数学是研究数量关系和空间形式的科学，把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为易、化繁为简的目的。本文主要是研究数形结合思想在函数、方程与不等式、解析几何、集合和线性规划等解题中的一些应用。通过对几个典型例题的剖析，进而得出数形结合思想在高中数学解题方面的强大功用。数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形又是数的直观表现。数形结合并不是简单的堆砌，而是有机的结合。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”而对于抽象思维还不够成熟的高中学生来说，如果在解题中能够很好的运用这一数形结合思想解题，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果。下面，我将从六个方面来说明数形结合思想在解题中的应用。
　　利用图形的直观性来求参变量的取值范围、讨论函数的值域（或最值）等，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。在解有关方程根的问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解題的思路。在处理解析几何有关的问题时，把方程转化为曲线，从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质、化简的形式通过构造思想融于函数的图象之中，将数（量）与图形结合起来进行分析、研究，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种思维策略。
　　在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。在解线性规划问题时，常把二元不等式转化为平面区域，使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决线性规划问题的一种思维策略。二元一次不等式组与二元函数的对应实质上是简单线性规划问题，利用可行域可以求目标函数的最值，属于典型的数形结合的案例。值得注意的是，目标函数对应的直线与边界直线斜率的大小关系用于确定最优解的正确位置应仔细观察各直线的倾斜程度，准确判定可行域内的最优解。
　　总之，数形结合思想是数学中基本而又重要的思想，是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合来寻找解题思路，使问题得到解决，有助于把握数学问题的本质。（单位：湖南省永州四中）