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【摘要】本文应用拓展双曲函数方法，结合首次积分和Riccati方法，得到变系数mKdV方程的精确解.应用此方法，可以得到方程的丰富的具有一般形式的精确解.比如，三角函数解、双周期函数解、整式形式解.此方法适用于求解一大类非线性偏微分发展方程.
【关键词】变系数mKdV方程；拓展双曲函数法；精确解
1.引 言
20世纪60年代以来，非线性科学得到了飞速发展，在非线性偏微分方程的求解方面也取得了许多成果.由于非线性方程的复杂性，许多人致力于利用不同的方法寻求方程的一般精确解.例如，双曲函数展开法、Hirota双线性方法、齐次平衡法、首次积分法等.过去，很多学者研究常系数KdV和 mKdV方程，得到了很好的结果.然而，实际应用中更多地出现变系数偏微分方程.因此，变系数发展方程求解问题具有重要意义.
本文讨论了变系数mKdV方程：ut α（t）ux 6β（t）u2ux β（t）uxxx=0.（1.1）
其中α（t）和β（t）关于t一次连续可微.尚亚东、郑筱筱、戴朝卿等采用各种方法求得了一些精确解.本文通过拓展双曲函数法，得到方程（1.1）丰富的新精确解.此方法也可以应用于求解其他类型的方程，得到多样化的、丰富的新精确解.
2.拓展双曲函数法
首先，考虑如下的耦合Riccati方程：
我们知道，耦合的Riccati方程有如下的一般解：
下面，给出拓展双曲函数法求解偏微分方程的一般步骤：
步骤一：给定一非线性偏微分方程： P（u，ut，ux，uxt，uxx，…，）=0.（2.3）其中u=u（x，t）为未知函数，P是关于u及其各阶偏导数的多项式.
假设方程（2.3）有如下形式的解：
其中Ai（x，t），Bi（x，t）和ξ=ξ（x，t）是关于x和t的待定函数，且均不为零.
将（2.4）和（2.5）代入（2.3），联合（2.1）和（2.2），得到关于f（ξ），g（ξ）的m阶多项式.
步骤二：利用齐次平衡原理，得到了平衡系数m，且m必须为正整数.
步骤三： 令fi（ξ）g（ξ）和g（ξ）的系数为零，得到一代数方程组，利用maple进行符号计算，
确定Ai（x，t），Bi（x，t），r，ξ（x，t）.将结果代回（2.4）或（2.5），得到方程（2.3）的精确解.
3.变系数mKdV方程（1.1）的精确解
首先，我们通过平衡u2ux和uxxx，得到2m （m 1）=m 3，于是m=1.
（1）当ε=±1，有 u（x，t）=A2（x，t）f（ξ） A1（x，t）g（ξ） A0（x，t）.（3.1）
（2）当ε=0，有u（x，t）=A1（x，t）g（ξ） A0（x，t）.（3.2）
其中，ξ=p（t）x q（t），Ai（x，t）（i=0，1，2），p（t），q（t）待定.
将（3.1），（3.2）代回（1.1）式，联合（2.1），（2.2），得到关于f（ξ）和g（ξ）的多项式.令fi（ξ）g（ξ）以及g（ξ）的系数为零，得到一常微分方程组，通过maple计算，可得：
4.总结与综述
本文应用拓展双曲函数法和齐次平衡法，对变系数mKdV进行了精确解的运算，得出了3种类型、总共22个不同的解，其中包括双曲函数解、三角函数解以及整式形式解等，丰富了变系数mKdV的解的形式.本文所用的方法可以应用于其他的变系数发展偏微分方程.
【参考文献】
[1]A.A.Soliman.Extended improved tanhfunction method for solving the nonlinear physical problems.Acta Applicandae Mathematicas 104（2008）367-383.
[2] R.Hirota.Direct Method in Soliton Theory.Iwannmi Shoten Publishers，1992.
[3] EnGui Fan.Two new applications of the homogeneous balance method.Physics Letters A 265（2000）353-357.
[4] F.Tascan and A.Bekir.Applications of the integral method to nonlinear evolution equations.Chinese Physics B 19（2010）ID 080201.
[5] XiaoXiao Zheng，YaDong Shang，Yong Huang.Abundant Explicit and Exact Solutions for the Variable Coefficient mKdV Equations.Abstract and applied Analysis（2013）ID 109690.
[6] ChaoQing Dai，JiaMin Zhu，JieFeng Zhang.New exact solutions to the mKdv equations with variable coefficients.Chaos Solitons Fractals 27（2006）881-886.
【关键词】变系数mKdV方程；拓展双曲函数法；精确解
1.引 言
20世纪60年代以来，非线性科学得到了飞速发展，在非线性偏微分方程的求解方面也取得了许多成果.由于非线性方程的复杂性，许多人致力于利用不同的方法寻求方程的一般精确解.例如，双曲函数展开法、Hirota双线性方法、齐次平衡法、首次积分法等.过去，很多学者研究常系数KdV和 mKdV方程，得到了很好的结果.然而，实际应用中更多地出现变系数偏微分方程.因此，变系数发展方程求解问题具有重要意义.
本文讨论了变系数mKdV方程：ut α（t）ux 6β（t）u2ux β（t）uxxx=0.（1.1）
其中α（t）和β（t）关于t一次连续可微.尚亚东、郑筱筱、戴朝卿等采用各种方法求得了一些精确解.本文通过拓展双曲函数法，得到方程（1.1）丰富的新精确解.此方法也可以应用于求解其他类型的方程，得到多样化的、丰富的新精确解.
2.拓展双曲函数法
首先，考虑如下的耦合Riccati方程：
我们知道，耦合的Riccati方程有如下的一般解：
下面，给出拓展双曲函数法求解偏微分方程的一般步骤：
步骤一：给定一非线性偏微分方程： P（u，ut，ux，uxt，uxx，…，）=0.（2.3）其中u=u（x，t）为未知函数，P是关于u及其各阶偏导数的多项式.
假设方程（2.3）有如下形式的解：
其中Ai（x，t），Bi（x，t）和ξ=ξ（x，t）是关于x和t的待定函数，且均不为零.
将（2.4）和（2.5）代入（2.3），联合（2.1）和（2.2），得到关于f（ξ），g（ξ）的m阶多项式.
步骤二：利用齐次平衡原理，得到了平衡系数m，且m必须为正整数.
步骤三： 令fi（ξ）g（ξ）和g（ξ）的系数为零，得到一代数方程组，利用maple进行符号计算，
确定Ai（x，t），Bi（x，t），r，ξ（x，t）.将结果代回（2.4）或（2.5），得到方程（2.3）的精确解.
3.变系数mKdV方程（1.1）的精确解
首先，我们通过平衡u2ux和uxxx，得到2m （m 1）=m 3，于是m=1.
（1）当ε=±1，有 u（x，t）=A2（x，t）f（ξ） A1（x，t）g（ξ） A0（x，t）.（3.1）
（2）当ε=0，有u（x，t）=A1（x，t）g（ξ） A0（x，t）.（3.2）
其中，ξ=p（t）x q（t），Ai（x，t）（i=0，1，2），p（t），q（t）待定.
将（3.1），（3.2）代回（1.1）式，联合（2.1），（2.2），得到关于f（ξ）和g（ξ）的多项式.令fi（ξ）g（ξ）以及g（ξ）的系数为零，得到一常微分方程组，通过maple计算，可得：
4.总结与综述
本文应用拓展双曲函数法和齐次平衡法，对变系数mKdV进行了精确解的运算，得出了3种类型、总共22个不同的解，其中包括双曲函数解、三角函数解以及整式形式解等，丰富了变系数mKdV的解的形式.本文所用的方法可以应用于其他的变系数发展偏微分方程.
【参考文献】
[1]A.A.Soliman.Extended improved tanhfunction method for solving the nonlinear physical problems.Acta Applicandae Mathematicas 104（2008）367-383.
[2] R.Hirota.Direct Method in Soliton Theory.Iwannmi Shoten Publishers，1992.
[3] EnGui Fan.Two new applications of the homogeneous balance method.Physics Letters A 265（2000）353-357.
[4] F.Tascan and A.Bekir.Applications of the integral method to nonlinear evolution equations.Chinese Physics B 19（2010）ID 080201.
[5] XiaoXiao Zheng，YaDong Shang，Yong Huang.Abundant Explicit and Exact Solutions for the Variable Coefficient mKdV Equations.Abstract and applied Analysis（2013）ID 109690.
[6] ChaoQing Dai，JiaMin Zhu，JieFeng Zhang.New exact solutions to the mKdv equations with variable coefficients.Chaos Solitons Fractals 27（2006）881-886.