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(湖南省衡阳县六中421009)【摘要】主要讲述对不等式一章中的一些问题教学上的几点看法。
【关键词】不等式;高中教学To inequality in some question teaching
Tang Ruzhang
【Abstract】Main narration to inequality chapter of some question teaching several views.
【Key words】Inequality; High school teaching新教材的面世,给人耳目一新的感觉,新教材蕴涵了与高等数学的衔接,增加了简单的线性规划、向量、导数等教学,这样不是增加师生教学的任务,而是让教师更容易地教,学生更轻松地学。对比新旧教材本文试以不等式一章中的某些问题在教学中处理方式上作些调整,加强与新增知识的联系,与同行共商榷。
1与线性规划联系起来
个案1:已知:1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的范围
对于上述题目,不少同学采用下面的方法求解:
由于1≤a-b≤2①
2≤a+b≤4②
①+②得:
3≤2a≤632≤a≤3③
②+①×(-1)得:
0≤2b≤30≤b≤32④
③×4+ ④×(-2)得:
3≤4a-2b≤12
过程似乎每一步合情合理,但实际上答案是错误的。要讲清错在哪里,教师费劲,学生似懂非懂。以前我们教学此类问题总是采用换元法,其实质就是把a-b,a+b看作一个整体对待,把4a-2b化成3(a-b)+(a+b)的形式加以处理。学生对这种处理方式觉得还是模糊。
现在新教材中有了线性规划的知识,只要画出1≤a-b≤2,2≤a+b≤4所表示的公共区域。易知取A(32,12),4a-2b为最小值5,取C(3,1),4a-2b为最大值10,这样以形助数的方法解决此类问题,让学生直观形象容易理解,减少思维负担。
2与向量联系起来
个案2:要求学生掌握公式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|时,学生容易搞混淆,若教师结合向量,对于任意两个向量a和b,利用向量和的几何作图法得出|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(只有a、b共线时才会取得等号)。这样学生掌握得更牢固,运用得更广泛。
个案3:已知|a|<1,|b|<1,求证a+b1+ab <1
证明:设-1,a+b1+ab,1分别对应数轴上三点P1,P,P2,P是P1P2的分点,于是
λ=a+b1+ab-(-1)1-a+b1+ab=a+b+1+ab1+ab-a-b=(b+1)(a+1)(1-a)(1-b)>0
-1 这样利用定比分点P分 P1P2所成的比λ的符号代表的含义:λ>0,P为内分点,得出证明过程,另有一番风味,可启迪思维,加强了不等式与向量一章知识的联系。
3与导数联系起来
个案4:求函数y=x(a-x2)(0 在以前教学中经常利用公式abc≤(a+b+c3)3,其中a,b,c为正实数,学生即使公式记住了,繁琐的变形也难以突破。运用导数知识却简单了。
y′=a-3x2稳定点x=3a3
y=2a93a
个案5:
(1)已知x,y为正实数,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
(2)已知2b+ab+a=30(a>0,b>0),求y=1ab的最小值。
第1题变形较简单,利用基本不等式求之。
由已知得y=2xx-8(x>8)
x+y=x+2xx-8=(x-8)+16x-8+10≥2×4+10=18
即x=12,y=6时取等号,x+y的最小值为18。
第2题变为y=1a30-aa+2,学生继续做下去较繁杂。当然,这类题有一定的思维价值,能体现能力,但是一旦变成题海泛滥开来,思维能力就会降低为操作技能。高考并不要求数学在某一知识上深挖洞。所以此类问题要把握好难度,以免造成学生对数学学习的恐慌和畏惧心理。上述问题实际是高等数学条件最值的问题,可由导数知识,拉格朗日乘数法简便易行。
L(a,b,λ)=1ab+λ(2b+ab+a-30)
L′a(a,b,λ)=-1a2b+bλ+λ=0①
L′b(a,b,λ)=-1ab2+2λ+aλ=0②
L′λ(a,b,λ)=2b+ab+a-30=0③
由①②③得稳定点a=6,b=3可得到ymin=118
线性规划、向量、导数等编入新教材,使整个中学数学增加了新的魅力和新的活力,为我们广大师生开辟了广阔的思索空间,提供了更多的创新机遇。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】不等式;高中教学To inequality in some question teaching
Tang Ruzhang
【Abstract】Main narration to inequality chapter of some question teaching several views.
【Key words】Inequality; High school teaching新教材的面世,给人耳目一新的感觉,新教材蕴涵了与高等数学的衔接,增加了简单的线性规划、向量、导数等教学,这样不是增加师生教学的任务,而是让教师更容易地教,学生更轻松地学。对比新旧教材本文试以不等式一章中的某些问题在教学中处理方式上作些调整,加强与新增知识的联系,与同行共商榷。
1与线性规划联系起来
个案1:已知:1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的范围
对于上述题目,不少同学采用下面的方法求解:
由于1≤a-b≤2①
2≤a+b≤4②
①+②得:
3≤2a≤632≤a≤3③
②+①×(-1)得:
0≤2b≤30≤b≤32④
③×4+ ④×(-2)得:
3≤4a-2b≤12
过程似乎每一步合情合理,但实际上答案是错误的。要讲清错在哪里,教师费劲,学生似懂非懂。以前我们教学此类问题总是采用换元法,其实质就是把a-b,a+b看作一个整体对待,把4a-2b化成3(a-b)+(a+b)的形式加以处理。学生对这种处理方式觉得还是模糊。
现在新教材中有了线性规划的知识,只要画出1≤a-b≤2,2≤a+b≤4所表示的公共区域。易知取A(32,12),4a-2b为最小值5,取C(3,1),4a-2b为最大值10,这样以形助数的方法解决此类问题,让学生直观形象容易理解,减少思维负担。
2与向量联系起来
个案2:要求学生掌握公式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|时,学生容易搞混淆,若教师结合向量,对于任意两个向量a和b,利用向量和的几何作图法得出|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(只有a、b共线时才会取得等号)。这样学生掌握得更牢固,运用得更广泛。
个案3:已知|a|<1,|b|<1,求证a+b1+ab <1
证明:设-1,a+b1+ab,1分别对应数轴上三点P1,P,P2,P是P1P2的分点,于是
λ=a+b1+ab-(-1)1-a+b1+ab=a+b+1+ab1+ab-a-b=(b+1)(a+1)(1-a)(1-b)>0
-1
3与导数联系起来
个案4:求函数y=x(a-x2)(0
y′=a-3x2稳定点x=3a3
y=2a93a
个案5:
(1)已知x,y为正实数,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值。
(2)已知2b+ab+a=30(a>0,b>0),求y=1ab的最小值。
第1题变形较简单,利用基本不等式求之。
由已知得y=2xx-8(x>8)
x+y=x+2xx-8=(x-8)+16x-8+10≥2×4+10=18
即x=12,y=6时取等号,x+y的最小值为18。
第2题变为y=1a30-aa+2,学生继续做下去较繁杂。当然,这类题有一定的思维价值,能体现能力,但是一旦变成题海泛滥开来,思维能力就会降低为操作技能。高考并不要求数学在某一知识上深挖洞。所以此类问题要把握好难度,以免造成学生对数学学习的恐慌和畏惧心理。上述问题实际是高等数学条件最值的问题,可由导数知识,拉格朗日乘数法简便易行。
L(a,b,λ)=1ab+λ(2b+ab+a-30)
L′a(a,b,λ)=-1a2b+bλ+λ=0①
L′b(a,b,λ)=-1ab2+2λ+aλ=0②
L′λ(a,b,λ)=2b+ab+a-30=0③
由①②③得稳定点a=6,b=3可得到ymin=118
线性规划、向量、导数等编入新教材,使整个中学数学增加了新的魅力和新的活力,为我们广大师生开辟了广阔的思索空间,提供了更多的创新机遇。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文