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【摘要】数学思想的渗透极其重要，思想可以激活思维，可以让孩子拥有看清世界的眼睛。作为儿童成长的引领者，我们要走进教材，让数学思想浸入课堂的每一个细节，润泽学生的灵性。我们要走近儿童，让数学思想潜入儿童的每一次活动，开启学生的智能。有效渗透数学思想需让思想浸润我们的认识，让思想贴近我们的预设，让思想融汇在我们的课堂。
【关键词】数学思想 数学素养 数学教学
尽管我们强调在数学教学中，过程比结果要彰显出更大价值，了解“知其然，知其所以然”的重要性，但在实际教学中，或多或少还是存在受传统观念的影响，割裂了结果和过程，使过程和结果避重就轻，且看下面的两个例子。
一、教学割裂：数学活动结果和过程的错位现象
1.推波助澜式的过程与拔苗助长式的结果
五年级的数学还原问题策略，老师出示了“小明将邮票的一半多2张给了小红，还剩下30张，小明原来有多少张邮票？”
教师提问学生进行列式，一名学生列出了“（30-2）×2”。
教师提问：“这样的列式对吗？”学生部分表示赞同，部分不同意。过了一会儿，一名学生举手回答：“应该列式为（30+2）×2。”
发觉下面学生反应不是很强烈，教师又说：“这样才是正确的，同学们，你们想知道解答这类题目的窍门吗？”在同学们期待的眼神中，教师补充说：“像这类还原问题，都是先算和差再算乘的，如果题目中说多，那你就写‘+’，如果题目说到少，你写‘-’，一定错不了。”
这是一节评测课，课后，笔者对该教师班级学生进行了教学效果的检测，类似的还原问题，全班41名学生，37名学生做对，正确率高达90%，问一位做错的学生，他略显可惜地说：“我主要是忘了多写加，少要写减了。”问另一位做对的同学为什么要这样想，他只记得是老师讲的窍门，至于为什么这样做，他说不出来。此处，“多用加，少用减”的口诀代替了理解，正确率掩盖了方法的单一，这些会用“窍门”解题的学生得到了什么？教学的过程是在帮助学生理解，还是替代学生思维？
2.迎面而上式的过程与刻意回避式的结果
四年级数学下册第9页思考题：用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使结果最小呢？
面对这样一道思考题，如何在班级进行教学呢，数学备课组的几位老师讨论了起来。
李老师：实际上只要将这组数从大到小排列，然后选第一、第四个数组成的两位数，乘上第二、第三、第五个数组成的三个数，他们的积一定是最大的。例如，1、2、3、4、5这五个数，先排成5、4、3、2、1，然后选出52×431，积一定是最大的。
张老师：如果是求它们的积最小呢？
李老师：那也好办，从小到大排，排成1、2、3、4、5，选第一、三个数组成的两位数乘上第二、四、五个数组成的三位数，即13×245，积一定是最小的。
陈老师：这种排列的根据，要给学生讲吗？
李老师：讲是可以的，但是从学生对这种知识的理解上看，困难是很大的，这种方法比较简便，我们要避免学生出现大面积错误的情况，所以应更着重讲这种方法，让学生会做所带给学生的信心，远比做错带给他的挫折要好。
作为备课组的一员，我陷入了思考，回避了难点，教给了学生更简洁的方法，带给了学生更“成功”的数学体验，我们是面对学生的困难，还是抑制了思维的发展？当“技巧”和“记忆”掺杂在数学中时，数学会变成什么？
二、现状剖析：过程和结果的割裂之因
《数学课程标准（2011年版）》明确指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”这凸显了学生经历数学活动过程的必要性。什么原因让我们还是过度重视结果，让结果成了“无源之水”呢？是“不识庐山真面目，只缘生在此山中”的困惑，还是“相见不相识，相遇两不知”的漠视。
1. 重视选拔，过程与结果的前后脱节
常常听到人们说两种话：一种是：“××同学小学时成绩十几名，到中学时，成绩突然上了一大截，变成班级一、二名了。”一种是：“我的同学，学习成绩不如我，但现在交往能力真强，工作思路清晰，奇了怪了！”
两种话，都是以学习的成绩作为过程来评价结果，成绩好坏，往住被认为代表着一个人发展结果的程度，但是，我们忽视了成绩之外的，更多的过程性的发展因素。第一句话中，中学成绩的好坏，里面是否有小学学习中形成的学习习惯和方法。第二句话中，除了学习成绩之外，一个人在学习过程中所形成的意志和品质，这些过程中得到的，不比成绩更重要嘛！而我们却往往忽视了。
学期末，“教学质量奖”、“爱心辅导奖”中把学习的成绩作为评价的标准，甚至是唯一标准时，每一位怀揣教育理想的人，又有多少能坚守着“关注学生的学习结果，也要重视学习的过程”的教育信条呢？这些对结果的“极端关注”，让过程变得像“快餐”，强调速度而不是营养；像“零件”，强调共性而不是个性；像“商品”，强调收益而不是质量。
2. 追求优化，过程与结果的左右摇摆
我们常常去引导学生得到“最好方法”，却时不时忽略了学生探索活动中意外的收获，错过很多本应得到的精彩，让学生的思维固封在狭小的空间，得不到他们应有的发展。
方法的优化，应基于夯实方法多样化的基础上。过度追求解题方法的简便、优化，实际上，也是一种思维的误区。我们要正确地理解所谓的“多样”与“优化”。一道题，学生有多种方法，这表现出了学生在自身发展上的思维差异性。我们可以从多种方法中提炼出一种最优化的方法，但这绝不是将其他方法“同化”，更不是“归化”和“方法唯一化”，且不谈所有方法能否被同化，否定其它思维，过于强调一种思维，本身就不符合学生层次性的现状，同时，个别所谓的最简方法，最优化方法，实际上也是一种思维的跳跃，不适合大多数学生。 3. 立足实用，过程与结果的上下偏离
很多教师会认为，只要学生能够在实践中熟练使用的，那就一定是被学生掌握的、理解的，而不去思考学生得来的过程。对此，我们要认识到，数学是思维的科学，如果我们只是通过大量的练习，让学生去熟练掌握发现后的结论，这样的结果，对学生能力的培养又能有什么价值。片面追求学生会了，而忽视学生在学习中采用什么方法，不舍得时间去培养学生的思维习惯和思维方法，这样的结果，看似有效，实则短效，甚至无效、负效。
比如“三角形的内角和”一课，为了求证三角形内角和为180度过程中运用的“不完全归纳法”、“猜想推理验证”等基本的数学证明，这些留给学生的数学方法和数学思想的启蒙、数学研究的严谨和精神熏陶，远比通过大量的练习，让学生熟练掌握内角和为180度的结论要重要，对学生发展的作用更大。
三、策略重整：基于过程为要的价值再构
小学阶段，学生正在发展的基础期，是数学知识、技能、思想、活动经验培养和形成的关键期。数学学习的过程需要厚重，需要质量，需要生长。作为教师，我们有责任将数学课堂打造成以学生发展为本的生长课堂，重拾基于过程为要的数学课堂。我们应当从以下几个方面来重构“过程为要”的数学课堂：
1. 乐“情感”享“成功”，过程为要的体验承载
课堂中可以通过游戏、数学故事、学生当小老师等形式为载体，教师轻松活泼的教学语言、生动有趣的教具使用等手段，让学生在课堂上产生愉悦的心理体验，成功的心理感受，满足学生发挥自己的创造力，让学生在课堂上无拘无束地发表自己最真实的想法，让学生在数学学习中形成能力、发展思维、彰显智慧。
例如在教学《球的认识》一课时，我让学生每人带一个有小棒的圆片，让学生玩一玩、转一转手中的小圆片，说说大家想到了什么？经过操作，有学生说转起来就是圆球；有同学说圆心就是球心；有同学说球的横截面就是圆，圆的直径就是球的直径。设置这样一个游戏活动，让学生在轻松、愉快的氛围中观察、思考，有效地建构了球的概念，实现了圆和球的沟通，实现了平面到立体的过渡，让更多的学生体验到成功和快乐。
2. 体“过程”验“结果”，从过程走向结果的方法推崇
数学基本思想和方法的训练是一个长期性的工程，不是一节课两节课就能解决的，数学课堂要承担起成长载体的作用，教师要能立足于学生发展的现状，立足于学生的长期发展，用数学思想引领数学教学，让学生能够积极主动地参与到数学活动的全过程中来，选择合适的方法引导学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，要给机会让学生体验探索的过程，感受成功，进而使学生获得对数学理解的同时，在知识、能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
过程产生结果，同时，结果又催生了新的过程。强调过程重要，绝不是忽视结果的重要性，结果是过程性目标的实践体现，是过程中对学生思辨、假设、验证、操作等方法、能力和思想的有效应用，没有一个良好的结果，学生无法真正运用，无法体验到一种成功感，过程再精彩，那它也将像一棵没有植根于大地的树苗，无法变得更壮硕，无法使过程中的所想展现的数学方法、思想真正为学生的长远发展服务。
教师提问：如果从这两位选手中选取一位参加省里比赛，你选谁？
学生的观点是算一下他们的平均环数，通过计算，发现两人的平均成绩都是6.8环。
教师这时对同学说：怎么办？下面我们请大家自由发表自己的观点，不用举手，直接说，看你能不能说服与你意见不一样的同学。
学生一个个成为了小辩手，分成了两个主要观点：
支持张明：张明成绩非常稳定；李亮成绩忽上忽下，如果选他，万一决赛中发挥失常怎么办……
支持李亮：选李亮，他能打出10环；李亮只是前面精力太集中，消耗太多，才导致几次发挥失常；李亮虽然不稳定，但通过练习可以提高，张明虽然稳定，但他的成绩很难再提高了……
教师还组织了一次大家举手表决，最终同学们觉得选李亮要好一点。最后，根据学生的主要论点，张明的成绩中7出现最多，李亮的成绩中9出现的最多，得出了众数的概念。通过辩论，学生进入了一个深层次思维，这不光对“众数”在生活中的实际价值有了较好的理解，也对思维方式产生有益的影响。
4. 顾“原点”瞻“远点”，过程为要的思想升华
我们要立足于学生生长的“原点”，最终指向于学生和谐发展的“远点”。我们要认识到，课堂教学的根本目的是使学生要在数学学习上形成一种可持续学习能力，是促进人的发展，不断地获得成功。我们的数学教学不能只追求眼下的成功，而应放眼学生持续进步和提高，不仅教给学生丰富的数学知识，也教给他们成功的体验、积极的人生态度，为学生的终身学习、终身发展奠定基础。
评价的导向性左右着过程，评价不是为了学生排队，而是为了促进发展，教师的评价应立足于是否有利于学生的发展，渗透对学生学习方法的评价，承认学生的个体差异，针对学生的个性思维及学习中的过程表现，而不仅仅是根据短期性的结果来进行评价，这就要求教师应善用延时评价来评价学生的发展。
例如，学生的作业做错了，教师不是直接打×，而是先打一个╲，等学生订正好了以后，再打上√。再如，小学数学对于《可能性》的教材编排，从二年级的语言描述可能性，到三年级初步感知可能性的大小，到六年级才要求用数值表示可能性。这些都是延迟评价的具体体现，我们要认识到，要改变那种“急功近利”的评价，除了即时评价，教师需要对学生的发展采取延时评价，给学生消化、吸收、运用的时间和空间。
教育即生长，生长即目的，在生长之外别无目的。卢梭和杜威的观点，言简意赅地说出了我们教学的本源目标。关注过程，让我们不为彼岸，只为海。
【参考文献】
[1]张俊平.名师的教学主张[M].江苏：江苏科学技术出版社.2011.
[2]罗伯特·费舍尔.教儿童学会思考[M].北京：北京师范大学出版社.2007.
（作者单位：江苏省淮安市实验小学）
【关键词】数学思想 数学素养 数学教学
尽管我们强调在数学教学中，过程比结果要彰显出更大价值，了解“知其然，知其所以然”的重要性，但在实际教学中，或多或少还是存在受传统观念的影响，割裂了结果和过程，使过程和结果避重就轻，且看下面的两个例子。
一、教学割裂：数学活动结果和过程的错位现象
1.推波助澜式的过程与拔苗助长式的结果
五年级的数学还原问题策略，老师出示了“小明将邮票的一半多2张给了小红，还剩下30张，小明原来有多少张邮票？”
教师提问学生进行列式，一名学生列出了“（30-2）×2”。
教师提问：“这样的列式对吗？”学生部分表示赞同，部分不同意。过了一会儿，一名学生举手回答：“应该列式为（30+2）×2。”
发觉下面学生反应不是很强烈，教师又说：“这样才是正确的，同学们，你们想知道解答这类题目的窍门吗？”在同学们期待的眼神中，教师补充说：“像这类还原问题，都是先算和差再算乘的，如果题目中说多，那你就写‘+’，如果题目说到少，你写‘-’，一定错不了。”
这是一节评测课，课后，笔者对该教师班级学生进行了教学效果的检测，类似的还原问题，全班41名学生，37名学生做对，正确率高达90%，问一位做错的学生，他略显可惜地说：“我主要是忘了多写加，少要写减了。”问另一位做对的同学为什么要这样想，他只记得是老师讲的窍门，至于为什么这样做，他说不出来。此处，“多用加，少用减”的口诀代替了理解，正确率掩盖了方法的单一，这些会用“窍门”解题的学生得到了什么？教学的过程是在帮助学生理解，还是替代学生思维？
2.迎面而上式的过程与刻意回避式的结果
四年级数学下册第9页思考题：用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数？要使结果最小呢？
面对这样一道思考题，如何在班级进行教学呢，数学备课组的几位老师讨论了起来。
李老师：实际上只要将这组数从大到小排列，然后选第一、第四个数组成的两位数，乘上第二、第三、第五个数组成的三个数，他们的积一定是最大的。例如，1、2、3、4、5这五个数，先排成5、4、3、2、1，然后选出52×431，积一定是最大的。
张老师：如果是求它们的积最小呢？
李老师：那也好办，从小到大排，排成1、2、3、4、5，选第一、三个数组成的两位数乘上第二、四、五个数组成的三位数，即13×245，积一定是最小的。
陈老师：这种排列的根据，要给学生讲吗？
李老师：讲是可以的，但是从学生对这种知识的理解上看，困难是很大的，这种方法比较简便，我们要避免学生出现大面积错误的情况，所以应更着重讲这种方法，让学生会做所带给学生的信心，远比做错带给他的挫折要好。
作为备课组的一员，我陷入了思考，回避了难点，教给了学生更简洁的方法，带给了学生更“成功”的数学体验，我们是面对学生的困难，还是抑制了思维的发展？当“技巧”和“记忆”掺杂在数学中时，数学会变成什么？
二、现状剖析：过程和结果的割裂之因
《数学课程标准（2011年版）》明确指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”这凸显了学生经历数学活动过程的必要性。什么原因让我们还是过度重视结果，让结果成了“无源之水”呢？是“不识庐山真面目，只缘生在此山中”的困惑，还是“相见不相识，相遇两不知”的漠视。
1. 重视选拔，过程与结果的前后脱节
常常听到人们说两种话：一种是：“××同学小学时成绩十几名，到中学时，成绩突然上了一大截，变成班级一、二名了。”一种是：“我的同学，学习成绩不如我，但现在交往能力真强，工作思路清晰，奇了怪了！”
两种话，都是以学习的成绩作为过程来评价结果，成绩好坏，往住被认为代表着一个人发展结果的程度，但是，我们忽视了成绩之外的，更多的过程性的发展因素。第一句话中，中学成绩的好坏，里面是否有小学学习中形成的学习习惯和方法。第二句话中，除了学习成绩之外，一个人在学习过程中所形成的意志和品质，这些过程中得到的，不比成绩更重要嘛！而我们却往往忽视了。
学期末，“教学质量奖”、“爱心辅导奖”中把学习的成绩作为评价的标准，甚至是唯一标准时，每一位怀揣教育理想的人，又有多少能坚守着“关注学生的学习结果，也要重视学习的过程”的教育信条呢？这些对结果的“极端关注”，让过程变得像“快餐”，强调速度而不是营养；像“零件”，强调共性而不是个性；像“商品”，强调收益而不是质量。
2. 追求优化，过程与结果的左右摇摆
我们常常去引导学生得到“最好方法”，却时不时忽略了学生探索活动中意外的收获，错过很多本应得到的精彩，让学生的思维固封在狭小的空间，得不到他们应有的发展。
方法的优化，应基于夯实方法多样化的基础上。过度追求解题方法的简便、优化，实际上，也是一种思维的误区。我们要正确地理解所谓的“多样”与“优化”。一道题，学生有多种方法，这表现出了学生在自身发展上的思维差异性。我们可以从多种方法中提炼出一种最优化的方法，但这绝不是将其他方法“同化”，更不是“归化”和“方法唯一化”，且不谈所有方法能否被同化，否定其它思维，过于强调一种思维，本身就不符合学生层次性的现状，同时，个别所谓的最简方法，最优化方法，实际上也是一种思维的跳跃，不适合大多数学生。 3. 立足实用，过程与结果的上下偏离
很多教师会认为，只要学生能够在实践中熟练使用的，那就一定是被学生掌握的、理解的，而不去思考学生得来的过程。对此，我们要认识到，数学是思维的科学，如果我们只是通过大量的练习，让学生去熟练掌握发现后的结论，这样的结果，对学生能力的培养又能有什么价值。片面追求学生会了，而忽视学生在学习中采用什么方法，不舍得时间去培养学生的思维习惯和思维方法，这样的结果，看似有效，实则短效，甚至无效、负效。
比如“三角形的内角和”一课，为了求证三角形内角和为180度过程中运用的“不完全归纳法”、“猜想推理验证”等基本的数学证明，这些留给学生的数学方法和数学思想的启蒙、数学研究的严谨和精神熏陶，远比通过大量的练习，让学生熟练掌握内角和为180度的结论要重要，对学生发展的作用更大。
三、策略重整：基于过程为要的价值再构
小学阶段，学生正在发展的基础期，是数学知识、技能、思想、活动经验培养和形成的关键期。数学学习的过程需要厚重，需要质量，需要生长。作为教师，我们有责任将数学课堂打造成以学生发展为本的生长课堂，重拾基于过程为要的数学课堂。我们应当从以下几个方面来重构“过程为要”的数学课堂：
1. 乐“情感”享“成功”，过程为要的体验承载
课堂中可以通过游戏、数学故事、学生当小老师等形式为载体，教师轻松活泼的教学语言、生动有趣的教具使用等手段，让学生在课堂上产生愉悦的心理体验，成功的心理感受，满足学生发挥自己的创造力，让学生在课堂上无拘无束地发表自己最真实的想法，让学生在数学学习中形成能力、发展思维、彰显智慧。
例如在教学《球的认识》一课时，我让学生每人带一个有小棒的圆片，让学生玩一玩、转一转手中的小圆片，说说大家想到了什么？经过操作，有学生说转起来就是圆球；有同学说圆心就是球心；有同学说球的横截面就是圆，圆的直径就是球的直径。设置这样一个游戏活动，让学生在轻松、愉快的氛围中观察、思考，有效地建构了球的概念，实现了圆和球的沟通，实现了平面到立体的过渡，让更多的学生体验到成功和快乐。
2. 体“过程”验“结果”，从过程走向结果的方法推崇
数学基本思想和方法的训练是一个长期性的工程，不是一节课两节课就能解决的，数学课堂要承担起成长载体的作用，教师要能立足于学生发展的现状，立足于学生的长期发展，用数学思想引领数学教学，让学生能够积极主动地参与到数学活动的全过程中来，选择合适的方法引导学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，要给机会让学生体验探索的过程，感受成功，进而使学生获得对数学理解的同时，在知识、能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
过程产生结果，同时，结果又催生了新的过程。强调过程重要，绝不是忽视结果的重要性，结果是过程性目标的实践体现，是过程中对学生思辨、假设、验证、操作等方法、能力和思想的有效应用，没有一个良好的结果，学生无法真正运用，无法体验到一种成功感，过程再精彩，那它也将像一棵没有植根于大地的树苗，无法变得更壮硕，无法使过程中的所想展现的数学方法、思想真正为学生的长远发展服务。
教师提问：如果从这两位选手中选取一位参加省里比赛，你选谁？
学生的观点是算一下他们的平均环数，通过计算，发现两人的平均成绩都是6.8环。
教师这时对同学说：怎么办？下面我们请大家自由发表自己的观点，不用举手，直接说，看你能不能说服与你意见不一样的同学。
学生一个个成为了小辩手，分成了两个主要观点：
支持张明：张明成绩非常稳定；李亮成绩忽上忽下，如果选他，万一决赛中发挥失常怎么办……
支持李亮：选李亮，他能打出10环；李亮只是前面精力太集中，消耗太多，才导致几次发挥失常；李亮虽然不稳定，但通过练习可以提高，张明虽然稳定，但他的成绩很难再提高了……
教师还组织了一次大家举手表决，最终同学们觉得选李亮要好一点。最后，根据学生的主要论点，张明的成绩中7出现最多，李亮的成绩中9出现的最多，得出了众数的概念。通过辩论，学生进入了一个深层次思维，这不光对“众数”在生活中的实际价值有了较好的理解，也对思维方式产生有益的影响。
4. 顾“原点”瞻“远点”，过程为要的思想升华
我们要立足于学生生长的“原点”，最终指向于学生和谐发展的“远点”。我们要认识到，课堂教学的根本目的是使学生要在数学学习上形成一种可持续学习能力，是促进人的发展，不断地获得成功。我们的数学教学不能只追求眼下的成功，而应放眼学生持续进步和提高，不仅教给学生丰富的数学知识，也教给他们成功的体验、积极的人生态度，为学生的终身学习、终身发展奠定基础。
评价的导向性左右着过程，评价不是为了学生排队，而是为了促进发展，教师的评价应立足于是否有利于学生的发展，渗透对学生学习方法的评价，承认学生的个体差异，针对学生的个性思维及学习中的过程表现，而不仅仅是根据短期性的结果来进行评价，这就要求教师应善用延时评价来评价学生的发展。
例如，学生的作业做错了，教师不是直接打×，而是先打一个╲，等学生订正好了以后，再打上√。再如，小学数学对于《可能性》的教材编排，从二年级的语言描述可能性，到三年级初步感知可能性的大小，到六年级才要求用数值表示可能性。这些都是延迟评价的具体体现，我们要认识到，要改变那种“急功近利”的评价，除了即时评价，教师需要对学生的发展采取延时评价，给学生消化、吸收、运用的时间和空间。
教育即生长，生长即目的，在生长之外别无目的。卢梭和杜威的观点，言简意赅地说出了我们教学的本源目标。关注过程，让我们不为彼岸，只为海。
【参考文献】
[1]张俊平.名师的教学主张[M].江苏：江苏科学技术出版社.2011.
[2]罗伯特·费舍尔.教儿童学会思考[M].北京：北京师范大学出版社.2007.
（作者单位：江苏省淮安市实验小学）