论文部分内容阅读
[摘 要] 概念是数学教学的基础，概念生成的过程需要悉心研究. 从学生思维发展的角度出发，利用“问题链”来促进学生的概念生成是有实际效果的.好的问题链可以促进学生从生活经验向数学概念转化，可以促进学生更好地用数学语言描述数学概念. 问题链的设计关键，在于教师把握学生的思维梯度.
[关键词] 高中数学；概念生成；问题链；教学设计
数学概念是数学知识构建的基础，数学概念的形成有两种途径：一是教师讲授；二是学生自主发现. 需要说明的是，笔者对这两种方式都是肯定的，因为概念的形成过程并非总要经过所谓的探究，有意义的接受同样是重要的概念建构方式. 其实无论是讲授式还是自主式，其中最为关键的是学生内驱力的存在，只要有内驱力，那学生的概念生成过程都是有价值的，因此教学的重心应当落在如何激发学生的概念构建内驱力上. 笔者的实践表明，良好的问题尤其是由系列问题组成的“问题链”可以驱动学生有效地进行学习，也因此“问题链”式的教学设计，就成为笔者研究并系统梳理的对象.本文试对此进行阐述.
[?] “问题链”式教学设计在概念生成中的作用概述
问题链，顾名思义，就是通过一系列问题形成的一个类似于链条的问题组合，以对学生的学习（本文仅指概念学习）实施有效驱动的教学方式. 问题链的设计通常是基于某个具体概念的形成过程，结合学生的思维发展而进行的. 因此，问题链的最大作用，就是可以引导学生的思维步步深入，以促使学生能够完成从生活经验向数学概念的有效转变. 具体来说，问题链及问题链式教学设计在概念生成的过程中有这样的几个作用：第一，问题催化情境.数学概念的形成总在某个情境中，而情境作用的发挥往往是靠问题链中的首个问题来实现的. 第二，问题将学生的思维导向数学. 概念生成的过程，就是学生前概念向数学概念转变的过程，这个过程需要问题的驱动. 第三，问题驱动学生运用数学语言. 数学概念最终是用数学语言来描述的，而学生对数学语言的运用往往又是存在思维的障碍的，要克服这个障碍，离不开问题的驱动.
现以“数列”概念的生成过程为例来说明上述观点：数列是蘇教版高中数学必修5第二章的内容，作为一个基本概念，其与学生的生活经验既近又远.说近是因为在生活中其实有很多数列的存在，说远是因为在日常生活中很少从数列的角度去认识它们. 因此在结合生活素材创设了概念生成情境之时，就是问题链的开始之时. 如在呈现了若干个（教材设计的是剧场座位、彗星出现的年份、细胞分裂、日取半棰、树干分枝、奥运奖牌等）数列事例之后，笔者提出第一个问题：这些事例如果用数据描述，可以得到哪些数据？（没有像课本一样直接提出“这些问题有什么共同特点”的问题，因为笔者感觉这样太快）. 这个问题可以驱动学生用数据来表述这些问题，可以将形象的数学情境变成抽象的数学对象，学生的思维也就导向了数学，于是得到20，22，24，26，…；1740， 1823，1906，1989，…；1，2，4，8，16，…等.
有了这些结果之后，问题链中设计的第二个问题是：现在我们已经在用一系列数字来表示刚才的实例，那大家再来看看这些数字有什么共同的特征？这个问题直接瞄准数列的定义，学生在思考这些问题的时候，一方面会发现这些数据其实都是在具体的情境中按一定规律得到的，因此这就呼应着数列定义中的“按照一定次序”，另一方面学生自然会知道这些都是多个数的形式，于是定义中的“一列数”也就有了基础.
在此基础上教师再提出第三个问题：如果用数学语言来描述我们的认识，那这段语言应当如何组织？这个问题的作用就是引导学生的思维走向数学语言，而学生在语言组织的过程中必然会出现差异，因此这个问题其实是可以进一步细化的，比如针对有学生说的“按照一定规律排列的数”就可以反问“一定是存在规律的吗？”并用奥运奖牌数的例子证其伪，于是学生的思维就会宽一些，总之，这个问题细化的过程也是问题链的一部分，在实际教学中也需要注意运用.
通过上述三个问题组成的问题链，学生就可以完成从生活情境向数列定义的转变，在这个概念生成的过程中，问题链发挥了很强的驱动作用.
[?] 用“问题链”驱动学生概念生成的设计策略分析
问题链不是简单的问题的组合，问题要想成“链”，关键在于教学设计的时候要注意问题之间的联系性，尤其是后面问题要承接前面的问题，中间的问题要能够既承上又启下，问题链从语言的角度看，体现的是逻辑性，从学生的思维角度看，体现的是学生思维的连续性.基于这样的认知，笔者梳理了问题链设计的几个基本策略：
其一，促进数学概念感知的策略. 概念感知是概念形成的基础，问题链在促进概念感知方面有独特的作用.
例如“等差数列”概念的构建中可以设计这样的问题链：（1）还记得上一课时所列举的数列事例吗？（2）对这些数列进行比较，你觉得它们的排列次序有规律性吗？（3）剧场座位中的20，22，24，26，…；彗星出现年份的1740，1823，1906，1989， …有没有共同的规律？（4）你能举出与此规律类似的其他数列吗？（5）如何描述这种特征的数列？这五个问题驱动之下，几乎不需要别的事例的讲解，学生就可以顺利构建出“等差数列”的概念.
其二，促进学生比较思维的策略. 概念是比较的结果，高中数学概念生成过程中，比较思维是最常用的思维之一. 比较思维既可以是学生的直觉，也可以是问题驱动之下的结果.
例如，在深化“等比数列”概念的时候，教师可以通过问题链引导学生去比较等比数列与等差数列：（1）等比数列与等差数列的定义有何异同？（2）这种异同表现在通项公式上有什么不同？（3）这种异同体现在求和公式上有什么不同？这三个问题组成的问题链实际上是指向学生的学习品质的，是指向驱动学生的比较思维去完成对两个基本的数列进行比较并描述的过程的，概念生成过程中这种思维往往能够发挥重要作用，其需要问题链的驱动. 其三，促进学生概念构建反思的策略. 概念形成之后让学生反思概念的生成过程，是可以让学生更清晰地把握概念的来龙去脉的.
例如，在数列这一章结束之后，笔者设计了这样的问题链：（1）等差数列与等比数列的概念是怎样得到的？（2）等差数列与等比数列的通项公式与前n项和是怎样得到的？（3）如果重新给你一点时间，你能让这两个过程更简洁吗？（4）能尝试用表格来比较等差数列与等比数列的异同吗？事实证明，经由这个问题链的驱动，学生对数列这一章的三个重要概念会有整体性的把握，从而可以为本章知识结构的形成奠定重要基础.
在具体的教学过程中，问题链的呈现方式也是需要注意的，在教师心中逻辑性很强的问题链显然不需要一下子呈现在学生的面前，而根据学生对前一个问题的回答情况的判断，去寻找第二个问题提出的时机，是问题链发挥作用的重要影响因素. 如在上面第三点所举的例子中，只有当学生清晰地回忆出所举过的数列的例子并回答出數列的特征各有不同之后，再提第二个问题才有意义；而第三个问题实际上是第一、二两个问题的综合，是要等到学生对前两个问题有清晰的答案之后，通过第三个问题对两个基本数列进行综合，并下启对第四个问题的回答.
[?] “问题链”的设计关键在于驱动学生思维的发展
问题的最大作用是驱动学生思维，问题链的最大作用是驱动学生思维的层层递进，因此学生的思维发展是问题链的设计关键.
在概念生成过程中，学生的思维肯定具有递进性，而由于知识基础的差异，不同学生的思维又是有着不同的表现的，这个时候问题链所起的作用就是能够针对不同层次的学生发挥不同的作用.
例如在上面所举的“等差数列”的教学中，当第一个问题提出之后，学生开始回忆上一节课所接触的六个数列，这个时候不同思维水平的学生思维的结果是不同的，有学生能够迅速意识到教师的问题必有所指，因此迅速开始对六个数列进行比较；而有的学生则会盯住其中一个数列进行研究，当这个数列恰好是一个等差数列的时候，也能让他们有所发现；当然也有部分学困生的思路是模糊的，这个时候需要在原有问题链的基础上进行补充，进行个别指导，比如教师可以帮他们将数列分成等差数列、等比数列以及无明显规律的数列，问他们：这下能否发现它们的异同呢？这样的问题链的延伸，是针对不同层次学生思维发展的有效促进手段.
总之，只有瞄准学生的思维发展，问题链的设计才有坚实的基础，只有对学生的思维梯度有清晰的把握，问题之间的衔接才会牢靠，才会真正形成“问题”的“链”. 事实表明，在概念生成的教学中，用问题链的设计思路来实施教学，是可以更好地促进学生的概念构建的.
[关键词] 高中数学；概念生成；问题链；教学设计
数学概念是数学知识构建的基础，数学概念的形成有两种途径：一是教师讲授；二是学生自主发现. 需要说明的是，笔者对这两种方式都是肯定的，因为概念的形成过程并非总要经过所谓的探究，有意义的接受同样是重要的概念建构方式. 其实无论是讲授式还是自主式，其中最为关键的是学生内驱力的存在，只要有内驱力，那学生的概念生成过程都是有价值的，因此教学的重心应当落在如何激发学生的概念构建内驱力上. 笔者的实践表明，良好的问题尤其是由系列问题组成的“问题链”可以驱动学生有效地进行学习，也因此“问题链”式的教学设计，就成为笔者研究并系统梳理的对象.本文试对此进行阐述.
[?] “问题链”式教学设计在概念生成中的作用概述
问题链，顾名思义，就是通过一系列问题形成的一个类似于链条的问题组合，以对学生的学习（本文仅指概念学习）实施有效驱动的教学方式. 问题链的设计通常是基于某个具体概念的形成过程，结合学生的思维发展而进行的. 因此，问题链的最大作用，就是可以引导学生的思维步步深入，以促使学生能够完成从生活经验向数学概念的有效转变. 具体来说，问题链及问题链式教学设计在概念生成的过程中有这样的几个作用：第一，问题催化情境.数学概念的形成总在某个情境中，而情境作用的发挥往往是靠问题链中的首个问题来实现的. 第二，问题将学生的思维导向数学. 概念生成的过程，就是学生前概念向数学概念转变的过程，这个过程需要问题的驱动. 第三，问题驱动学生运用数学语言. 数学概念最终是用数学语言来描述的，而学生对数学语言的运用往往又是存在思维的障碍的，要克服这个障碍，离不开问题的驱动.
现以“数列”概念的生成过程为例来说明上述观点：数列是蘇教版高中数学必修5第二章的内容，作为一个基本概念，其与学生的生活经验既近又远.说近是因为在生活中其实有很多数列的存在，说远是因为在日常生活中很少从数列的角度去认识它们. 因此在结合生活素材创设了概念生成情境之时，就是问题链的开始之时. 如在呈现了若干个（教材设计的是剧场座位、彗星出现的年份、细胞分裂、日取半棰、树干分枝、奥运奖牌等）数列事例之后，笔者提出第一个问题：这些事例如果用数据描述，可以得到哪些数据？（没有像课本一样直接提出“这些问题有什么共同特点”的问题，因为笔者感觉这样太快）. 这个问题可以驱动学生用数据来表述这些问题，可以将形象的数学情境变成抽象的数学对象，学生的思维也就导向了数学，于是得到20，22，24，26，…；1740， 1823，1906，1989，…；1，2，4，8，16，…等.
有了这些结果之后，问题链中设计的第二个问题是：现在我们已经在用一系列数字来表示刚才的实例，那大家再来看看这些数字有什么共同的特征？这个问题直接瞄准数列的定义，学生在思考这些问题的时候，一方面会发现这些数据其实都是在具体的情境中按一定规律得到的，因此这就呼应着数列定义中的“按照一定次序”，另一方面学生自然会知道这些都是多个数的形式，于是定义中的“一列数”也就有了基础.
在此基础上教师再提出第三个问题：如果用数学语言来描述我们的认识，那这段语言应当如何组织？这个问题的作用就是引导学生的思维走向数学语言，而学生在语言组织的过程中必然会出现差异，因此这个问题其实是可以进一步细化的，比如针对有学生说的“按照一定规律排列的数”就可以反问“一定是存在规律的吗？”并用奥运奖牌数的例子证其伪，于是学生的思维就会宽一些，总之，这个问题细化的过程也是问题链的一部分，在实际教学中也需要注意运用.
通过上述三个问题组成的问题链，学生就可以完成从生活情境向数列定义的转变，在这个概念生成的过程中，问题链发挥了很强的驱动作用.
[?] 用“问题链”驱动学生概念生成的设计策略分析
问题链不是简单的问题的组合，问题要想成“链”，关键在于教学设计的时候要注意问题之间的联系性，尤其是后面问题要承接前面的问题，中间的问题要能够既承上又启下，问题链从语言的角度看，体现的是逻辑性，从学生的思维角度看，体现的是学生思维的连续性.基于这样的认知，笔者梳理了问题链设计的几个基本策略：
其一，促进数学概念感知的策略. 概念感知是概念形成的基础，问题链在促进概念感知方面有独特的作用.
例如“等差数列”概念的构建中可以设计这样的问题链：（1）还记得上一课时所列举的数列事例吗？（2）对这些数列进行比较，你觉得它们的排列次序有规律性吗？（3）剧场座位中的20，22，24，26，…；彗星出现年份的1740，1823，1906，1989， …有没有共同的规律？（4）你能举出与此规律类似的其他数列吗？（5）如何描述这种特征的数列？这五个问题驱动之下，几乎不需要别的事例的讲解，学生就可以顺利构建出“等差数列”的概念.
其二，促进学生比较思维的策略. 概念是比较的结果，高中数学概念生成过程中，比较思维是最常用的思维之一. 比较思维既可以是学生的直觉，也可以是问题驱动之下的结果.
例如，在深化“等比数列”概念的时候，教师可以通过问题链引导学生去比较等比数列与等差数列：（1）等比数列与等差数列的定义有何异同？（2）这种异同表现在通项公式上有什么不同？（3）这种异同体现在求和公式上有什么不同？这三个问题组成的问题链实际上是指向学生的学习品质的，是指向驱动学生的比较思维去完成对两个基本的数列进行比较并描述的过程的，概念生成过程中这种思维往往能够发挥重要作用，其需要问题链的驱动. 其三，促进学生概念构建反思的策略. 概念形成之后让学生反思概念的生成过程，是可以让学生更清晰地把握概念的来龙去脉的.
例如，在数列这一章结束之后，笔者设计了这样的问题链：（1）等差数列与等比数列的概念是怎样得到的？（2）等差数列与等比数列的通项公式与前n项和是怎样得到的？（3）如果重新给你一点时间，你能让这两个过程更简洁吗？（4）能尝试用表格来比较等差数列与等比数列的异同吗？事实证明，经由这个问题链的驱动，学生对数列这一章的三个重要概念会有整体性的把握，从而可以为本章知识结构的形成奠定重要基础.
在具体的教学过程中，问题链的呈现方式也是需要注意的，在教师心中逻辑性很强的问题链显然不需要一下子呈现在学生的面前，而根据学生对前一个问题的回答情况的判断，去寻找第二个问题提出的时机，是问题链发挥作用的重要影响因素. 如在上面第三点所举的例子中，只有当学生清晰地回忆出所举过的数列的例子并回答出數列的特征各有不同之后，再提第二个问题才有意义；而第三个问题实际上是第一、二两个问题的综合，是要等到学生对前两个问题有清晰的答案之后，通过第三个问题对两个基本数列进行综合，并下启对第四个问题的回答.
[?] “问题链”的设计关键在于驱动学生思维的发展
问题的最大作用是驱动学生思维，问题链的最大作用是驱动学生思维的层层递进，因此学生的思维发展是问题链的设计关键.
在概念生成过程中，学生的思维肯定具有递进性，而由于知识基础的差异，不同学生的思维又是有着不同的表现的，这个时候问题链所起的作用就是能够针对不同层次的学生发挥不同的作用.
例如在上面所举的“等差数列”的教学中，当第一个问题提出之后，学生开始回忆上一节课所接触的六个数列，这个时候不同思维水平的学生思维的结果是不同的，有学生能够迅速意识到教师的问题必有所指，因此迅速开始对六个数列进行比较；而有的学生则会盯住其中一个数列进行研究，当这个数列恰好是一个等差数列的时候，也能让他们有所发现；当然也有部分学困生的思路是模糊的，这个时候需要在原有问题链的基础上进行补充，进行个别指导，比如教师可以帮他们将数列分成等差数列、等比数列以及无明显规律的数列，问他们：这下能否发现它们的异同呢？这样的问题链的延伸，是针对不同层次学生思维发展的有效促进手段.
总之，只有瞄准学生的思维发展，问题链的设计才有坚实的基础，只有对学生的思维梯度有清晰的把握，问题之间的衔接才会牢靠，才会真正形成“问题”的“链”. 事实表明，在概念生成的教学中，用问题链的设计思路来实施教学，是可以更好地促进学生的概念构建的.