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摘要：针对“数字信号处理”课程中学生普遍难以掌握的用离散傅里叶变换（DFT）对连续信号谱分析的问题，提出几个关键的教学要点，即明确原理、分析误差、示例验证、计算参数、综合问题、获得频谱。教学实践表明，按此过程讲授，可使学生从根本上增强对这一问题的理解，为解决DFT在工程实际中的应用打好基础。
关键词：离散傅里叶变换（DFT）；谱分析；数字信号处理；教学
作者简介：乔建华（1975-），女，山西离石人，太原科技大学电子信息工程学院，副教授；于少娟（1971-），女，江苏涟水人，太原科技大学电子信息工程学院，教授。（山西 太原 030024）
基金项目：本文系山西省教育厅教学改革研究项目（项目编号：2009sjg202）、山西省高等学校教学改革项目（项目编号：J2011130）、山西省高等学校教学改革项目（项目编号：J2013064）、山西省特色专业建设项目（项目编号：201201）的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）14-0114-02
离散傅里叶变换（DFT）开辟了频域离散化的道路，[1]DFT的快速算法FFT的出现，又使得DFT的应用从理论走向了实践，带来了数字信号处理技术突飞猛进的发展，因此，DFT及其快速算法FFT具有重要的理论及现实意义。DFT的应用之一——用DFT（FFT）对连续信号谱分析就是本科“数字信号处理”课程中的一个重点内容，同时也是一个难点，学生普遍对这部分内容理解不深入，对误差产生原因不明确，对减小误差的方法不清晰。究其原因，还是对整个谱分析过程研究不透彻的缘故。笔者经过多年的教学改革，总结出讲解这部分内容的几个要点，可使学生更深入明确地掌握该内容，并加深对DFT的理解，为DFT在工程实践中的正确应用打好基础。
一、梳理过程，明确原理
对连续信号进行谱分析，关键就是得到信号的傅里叶变换。[2]而要用计算机计算，就需要先进行时域采样，得到采样信号，再经过傅里叶变换转换到频域，然后频域采样，而频域采样就可以用DFT来完成。这个过程如图1所示，模拟信号xa（t）的谱分析，是按实线箭头方向的过程实现的，虚框中的两个步骤实际上是由虚框上方的DFT（FFT）来完成的。
按照上述过程推导可得，用DFT对连续信号谱分析的计算公式为：[2]
， （1）
即可用对连续信号采样得到的时域离散信号x（n）的N点DFT再乘以采样间隔T近似得到。对这个公式的讲解，主要注重其原理和概念，掌握DFT在其中的应用，并且要说明在以上分析的步骤中存在着近似。
二、提出问题，定性分析，指出误差产生必然性
可以发现，在上述分析的过程中存在几个问题，即图1中向下的虚线箭头指向的问题。一是对模拟信号采样时，需要满足Nyquist采样定理，否则会产生频谱混叠。然而模拟信号大多不是锐截止的，因为根据傅里叶变换理论，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。[1]所以对于高频的幅度很小的信号，只能近似看成带限信号，因此在时域采样时，必然会出现频谱混叠现象。二是采样的信号要进行DFT分析，需要是有限长的，因此要对采样的序列进行截断，也会产生误差。三是频谱采样时，相当于隔着栅栏看信号，有些信号会被遮挡，这样就有可能漏掉一些重要的成分，产生误差。
要说明的是，以上这几方面的误差都是不可避免的，只是从工程角度看，在误差允许的范围内。那么误差对谱分析的影响有多大，如何减小这些误差，就是接下来要重点分析的问题。
三、深入探讨，示例验证，寻求减小误差的措施
针对以上过程产生的误差，下面来逐一分析，以探求抑制误差的措施。下表1即详细列出了误差的产生及减小误差的方法。
表1 用DFT对连续信号谱分析的误差问题一览表
产生原因 误差类型 减小误差的方法
时域采样 频谱混叠 预滤，滤除高于折叠频率fs/2的高频杂散分量；
要满足Nyquist采样定理，一般取fs≥(3～5)fc
截取有限长序列 截断效应 增大截取长度，提高频率分辨率，减小高频泄漏；
选择合适的窗函数，但窄的主瓣宽度和低的旁瓣幅度只能折中选取
频域采样 栅栏效应 原序列尾部补零；
增加截取长度
具体来说，首先时域采样时，由于不是带限信号，肯定会造成混叠。为了满足Nyquist采样定理，可以先进行预滤，滤除高于折叠频率fs/2的高频杂散信号，然后再按照采样频率fs≥2fc的原则，[3]fc为模拟信号的最高频率，而实际应用中fs一般取（3～5）fc。
其次要截取有限长序列，需要通过加窗来截断，由此造成了截断效应，它有高频泄露和谱间干扰两种表现方式。[4]对于这个问题，先要讲清窗函数的性质，窗函数的频谱主要关注两点：一是主瓣。例如对于矩形窗，就是指ω=-2π/N和2π/N之间的区域，因此矩形窗的主瓣宽度就是4π/N，[5]它使得谱线展宽，即产生了高频泄漏，影响的是频率分辨率。由于每一波瓣下的面积是恒定不变的，随着N的增大，主瓣会变窄，幅度会增加。二是旁瓣。它产生的波纹造成了谱间干扰，大的旁瓣可能会湮没小的主瓣，因此旁瓣的幅度也要设法减小。但是对确定的窗函数，旁瓣的衰减是确定的。对不同的窗函数，当N一定时，主瓣宽度窄的，旁瓣幅度就高；旁瓣幅度低的，主瓣宽度就宽，所以要根据需要折中选取。掌握了窗函数的特性，也就能明白如何减小截断效应带来的误差，也即从增大截取长度N和选择合适的窗函数两个方面来解决这个问题。
对于频域采样时产生的栅栏效应，一方面要减少遮挡，可以通过给原序列尾部补零，增加DFT变换的点数；另一方面是直接增大截取长度，将频谱本身细化，频率分辨率自然随之提高。这个问题可以举一些具体的例子，通过MATLAB演示来说明，[6]更能直观地体现这两种方法本质的不同，加深学生的理解。
例如分析信号x（n）=cos（40nπ）+cos（41nπ）+sin（80nπ），则要分辨出20Hz和20.5Hz的两条谱线，频率分辨率至少就要达到0.5Hz。由于信号最高频率为40Hz，采样频率取100Hz，则最少采样点数为100/0.5=200，这里取256点。若点数太少，频谱本身就是不清晰的，DFT的变换点数再多也无用。下图2显示了不同采样点数及序列尾部补零时对应的频谱图，从中可以清晰地看出不同情况下信号频谱的分布。
四、回归问题，计算参数，得到谱分析结果
总结以上过程，根据谱分析原理及误差减小的方法，可以得到用DFT对连续信号谱分析的具体步骤：预滤，确定模拟信号最高频率fc；时域采样，采样频率fs≥2fc，一般取fs≥（3～5）fc；确定截取长度，用记录时间Tp表示，由于频率分辨率F=fs/N，最少记录时间Tpmin=NT=N/fs=1/F；选择合适的窗函数；确定最少采样点数Nmin=fs/F；按照式（1），得到模拟信号的离散频谱函数Xa（k）。
另外需要说明的是，根据频率采样定理，只有频率采样点数N大于等于原序列长度M，才能无失真地恢复原时域信号，所以通常将序列的截取点数也作为N。而且，在实际的应用中，上述参数的取值一般都要大些，以保证获得准确的频域分析结果。一种有效的做法是，将取值按倍数扩大后，看频谱是否出现新的信息，如此反复对比，直至获得精准结果。
五、结语
“数字信号处理”是一门理论和实践并重的课程，因此在教学中，既要讲清原理，又要多以例证。对于本节内容，这两方面尤其要重视。本文即针对工程实践中经常需要做的用DFT对连续信号谱分析的问题，亦是“数字信号处理”课程中的难点之一，做了细致的分析，指出讲授这部分内容的几个关键要素：先要宏观把握，明确整个谱分析的过程；再通过定性分析指出误差产生的必然性；然后可以通过不同示例寻求减小误差的具体方法；最后一定要回到问题上，计算出所需参数，最终得到准确的频谱，从而可使学生脱离只会依据例子计算参数的简单层次，理清整个谱分析过程的脉络，明确各环节之间的关系，获得精准的频谱分析结果。实践表明，取得了良好的教学效果。
参考文献：
[1]A.V.Oppenheim, R.W.Schafer.数字信号处理[M].北京:科学出版社,1980.
[2]高西全,丁玉美.数字信号处理[M].第三版.西安:西安电子科技出版社,2008.
[3]贾中云,李秀梅,董文.“数字信号处理”中采样定理的教学探索[J].中国电力教育,2012,(29):52-53.
[4]谢海霞,孙志雄.连续非周期信号频谱分析及Matlab实现[J].现代电子技术,2013,(11):53-56.
[5]Sophocles J.Orfanidis.信号处理导论[M].北京:清华大学出版社,
1999.
[6]黄永平,田秀丽,田晓燕.“数字信号处理”课程教学改革与实践[J].电气电子教学学报,2013,(2):39-40,43.
（责任编辑：王意琴）
关键词：离散傅里叶变换（DFT）；谱分析；数字信号处理；教学
作者简介：乔建华（1975-），女，山西离石人，太原科技大学电子信息工程学院，副教授；于少娟（1971-），女，江苏涟水人，太原科技大学电子信息工程学院，教授。（山西 太原 030024）
基金项目：本文系山西省教育厅教学改革研究项目（项目编号：2009sjg202）、山西省高等学校教学改革项目（项目编号：J2011130）、山西省高等学校教学改革项目（项目编号：J2013064）、山西省特色专业建设项目（项目编号：201201）的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）14-0114-02
离散傅里叶变换（DFT）开辟了频域离散化的道路，[1]DFT的快速算法FFT的出现，又使得DFT的应用从理论走向了实践，带来了数字信号处理技术突飞猛进的发展，因此，DFT及其快速算法FFT具有重要的理论及现实意义。DFT的应用之一——用DFT（FFT）对连续信号谱分析就是本科“数字信号处理”课程中的一个重点内容，同时也是一个难点，学生普遍对这部分内容理解不深入，对误差产生原因不明确，对减小误差的方法不清晰。究其原因，还是对整个谱分析过程研究不透彻的缘故。笔者经过多年的教学改革，总结出讲解这部分内容的几个要点，可使学生更深入明确地掌握该内容，并加深对DFT的理解，为DFT在工程实践中的正确应用打好基础。
一、梳理过程，明确原理
对连续信号进行谱分析，关键就是得到信号的傅里叶变换。[2]而要用计算机计算，就需要先进行时域采样，得到采样信号，再经过傅里叶变换转换到频域，然后频域采样，而频域采样就可以用DFT来完成。这个过程如图1所示，模拟信号xa（t）的谱分析，是按实线箭头方向的过程实现的，虚框中的两个步骤实际上是由虚框上方的DFT（FFT）来完成的。
按照上述过程推导可得，用DFT对连续信号谱分析的计算公式为：[2]
， （1）
即可用对连续信号采样得到的时域离散信号x（n）的N点DFT再乘以采样间隔T近似得到。对这个公式的讲解，主要注重其原理和概念，掌握DFT在其中的应用，并且要说明在以上分析的步骤中存在着近似。
二、提出问题，定性分析，指出误差产生必然性
可以发现，在上述分析的过程中存在几个问题，即图1中向下的虚线箭头指向的问题。一是对模拟信号采样时，需要满足Nyquist采样定理，否则会产生频谱混叠。然而模拟信号大多不是锐截止的，因为根据傅里叶变换理论，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时间无限长。[1]所以对于高频的幅度很小的信号，只能近似看成带限信号，因此在时域采样时，必然会出现频谱混叠现象。二是采样的信号要进行DFT分析，需要是有限长的，因此要对采样的序列进行截断，也会产生误差。三是频谱采样时，相当于隔着栅栏看信号，有些信号会被遮挡，这样就有可能漏掉一些重要的成分，产生误差。
要说明的是，以上这几方面的误差都是不可避免的，只是从工程角度看，在误差允许的范围内。那么误差对谱分析的影响有多大，如何减小这些误差，就是接下来要重点分析的问题。
三、深入探讨，示例验证，寻求减小误差的措施
针对以上过程产生的误差，下面来逐一分析，以探求抑制误差的措施。下表1即详细列出了误差的产生及减小误差的方法。
表1 用DFT对连续信号谱分析的误差问题一览表
产生原因 误差类型 减小误差的方法
时域采样 频谱混叠 预滤，滤除高于折叠频率fs/2的高频杂散分量；
要满足Nyquist采样定理，一般取fs≥(3～5)fc
截取有限长序列 截断效应 增大截取长度，提高频率分辨率，减小高频泄漏；
选择合适的窗函数，但窄的主瓣宽度和低的旁瓣幅度只能折中选取
频域采样 栅栏效应 原序列尾部补零；
增加截取长度
具体来说，首先时域采样时，由于不是带限信号，肯定会造成混叠。为了满足Nyquist采样定理，可以先进行预滤，滤除高于折叠频率fs/2的高频杂散信号，然后再按照采样频率fs≥2fc的原则，[3]fc为模拟信号的最高频率，而实际应用中fs一般取（3～5）fc。
其次要截取有限长序列，需要通过加窗来截断，由此造成了截断效应，它有高频泄露和谱间干扰两种表现方式。[4]对于这个问题，先要讲清窗函数的性质，窗函数的频谱主要关注两点：一是主瓣。例如对于矩形窗，就是指ω=-2π/N和2π/N之间的区域，因此矩形窗的主瓣宽度就是4π/N，[5]它使得谱线展宽，即产生了高频泄漏，影响的是频率分辨率。由于每一波瓣下的面积是恒定不变的，随着N的增大，主瓣会变窄，幅度会增加。二是旁瓣。它产生的波纹造成了谱间干扰，大的旁瓣可能会湮没小的主瓣，因此旁瓣的幅度也要设法减小。但是对确定的窗函数，旁瓣的衰减是确定的。对不同的窗函数，当N一定时，主瓣宽度窄的，旁瓣幅度就高；旁瓣幅度低的，主瓣宽度就宽，所以要根据需要折中选取。掌握了窗函数的特性，也就能明白如何减小截断效应带来的误差，也即从增大截取长度N和选择合适的窗函数两个方面来解决这个问题。
对于频域采样时产生的栅栏效应，一方面要减少遮挡，可以通过给原序列尾部补零，增加DFT变换的点数；另一方面是直接增大截取长度，将频谱本身细化，频率分辨率自然随之提高。这个问题可以举一些具体的例子，通过MATLAB演示来说明，[6]更能直观地体现这两种方法本质的不同，加深学生的理解。
例如分析信号x（n）=cos（40nπ）+cos（41nπ）+sin（80nπ），则要分辨出20Hz和20.5Hz的两条谱线，频率分辨率至少就要达到0.5Hz。由于信号最高频率为40Hz，采样频率取100Hz，则最少采样点数为100/0.5=200，这里取256点。若点数太少，频谱本身就是不清晰的，DFT的变换点数再多也无用。下图2显示了不同采样点数及序列尾部补零时对应的频谱图，从中可以清晰地看出不同情况下信号频谱的分布。
四、回归问题，计算参数，得到谱分析结果
总结以上过程，根据谱分析原理及误差减小的方法，可以得到用DFT对连续信号谱分析的具体步骤：预滤，确定模拟信号最高频率fc；时域采样，采样频率fs≥2fc，一般取fs≥（3～5）fc；确定截取长度，用记录时间Tp表示，由于频率分辨率F=fs/N，最少记录时间Tpmin=NT=N/fs=1/F；选择合适的窗函数；确定最少采样点数Nmin=fs/F；按照式（1），得到模拟信号的离散频谱函数Xa（k）。
另外需要说明的是，根据频率采样定理，只有频率采样点数N大于等于原序列长度M，才能无失真地恢复原时域信号，所以通常将序列的截取点数也作为N。而且，在实际的应用中，上述参数的取值一般都要大些，以保证获得准确的频域分析结果。一种有效的做法是，将取值按倍数扩大后，看频谱是否出现新的信息，如此反复对比，直至获得精准结果。
五、结语
“数字信号处理”是一门理论和实践并重的课程，因此在教学中，既要讲清原理，又要多以例证。对于本节内容，这两方面尤其要重视。本文即针对工程实践中经常需要做的用DFT对连续信号谱分析的问题，亦是“数字信号处理”课程中的难点之一，做了细致的分析，指出讲授这部分内容的几个关键要素：先要宏观把握，明确整个谱分析的过程；再通过定性分析指出误差产生的必然性；然后可以通过不同示例寻求减小误差的具体方法；最后一定要回到问题上，计算出所需参数，最终得到准确的频谱，从而可使学生脱离只会依据例子计算参数的简单层次，理清整个谱分析过程的脉络，明确各环节之间的关系，获得精准的频谱分析结果。实践表明，取得了良好的教学效果。
参考文献：
[1]A.V.Oppenheim, R.W.Schafer.数字信号处理[M].北京:科学出版社,1980.
[2]高西全,丁玉美.数字信号处理[M].第三版.西安:西安电子科技出版社,2008.
[3]贾中云,李秀梅,董文.“数字信号处理”中采样定理的教学探索[J].中国电力教育,2012,(29):52-53.
[4]谢海霞,孙志雄.连续非周期信号频谱分析及Matlab实现[J].现代电子技术,2013,(11):53-56.
[5]Sophocles J.Orfanidis.信号处理导论[M].北京:清华大学出版社,
1999.
[6]黄永平,田秀丽,田晓燕.“数字信号处理”课程教学改革与实践[J].电气电子教学学报,2013,(2):39-40,43.
（责任编辑：王意琴）