2]
英国数学心理学家R.斯根普认为理解有两个不同的层次：工具性理解和关系性理解。[3]工具性理解的教学较容易在短期内，以及有限（特别是与最初的学习情境相似）的活动范围内产生明显的效果，但不利于学生在全新的情境中应用该知识（即迁移），不利于他们对整个生存环境的理解，也就不利于其长期的发展。只有从工具性理解达到关系性理解的层次，个体才能把握数学对象的本质。关系型理解的标志有以下特征：揭示知识发生的过程，进行逻辑分析，提升为数学思想方法，形成自身的认知结构。关系型理解更深一步会进入创新性理解的层次，所谓创新性理解，就是在认识知识结构本身的基础上，对已有知识进行提高、推广和拓展，或对某种操作进行更新和改变。[4]
二、显性特征：走向理解的支撑点
教师可利用学生的外部表现来判断学生是否理解了数学知识。学生理解数学知识的重要标志是他们能把语言表达、实际操作和具体运用这三者结合起来，从对数学对象表层的理解上升到对数学对象本质的把握。
哈佛大学也提出了理解的四个维度和它们的特征：（1）知识：转换过的直觉认识;连贯的、丰富的知识网络。（2）方法：建设性的质疑;构建领域内的知识;验证领域内的知识。（3）目标：知道所学知识的用途;运用所学知识;内化知识，并能够独自灵活运用。（4）形式：掌握了不同类型的表征方式;有效运用不同类型知识的符号系统;能够根据不同的对象和情境提示进行思考。教师要捕捉学生学习的外在表现，学会判断学生是否理解了所学。
基于上述对理解的维度和特征的认识，笔者认为，在数学教学中加强学生对数学知识理解的主要途径有：加强新旧知识间的联系，抓变式与比较，抓反思，加强数学知识的系统化，抓灵活运用，培养学生对数学方法的理解，等等。数学学习中的理解需要关注以下显性特征：
1.自然的表达。
记忆是理解的基础，而表达是记忆的基本方法。通过学生的表达，教师可以了解学生对知识理解的程度，使得学生对数学知识理解的缺陷得以暴露并得到纠正。对同一知识，每个学生都有不同角度、不同层次的理解，从而自发地产生数学学习的内部需要。
2.个性的创造。
学习不是纯粹的模仿或记忆，要通过合理的数学活动为学生提供探索知识的时间和机会，让学生经历知识的“再创造”过程。Carpenter、Resnick等人的研究表明，数学理解有助于发明创造。他们认为：丰富的内部知识网络容易激活、引导和检验，这是创造与发明的基础，而完善的图式建构依赖于理解。[5]
3.主动的联结。
理解数学知识既包括认识这个知识的本质属性，也包括掌握它与其他知识之间的联系。要对知识形成深刻的、真正的理解，学习者获得的知识就应该是结构化的、整合性的，而不是零碎的。零散无序的知识会使学生头脑混乱，就题论题、不讲联系会使学生的理解停留在低层次的水平，数学教学应努力让学生的认知结构系统化。
4.灵活的应用。
对数学知识的灵活运用既是对是否理解了数学知识的一种检验，也是深入理解数学知识的一种方法。因此，这是对数学理解的深层次促进。在解决问题的过程中，特别是解题思路受阻时，要灵活地转化题目中的条件和结论，以便更深刻地理解题目的含义。这样，久而久之，学生对知识点的理解就会更加灵活，最终发挥它们的动态效应。
三、策略建构：走向理解的生长点
建构主义学说认为：数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外。那么，真正的理解只能由学习者自身基于自己的经验背景建构起来。理解取决于学生个体特定情况下的学习活动过程，否则就是死记硬背或生吞活剥，是被动的、复制式的学习。可以从以下几个方面着手来促进学生的数学理解：
1.情境：在问题中理解。
问题情境作为一种以激发学生的问题意识为价值取向的数据材料和背景信息，是从事数学活动的环境，是产生数学行为的条件，推动着学习者不断进行更加深入的理解。
教学苏教版五下《圆的认识》，可以创设套圈游戏的情境，让学生思考：同学们站成一排套圈公平吗？如果让你来设计，怎样玩才公平呢？学生根据自身灵活而多样的经验进行多元化的表征，在情境中认识“定点”和“定长”，初步体验圆是什么。套圈的情境为学生认识圆提供了脚手架，成为推动学生不断深化理解的深层次力量。 2.联系：在结构中理解。
本文中的理解，是指在学生头脑中形成关于该数学知识的内部网络，使数学知识与已有的认知结构建立起联系。
教学苏教版六上《分数乘整数》，学生自主探究 ×3为什么等于 时，可能有以下几种想法：
（1）画图理解：
（2）转化为分数加法：
×3= = =
（3）转化为整数除法：
×3=3÷10×3=3×3÷10=
（4）转化为小数：
×3=0.3×3=0.9=
四种方法出来后，学生大多不知道它们之间的内在联系，这时就需要教师的引导：这些方法有什么相同的地方呢？都是在算什么？引导学生分析不同的方法都是在算3×3，算出来是9个 ，也就是 ，使学生把理解算理和抽象算法融合在一起，把分数、整数、小数有效地联系起来。
3.变式：在比较中理解。
变式问题的设计一方面可以评判学生对数学知识的本质是否达到了较为深刻的理解，同时也可以在问题解决的过程中深化学生对数学本质的认识。
教学苏教版五下《真分数和假分数》时，可以设计这样一个变式练习：
（1）在分数 的（
【关键词】促进理解;内涵解读;显性特征;策略建构
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）29-0025-03
【作者简介】仇学春，南京市琅琊路小学（南京，210024）级部主任，一级教师，南京市数学学科带头人，曾获全国中小学信息技术创新与实践活动网络教研团队竞赛特等奖。
在数学学习中，理解是第一位的。数学理解是学生获得数学对象意义的关键。可以说，没有理解，学生就没有深刻的思维;没有理解，数学知识的运用就无从谈起;没有理解，数学教育也就没有了意义。
一、内涵解读：走向理解的原点
理解是我们在日常教学中经常使用的词汇。通常，我们会把“理解”简单地认为是“听懂了”或者“会做了”。实际上，数学学习中的理解有其丰富的内涵。
美国心理学家大卫·帕金斯认为，所谓理解，是指个体可以运用信息做事情，而不是他们记得什么。当学生理解事物时，他们可以用自己的话来解释概念，在新的情境中能够适当地运用信息，做出具有创新性的比喻及推论。[1]显然，他对理解的界定源于认知心理学对理解的界定，都是以信息的内部表征作为解释的基础。
华东师范大学李士锜教授认为：学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的、有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了。[2]
英国数学心理学家R.斯根普认为理解有两个不同的层次：工具性理解和关系性理解。[3]工具性理解的教学较容易在短期内，以及有限（特别是与最初的学习情境相似）的活动范围内产生明显的效果，但不利于学生在全新的情境中应用该知识（即迁移），不利于他们对整个生存环境的理解，也就不利于其长期的发展。只有从工具性理解达到关系性理解的层次，个体才能把握数学对象的本质。关系型理解的标志有以下特征：揭示知识发生的过程，进行逻辑分析，提升为数学思想方法，形成自身的认知结构。关系型理解更深一步会进入创新性理解的层次，所谓创新性理解，就是在认识知识结构本身的基础上，对已有知识进行提高、推广和拓展，或对某种操作进行更新和改变。[4]
二、显性特征：走向理解的支撑点
教师可利用学生的外部表现来判断学生是否理解了数学知识。学生理解数学知识的重要标志是他们能把语言表达、实际操作和具体运用这三者结合起来，从对数学对象表层的理解上升到对数学对象本质的把握。
哈佛大学也提出了理解的四个维度和它们的特征：（1）知识：转换过的直觉认识;连贯的、丰富的知识网络。（2）方法：建设性的质疑;构建领域内的知识;验证领域内的知识。（3）目标：知道所学知识的用途;运用所学知识;内化知识，并能够独自灵活运用。（4）形式：掌握了不同类型的表征方式;有效运用不同类型知识的符号系统;能够根据不同的对象和情境提示进行思考。教师要捕捉学生学习的外在表现，学会判断学生是否理解了所学。
基于上述对理解的维度和特征的认识，笔者认为，在数学教学中加强学生对数学知识理解的主要途径有：加强新旧知识间的联系，抓变式与比较，抓反思，加强数学知识的系统化，抓灵活运用，培养学生对数学方法的理解，等等。数学学习中的理解需要关注以下显性特征：
1.自然的表达。
记忆是理解的基础，而表达是记忆的基本方法。通过学生的表达，教师可以了解学生对知识理解的程度，使得学生对数学知识理解的缺陷得以暴露并得到纠正。对同一知识，每个学生都有不同角度、不同层次的理解，从而自发地产生数学学习的内部需要。
2.个性的创造。
学习不是纯粹的模仿或记忆，要通过合理的数学活动为学生提供探索知识的时间和机会，让学生经历知识的“再创造”过程。Carpenter、Resnick等人的研究表明，数学理解有助于发明创造。他们认为：丰富的内部知识网络容易激活、引导和检验，这是创造与发明的基础，而完善的图式建构依赖于理解。[5]
3.主动的联结。
理解数学知识既包括认识这个知识的本质属性，也包括掌握它与其他知识之间的联系。要对知识形成深刻的、真正的理解，学习者获得的知识就应该是结构化的、整合性的，而不是零碎的。零散无序的知识会使学生头脑混乱，就题论题、不讲联系会使学生的理解停留在低层次的水平，数学教学应努力让学生的认知结构系统化。
4.灵活的应用。
对数学知识的灵活运用既是对是否理解了数学知识的一种检验，也是深入理解数学知识的一种方法。因此，这是对数学理解的深层次促进。在解决问题的过程中，特别是解题思路受阻时，要灵活地转化题目中的条件和结论，以便更深刻地理解题目的含义。这样，久而久之，学生对知识点的理解就会更加灵活，最终发挥它们的动态效应。
三、策略建构：走向理解的生长点
建构主义学说认为：数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外。那么，真正的理解只能由学习者自身基于自己的经验背景建构起来。理解取决于学生个体特定情况下的学习活动过程，否则就是死记硬背或生吞活剥，是被动的、复制式的学习。可以从以下几个方面着手来促进学生的数学理解：
1.情境：在问题中理解。
问题情境作为一种以激发学生的问题意识为价值取向的数据材料和背景信息，是从事数学活动的环境，是产生数学行为的条件，推动着学习者不断进行更加深入的理解。
教学苏教版五下《圆的认识》，可以创设套圈游戏的情境，让学生思考：同学们站成一排套圈公平吗？如果让你来设计，怎样玩才公平呢？学生根据自身灵活而多样的经验进行多元化的表征，在情境中认识“定点”和“定长”，初步体验圆是什么。套圈的情境为学生认识圆提供了脚手架，成为推动学生不断深化理解的深层次力量。 2.联系：在结构中理解。
本文中的理解，是指在学生头脑中形成关于该数学知识的内部网络，使数学知识与已有的认知结构建立起联系。
教学苏教版六上《分数乘整数》，学生自主探究 ×3为什么等于 时，可能有以下几种想法：
（1）画图理解：
（2）转化为分数加法：
×3= = =
（3）转化为整数除法：
×3=3÷10×3=3×3÷10=
（4）转化为小数：
×3=0.3×3=0.9=
四种方法出来后，学生大多不知道它们之间的内在联系，这时就需要教师的引导：这些方法有什么相同的地方呢？都是在算什么？引导学生分析不同的方法都是在算3×3，算出来是9个 ，也就是 ，使学生把理解算理和抽象算法融合在一起，把分数、整数、小数有效地联系起来。
3.变式：在比较中理解。
变式问题的设计一方面可以评判学生对数学知识的本质是否达到了较为深刻的理解，同时也可以在问题解决的过程中深化学生对数学本质的认识。
教学苏教版五下《真分数和假分数》时，可以设计这样一个变式练习：
（1）在分数 的（