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摘 要：本文研究了一类具有微分易感群的SIR 传染病模型（易感者，感病者，移出者），并对其多个并行感染状态做了分析。根据其危险行为的发病率，易感个体被分为n个组别；而据其感染性问题，感染个体被分为m个组别。通过对该模型的定性分析，获得了一个基本再生数R0，而后又证明了当R0≤1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当且仅当R0>1时，存在地方平衡点，且是唯一的。文章最后给出了两组数值实例并证明了结论的准确性。
关键词：微分易感群；多个并行感染状态；基本再生数；全局稳定性
1. 引言
传染性疾病一直以来就是危害人类的大敌。早在1927年，Kermack 和 McKendrick 就提出了著名的SIR模型。随后，数学模型便作为一种重要且强大的工具广泛应用于传染性疾病的出现与重现的动态分析中。根据传染性疾病所处的异同渐近感染阶段（如 SIR，SEIR），许多模型通常把实验群体分成不同组别。对于传染性疾病，其存在于主体内部的一种病毒的危险行为是不同的，或者说是对于感染个体的活动水平也是不同的。同样的，对于感染个体的干预或者说易感个体对感染个体的满足程度因也是不同的。因此，为了更好的研究传染病动力学，这两种个体应该被分成不同组别。
在本文中易感个体根据疾病的敏感性，感染个体根据多个并行感染阶段被分为不同组别。而疾病传播分别发生在不同的易感病毒间和不同的感染病毒间。所以，我们假定，不同易感组别中的一个易感个体进入一个已感染组别的方式是相同的。接下来本文对该模型和其再生数做了相关描述；下一章还对传染病动力学做了详尽阐述；第四章给出了许多数值实例；第五章是对本文的简短总结和讨论。
2. SIR模型和基本再生数
常微分方程的传输模型：
（1）
由于变量Rj不出现在第一个的两个方程中，我们可以工作在减少系统如下：
（2）
很容易看出，（2）有一个无病平衡点 ，在
应用新一代法和再生数的概念[ 10，11 ]，我们定义
因此，与新矩阵KL由下式给出
KL的主要特征值是等于再现数R0，其由下式给出
3. 模型的动力学分析
在模型的分析，对最大不变集的一个简短的讨论如（2）所示的。从第一个方程（2），我们有
4 结论和讨论
参考文献
[1] W. O. Kermack， A. G. McKendrick， A contribution to the mathematical theory of epidemics， Proc. R. Soc. A， 115 （1927） 700-721.
[2] D. Okuonghae， A. Korobeinikov， Dynamics of tuberculosis： the effect of direct observation therapy strategy （DOTS） in Nageria， Math. Model. Nat. Pheno. 2（1） （2006） 99-111.
[3] G. Francois， M. Kew， P. Van Damme， M.J. Mphahlele， and A. Meheus，Mutant hepatitis B viruses： A matter of academic interest only or a problem with far-reaching implications， Vaccine， 19 （2001） 3799-3815.
[4] J.M. Hyman and Jia Li， An intuitive formulation for the reproductive number for the spread of diseases in heterogeneous populations， Math.Biosci. 167 （2000）， 65-86.
[5] A. Fall， A. Iggidr， G. Sallet， JJ. Tewa， Epidemiological models and Lyapunov functions. Math. Model. Nat. Pheno， 2 （2007） 55-73.
作者简介：申笑然（1990-），女，北京人，在读硕士研究生，从事生物数学研究。
关键词：微分易感群；多个并行感染状态；基本再生数；全局稳定性
1. 引言
传染性疾病一直以来就是危害人类的大敌。早在1927年，Kermack 和 McKendrick 就提出了著名的SIR模型。随后，数学模型便作为一种重要且强大的工具广泛应用于传染性疾病的出现与重现的动态分析中。根据传染性疾病所处的异同渐近感染阶段（如 SIR，SEIR），许多模型通常把实验群体分成不同组别。对于传染性疾病，其存在于主体内部的一种病毒的危险行为是不同的，或者说是对于感染个体的活动水平也是不同的。同样的，对于感染个体的干预或者说易感个体对感染个体的满足程度因也是不同的。因此，为了更好的研究传染病动力学，这两种个体应该被分成不同组别。
在本文中易感个体根据疾病的敏感性，感染个体根据多个并行感染阶段被分为不同组别。而疾病传播分别发生在不同的易感病毒间和不同的感染病毒间。所以，我们假定，不同易感组别中的一个易感个体进入一个已感染组别的方式是相同的。接下来本文对该模型和其再生数做了相关描述；下一章还对传染病动力学做了详尽阐述；第四章给出了许多数值实例；第五章是对本文的简短总结和讨论。
2. SIR模型和基本再生数
常微分方程的传输模型：
（1）
由于变量Rj不出现在第一个的两个方程中，我们可以工作在减少系统如下：
（2）
很容易看出，（2）有一个无病平衡点 ，在
应用新一代法和再生数的概念[ 10，11 ]，我们定义
因此，与新矩阵KL由下式给出
KL的主要特征值是等于再现数R0，其由下式给出
3. 模型的动力学分析
在模型的分析，对最大不变集的一个简短的讨论如（2）所示的。从第一个方程（2），我们有
4 结论和讨论
参考文献
[1] W. O. Kermack， A. G. McKendrick， A contribution to the mathematical theory of epidemics， Proc. R. Soc. A， 115 （1927） 700-721.
[2] D. Okuonghae， A. Korobeinikov， Dynamics of tuberculosis： the effect of direct observation therapy strategy （DOTS） in Nageria， Math. Model. Nat. Pheno. 2（1） （2006） 99-111.
[3] G. Francois， M. Kew， P. Van Damme， M.J. Mphahlele， and A. Meheus，Mutant hepatitis B viruses： A matter of academic interest only or a problem with far-reaching implications， Vaccine， 19 （2001） 3799-3815.
[4] J.M. Hyman and Jia Li， An intuitive formulation for the reproductive number for the spread of diseases in heterogeneous populations， Math.Biosci. 167 （2000）， 65-86.
[5] A. Fall， A. Iggidr， G. Sallet， JJ. Tewa， Epidemiological models and Lyapunov functions. Math. Model. Nat. Pheno， 2 （2007） 55-73.
作者简介：申笑然（1990-），女，北京人，在读硕士研究生，从事生物数学研究。