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摘要：本文从师生共同分析一道几何概型习题时发生的思维“碰撞”入手，提出教师应重视有益的“意外”，营造良好的民主课堂气氛，有效地启发学生，使学生能找到问题的根源，升化对知识的理解．
关键词：几何概型；等可能性；反思
案例背景
新课程数学必修3的概率部分增添了几何概型内容，使样本空间从有限变成了无限． 新的内容对教师来说更具有挑战性． 几何概型有两个特征：（1）在一次随机试验中，不同的试验结果（基本事件）有无限多个（无限性）；（2）每一个基本事件发生的可能性相同（等可能性）． 一般来说，当基本事件的个数为无限时，会出现一些本质性的困难，使问题不像有限的情况那样容易解决，特别是对几何概型的“等可能性”的理解． 事实上，对“等可能性”的理解与否，直接影响了对几何概型概念的理解．
案例过程
习题若a，b是从（0，6）中任取的两个数，求构成以a，b为直角边，且c<6的直角三角形的概率．
学生陷入深思中． 我环绕教室一周，发现学生A已快速地完成了问题，于是叫她上台板演. 学生A的解法我很满意． 解答过程为：（a，b）可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为U=｛（ａ，ｂ）0 师：A同学是利用了几何概型的公式来解决. 为什么是几何概型呢？
“因为它满足了几何概型的无限性与等可能性”，同学们异口同声地回答．
师：非常好！看来同学们理解了几何概型的概念．
“没问题吧？”我习惯性地问了一下．
“有”，突然学生B连手都不举就在下面激动地大喊一声．
“我的解法与同学A大同小异，但最后的结果却差之千里！不知问题出在哪里？”学生B一脸的疑惑．
学生B给出了下面的解答：
试验的全部结果所构成的区域为U=｛（ａ，ｂ）0 A=｛（ａ，ｂ）0＜ａ2＋ｂ2＜36，0＜ａ＜6，0＜ｂ＜6｝． 作变换u=a2，v=b2，则U=｛（ｕ，ｖ）0＜ｕ＜36，0＜ｖ＜36｝，这样的点（ｕ，ｖ）也是一个正方形区域，面积为SU=36×36． 此时，A=｛（ｕ，ｖ）0＜ｕ＋ｖ＜36，0＜ｕ＜36，0＜ｖ＜36｝. 组成区域D（如图2中的阴影部分），则P（Ａ）＝．
看着黑板上同学B的解答过程，大家都愣了，接着教室里就闹开了，“奇怪！这种解法似乎也合情合理，到底错在哪儿呢？”同学们低声议论着.
“问题肯定在变换，经过换元变换后，范围变了，不等价了……”这是同学们讨论后所作出的直觉判断，似懂非懂的． 不可否认，大家都坚信学生A的解法没问题，但没有一位同学能讲清学生B的解法的问题所在．
我一下子也懵了． 由于还要继续讲授下面的内容，完成教学任务，更由于这是我课前没预料到的，我真想随和同学们的直觉判断，敷衍过去． 但新课程理念告诫我：“教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重．”
经过冷静的思考，我隐隐约约感觉到问题的所在，但不露声色. “这不是引导学生进一步理解几何概型概念的好机会吗？”我心里暗喜，我要让学生自己去发现．
师：大家都坚信B同学的这种变换导致了问题的发生？
生：（异口同声）对！
师：那问题出在哪儿呢？
大家继续思考着，比划着，但不见进展.
师：同学B在换元后，还是利用了几何概型的公式（区域面积的比值）来解决的. 大家认为这样妥当吗？
师：（拉长了声音）除非……
生：变换后还是符合几何概型的要求！
师：对极了！符合吗？
学生陷入了沉思……
师：几何概型是一个均匀分布模型． 按这一要求，大家来审视一下学生B的做法．
教室里又是一片寂静……
“变换后的点（ｕ，ｖ）落在正方形区域内各点处不是等可能的”，寂静的教室传来了学生C那熟悉的声音.
学生C是班级的数学科代表，是一位善于思考、敢于发言的男生.
师：（顿了顿）学生C真是一个爱思考的学生，他为何会作出这样的判断？让我们共同来听一听，好吗？
生C：（有点不自信）老师，我这样解释不知行不行.
生C：先将（0，6）区间上的随机数分为（0，3）和［3，6）两部分，显然这两部分出现的数是等可能的. 按同学B所作的变换，若a∈（0，3），则u∈（0，9）；若a∈［3，6），则u∈［9，36），这样在区间（0，36）上产生的数u就不是均匀分布的． 同理，数v在区间（0，36）上也不是均匀分布的． 从而，点（ｕ，ｖ）落在正方形区域内各点处不是等可能的．
我为学生C的这种解释不禁拍案叫绝，当然，这也引来了其他同学的片片喝彩……
大家都有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.
疑惑的解决，使同学们兴奋不已，大家意犹未尽，学生D又有想法了.
生D：我们教材上的例题都有对均匀随机数进行变换，比如例4利用随机模拟方法计算y=1和y=x2所围成的部分的面积（人教版必修3第140页）. 在正确解答中，其中第一步是利用计算器或计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，a1=RAND，b=RAND；第二步进行平移和伸缩变换，a=2a1－1. 变换的目的是将一组（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数. 我若作如下变换：a=2a-1，虽然也能保证将（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数，但这种变换也是不符合几何概型的要求，对吗？
还未等我回答，学生E又发言了.
生E：老师，这种对应关系很多，我如果作变换a=+3，也不可以吧？
学生们的提问使我又吃惊又内疚. 吃惊的是他们出色的表现，内疚的是自己对教材的解读不够，导致对例题的处理过于粗糙，没有真正挖掘其内在的知识，造成学生对“平移和伸缩变换”只知其然，不知其所以然.
师：同学们讲得非常有道理！将（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数，这种变换不是唯一的，你们虽然保证了（0，1）区间与（－1，1）区间上的数一一对应，但这种变换都不符合几何概型中“等可能性”的要求.
经过同学们的认真思考与讨论，大家终于对教材上“进行平移与伸缩变化”这句话知其所以然了，并进一步理解了几何概型的“等可能性”.
案例反思
社会建构主义理论认为：学生只有参与教学实践，参与问题探究，才能建立起自己的认知结构，才能灵活地运用所学知识解决实际问题，才能有发展、有创新． 因此，在课堂教学中，老师们应该做到以下三点.
1.?摇 教师要善待学生的发问
李政道教授说过：“我们学习知识，目的是要做‘学问’，学习，就是学习问问题，学习怎样问问题．”因此，我们不仅要正确对待学生的哪怕是奇思妙想的发问，而且要鼓励、指导学生积极、大胆地去提出问题，有的放矢地引导学生分析问题、发现探索． 不能为了所谓的“教学任务”，敷衍了事，更不能为了所谓的“师道尊严”，扼杀学生的创新意识．
2.?摇 教师要善于利用错误，加强“反思能力”的培养
建构主义学习观认为：学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提． 因此，在教学活动中，教师要善于抓住学生犯错的机会，并及时引发这种“观念冲突”，让学生以己之矛攻己以盾，在集体讨论中以集体反思的力量强化个人的反思，促使学生进行再认识，以求得新的深刻理解． 只要我们把来自学生的错误当作一种宝贵的课程资源加以研究、开发和利用，进行制错教学，就可以取得良好的教学效果.
3．?摇 教师要充分挖掘教材例（习）题的教学功能
新课程标准下，教材只是提供了基本的教学素材，并非教学内容的全部，例（习）题又是数学教材的重要组成部分，其解答过程不仅是数学概念、定理、性质、公式等知识的简单应用示范过程，更重要的是数学思维活动的逐步展示过程，是数学思想方法的具体体现过程. 因此，只有吃透课本上的例（习）题，才能有利于全面、系统地掌握数学基础知识，熟练掌握数学基本方法，以不变应万变． 因此，教师要认真对待教材例（习）题教学，特别是一些概念题，不能含糊. 我们要通过例（习）题教学，促使学生强化对概念的理解，让学生既要知其然又要知其所以然．
关键词：几何概型；等可能性；反思
案例背景
新课程数学必修3的概率部分增添了几何概型内容，使样本空间从有限变成了无限． 新的内容对教师来说更具有挑战性． 几何概型有两个特征：（1）在一次随机试验中，不同的试验结果（基本事件）有无限多个（无限性）；（2）每一个基本事件发生的可能性相同（等可能性）． 一般来说，当基本事件的个数为无限时，会出现一些本质性的困难，使问题不像有限的情况那样容易解决，特别是对几何概型的“等可能性”的理解． 事实上，对“等可能性”的理解与否，直接影响了对几何概型概念的理解．
案例过程
习题若a，b是从（0，6）中任取的两个数，求构成以a，b为直角边，且c<6的直角三角形的概率．
学生陷入深思中． 我环绕教室一周，发现学生A已快速地完成了问题，于是叫她上台板演. 学生A的解法我很满意． 解答过程为：（a，b）可以看成平面中的点． 试验的全部结果所构成的区域为U=｛（ａ，ｂ）0
“因为它满足了几何概型的无限性与等可能性”，同学们异口同声地回答．
师：非常好！看来同学们理解了几何概型的概念．
“没问题吧？”我习惯性地问了一下．
“有”，突然学生B连手都不举就在下面激动地大喊一声．
“我的解法与同学A大同小异，但最后的结果却差之千里！不知问题出在哪里？”学生B一脸的疑惑．
学生B给出了下面的解答：
试验的全部结果所构成的区域为U=｛（ａ，ｂ）0
看着黑板上同学B的解答过程，大家都愣了，接着教室里就闹开了，“奇怪！这种解法似乎也合情合理，到底错在哪儿呢？”同学们低声议论着.
“问题肯定在变换，经过换元变换后，范围变了，不等价了……”这是同学们讨论后所作出的直觉判断，似懂非懂的． 不可否认，大家都坚信学生A的解法没问题，但没有一位同学能讲清学生B的解法的问题所在．
我一下子也懵了． 由于还要继续讲授下面的内容，完成教学任务，更由于这是我课前没预料到的，我真想随和同学们的直觉判断，敷衍过去． 但新课程理念告诫我：“教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重．”
经过冷静的思考，我隐隐约约感觉到问题的所在，但不露声色. “这不是引导学生进一步理解几何概型概念的好机会吗？”我心里暗喜，我要让学生自己去发现．
师：大家都坚信B同学的这种变换导致了问题的发生？
生：（异口同声）对！
师：那问题出在哪儿呢？
大家继续思考着，比划着，但不见进展.
师：同学B在换元后，还是利用了几何概型的公式（区域面积的比值）来解决的. 大家认为这样妥当吗？
师：（拉长了声音）除非……
生：变换后还是符合几何概型的要求！
师：对极了！符合吗？
学生陷入了沉思……
师：几何概型是一个均匀分布模型． 按这一要求，大家来审视一下学生B的做法．
教室里又是一片寂静……
“变换后的点（ｕ，ｖ）落在正方形区域内各点处不是等可能的”，寂静的教室传来了学生C那熟悉的声音.
学生C是班级的数学科代表，是一位善于思考、敢于发言的男生.
师：（顿了顿）学生C真是一个爱思考的学生，他为何会作出这样的判断？让我们共同来听一听，好吗？
生C：（有点不自信）老师，我这样解释不知行不行.
生C：先将（0，6）区间上的随机数分为（0，3）和［3，6）两部分，显然这两部分出现的数是等可能的. 按同学B所作的变换，若a∈（0，3），则u∈（0，9）；若a∈［3，6），则u∈［9，36），这样在区间（0，36）上产生的数u就不是均匀分布的． 同理，数v在区间（0，36）上也不是均匀分布的． 从而，点（ｕ，ｖ）落在正方形区域内各点处不是等可能的．
我为学生C的这种解释不禁拍案叫绝，当然，这也引来了其他同学的片片喝彩……
大家都有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.
疑惑的解决，使同学们兴奋不已，大家意犹未尽，学生D又有想法了.
生D：我们教材上的例题都有对均匀随机数进行变换，比如例4利用随机模拟方法计算y=1和y=x2所围成的部分的面积（人教版必修3第140页）. 在正确解答中，其中第一步是利用计算器或计算机产生两组0~1区间的均匀随机数，a1=RAND，b=RAND；第二步进行平移和伸缩变换，a=2a1－1. 变换的目的是将一组（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数. 我若作如下变换：a=2a-1，虽然也能保证将（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数，但这种变换也是不符合几何概型的要求，对吗？
还未等我回答，学生E又发言了.
生E：老师，这种对应关系很多，我如果作变换a=+3，也不可以吧？
学生们的提问使我又吃惊又内疚. 吃惊的是他们出色的表现，内疚的是自己对教材的解读不够，导致对例题的处理过于粗糙，没有真正挖掘其内在的知识，造成学生对“平移和伸缩变换”只知其然，不知其所以然.
师：同学们讲得非常有道理！将（0，1）区间上的随机数变换为（－1，1）区间上的数，这种变换不是唯一的，你们虽然保证了（0，1）区间与（－1，1）区间上的数一一对应，但这种变换都不符合几何概型中“等可能性”的要求.
经过同学们的认真思考与讨论，大家终于对教材上“进行平移与伸缩变化”这句话知其所以然了，并进一步理解了几何概型的“等可能性”.
案例反思
社会建构主义理论认为：学生只有参与教学实践，参与问题探究，才能建立起自己的认知结构，才能灵活地运用所学知识解决实际问题，才能有发展、有创新． 因此，在课堂教学中，老师们应该做到以下三点.
1.?摇 教师要善待学生的发问
李政道教授说过：“我们学习知识，目的是要做‘学问’，学习，就是学习问问题，学习怎样问问题．”因此，我们不仅要正确对待学生的哪怕是奇思妙想的发问，而且要鼓励、指导学生积极、大胆地去提出问题，有的放矢地引导学生分析问题、发现探索． 不能为了所谓的“教学任务”，敷衍了事，更不能为了所谓的“师道尊严”，扼杀学生的创新意识．
2.?摇 教师要善于利用错误，加强“反思能力”的培养
建构主义学习观认为：学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提． 因此，在教学活动中，教师要善于抓住学生犯错的机会，并及时引发这种“观念冲突”，让学生以己之矛攻己以盾，在集体讨论中以集体反思的力量强化个人的反思，促使学生进行再认识，以求得新的深刻理解． 只要我们把来自学生的错误当作一种宝贵的课程资源加以研究、开发和利用，进行制错教学，就可以取得良好的教学效果.
3．?摇 教师要充分挖掘教材例（习）题的教学功能
新课程标准下，教材只是提供了基本的教学素材，并非教学内容的全部，例（习）题又是数学教材的重要组成部分，其解答过程不仅是数学概念、定理、性质、公式等知识的简单应用示范过程，更重要的是数学思维活动的逐步展示过程，是数学思想方法的具体体现过程. 因此，只有吃透课本上的例（习）题，才能有利于全面、系统地掌握数学基础知识，熟练掌握数学基本方法，以不变应万变． 因此，教师要认真对待教材例（习）题教学，特别是一些概念题，不能含糊. 我们要通过例（习）题教学，促使学生强化对概念的理解，让学生既要知其然又要知其所以然．