[摘要]尝试用数值分析方法处理利用动态法测量材料杨氏模量的实验数据，根据实验数据的分布规律，采用最小二乘法二次曲线拟合，拟合度良好。精确的数值计算避免引入新的误差，再用拟合出的方程求出节点处的共振频率，进而计算出材料杨氏模量的值。
　　[关键词]杨氏模量 动态法 共振频率 最小二乘法
　　中图分类号：TP2文献标识码：A 文章编号：1671-7597(2008)1210014-01
　　
　　本文尝试用数值分析方法处理实验数据，由此得出的结论与材料真实的杨氏模量更为贴近。
　　
　　一、实验原理
　　
　　动态法测量杨氏模量的原理如图1所示，将一个质量均匀的被测试样搁置（或悬挂）在两个换能器1和2上，其中1为激振器，2为拾振器。信号发生器产生的音频信号通过激振器1转换成机械振动传递给试样，激发试样发生机械振动，试样的机械振动又通过拾振器2转变为电信号输出。当信号发生器输出的频率与试样的固有频率相等时，试样发生共振，此时拾振器输出的电压会瞬间增加数倍，用拾振器测出试样共振时的共振频率，再测出试样的几何尺寸、质量等参数，就可以利用公式求出材料的杨氏模量。
　　理论推导出圆截面细长棒的杨氏模量公式为：式(1)
　　其中，L为棒长，d为圆棒直径，m为棒的质量，f为棒的共振频率，T为棒的修正系数。公式（1）根据圆棒的基频（最低级次频率）的对称形振动的波形导出，如图2所示，试样在基频做振动，存在两个节点，分别在棒的和处，振动过程中节点振幅为零。理论上，样品做基频共振时，悬点应位于节点处，因为在非节点处激振会引起新的干扰，但是悬点若位于节点，棒试样振动又无法激发，故欲激振，悬点必须离开节点位置，这样，由于理论条件与实际操作的不一致，势必产生B类不确定度。因此，实验中采用下述方法测定棒的弯曲振动基频频率：先将两悬线置于靠近样品端面的某点，测定此处的共振频率，然后同时改变两悬线的位置，每次向中间缩进5mm，共测n次，然后用已经测得的各组频率值，再用一定的方法来拟合,确定节点处的共振频率。
　　
　　二、数值计算方法及过程
　　
　　本实验使用材料铝棒的各项参数为
　　其中
　　分别使用功率函数信号发生器，压电式换能器及SS-7802型模拟示波器发出、转换和采集信号，室温条件下，共测量了15组悬挂点距铝棒端点距离与共振频率的对应关系数据，这里记共振频率为y，悬挂点的位置为x，结果如下表：
　　由以上实验数据可以看出，共振频率y随悬挂点位置x的变化，与之在平面直角坐标系中大致成二次函数的对应关系。故笔者采用最小二乘法的二次曲线拟合法处理所得的实验数据，预计拟合结果为一条二次抛物线。
　　以下是数据处理过程：
　　首先建立方程：
　　由该方程构造矩阵：
　　其中矩阵 之间满足 ，再构造正规方程：
　　 得到
　　将以上15组数据代入矩阵，计算结果
　　将节点处 ，计算得到：
　　
　　频率的不确定度取为测量时最小读数的一半，即 。
　　
　　三、测量结果及不确定度分析
　　
　　（1）数值计算处理实验结果
　　将各测量结果及计算值代入公式计算圆截面细长棒的杨氏模量表达式，得
　　由不确定度公式有：
　　
　　将数据代入计算得：
　　
　　故铝棒杨氏模量测量的最终结果为：
　　（2）若直接利用作图法处理实验结果
　　直接在坐标纸上根据实验得出的数据绘图，在所绘得的曲线上找到0.224L处的点所对应的频率 代入公式计算得出:
　　同样由以上不确定度公式得
　　
　　故铝棒的杨氏模量测量的最终结果为：
　　对式（2），式（3）两个结果进行比较,得
　　可知用最小二乘法数值分析方法所的结果较之一般的作图法，其相对不确定度减小了一半以上。
　　
　　四、结语
　　
　　根据实验数据分布的规律，分析其大致呈二次曲线分布，故采用最小二乘法，构造不相容方程组处理该实验的实验结果。该处理方法用到了整套实验数据，采用精确的数学分析计算方法，因此有效的减少了系统误差的影响，较之作图法，又没有带进新的人为因素引起的误差，提高了实验测量的精度。
　　
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