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摘 要："过程→生成"教学理念认为：教学要向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，基于"过程→生成"教学理念，给出了 有多大内容的教学设计。
关键词："过程→生成"教学理念； 有多大；教学设计
教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为"过程→生成"教学理念是理想的选择。所谓"过程→生成"教学，就是向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，具体论述请见笔者《论"过程→生成"教学》一文①或见文献[1-3]，本文只说明两个基本观点：一是"过程→生成"理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是"过程→生成"理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行"创新型"教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。
本文基于"过程→生成"理念，设计"探究 大小"的生成过程，意在抛砖引玉，旨在推广"过程→生成"教学理念。
一、设计说明
人教版初中数学八年级上册安排了以下的探究 大小的内容：
∵ 12=2 ，22=4 ， ∴ 1<<2；
∵ 1.42=1.96 ， 1.52=2.25，∴1.4<<1.5 ；
∵ 1.412=1.9881 ，1.422=2.0164 ， ∴1.41<<1.42 ；
∵ 1.4142=1.999396 ， 1.4152=2.002225，∴ 1.414<<1.415； ……
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值。事实上，=1.41421356…… ，它是一个无限不循环小数。
一般的教学也是这样做的。然而，美其名曰的"探究"，究竟探究了什么？如果说仅仅让学生将上述不等式使用计算器验算一遍就算是探究的话，未免太荒唐啦，并且是浪费时间。如若不信请做个测验：课后让学生自己探究 有多大，看看结果如何。
问题是这些不等式从何而来！解决此问题可用中点法，并且这是一举两得之法：既使学生真正地体验到探究方法，由使学生学习到实用的最优化方法。也许说初二学生不易接受中点法，非也！笔者在上世纪70年代即给初中学生讲授过中点法与0.618法（华罗庚先生在上世纪60、70年代致力于推广优选法，教材中当然有此内容），学生乐于学习、易于接受并且善于应用，效果非常不错。
那么在此如何使用中点法，至少有两种做法：一是直接使用，二是先通过实例使学生熟悉中点法后再研究 。本文设计采用后者，主要步骤是：首先诱导学生使用中点法查找地下煤气管道泄漏之处，然后研究 的几何意义以及 的值。
准确地说本设计只是给出了一个知识生成过程，至于如何在教学中实现，可酌情采用各种教学方法：讲授式、开放式、探究式等等均可；实在地说讲授法应该是最基本的、且使用最多的教学方法，如果在"过程→生成"式讲授法基础上，酌情辅以各种新型教法，必将产生理想的效果。
二、具体设计
1、准备工作
可以课前或者课上进入讲授内容之前先做准备工作 -- 解决实际问题：已测得A 、 B两点间的地下煤气管道发生泄漏，你能确定具体的泄露点吗？能否把 A、 B两点间的煤气管道全部挖开？那么就只能在A 、B 之间选点检查啦！不过如何选点较好呢？分析如下：
一种方法：在 A、 B之间任选一点C ，如图1所示，假如 C点偏向于A 点，那么会出现三种情况，一是煤气泄露处恰好在 C点，当然问题得到解决；二是煤气泄露处处于 AC段，此结果理想，因为此时减少了后续查找的工作量；三是煤气泄露处在 BC段，那么运气就非常糟糕（并且C 点越靠近A ，运气就越糟糕），因为此时加大了后续查找的工作量。一种"厄运"是：第三种情况频频出现，因此这种"任意选点"的方法是很不稳妥的。
第二种方法是：为克服第一种方法的"大偏差'厄运'"而选择A 、 B的中点（如图2所示）。也就是说选择A 、 B的中点M ，如果煤气泄露处在 AM段，那么下一步就再取 AM的中点进行，否则就再取 BM的中点进行，显然无论煤气泄露处落在那一段，对后续工作量的影响都不大。这样一步步进行下去，直到找到煤气泄露处停止。如此处理比较"稳妥"，因为每步操作都取中点，故称之为中点法。
2、 几何意义的探究
我们知道：2，是确定的数，它表示数轴上的两个单位长度； 1/3也是确定的，它表示把数轴上的单位长度分成三份，而取其中的一份；等等。但是 呢？分析 的定义：
如果 x>0且x2=2 ，那么 x=
定义中 主要是由 经x2=2确定的，其中 x2是主要因素，那么由x2 能联想到什么呢？--正方形的面积，于是想象到：如果能作出一个边长是 x分米且面积是2平方分米的正方形，那么 的意义也就清楚啦。然而怎么做呢？因为已学过的有理数根本不存在这样的 ，所以很难直接做出如此图形。于是就退一步想：不直接作此正方形，先做几个面积之和等于2的图形，由这些图形拼凑出所要求的图形。依此思路具体分析：因为要求面积和是2平方分米，而2=1+1 ，因此就想到，先做两个面积是1平方分米的正方形，由它们拼凑成一个面积是2平方分米的正方形。于是立即行动：
在纸上做两个"面积是1平方分米"的正方形，进行拼图试验。
这样就生成了教材P69的探究方法（见图3），探究结果： 是单位正方形对角线之长
3、 大小的探究
已知 是单位正方形的对角线之长，不过这个长具体是多少，还不清楚，需要继续研究。常识性思考：要知对角线有多长，可用尺子来测量，那么用什么尺子呢？联想到数轴，数轴就是一把尺子，于是就需要把这个对角线放到数轴上，测量其长度。 那么如何把对角线放到数轴上呢？因为对角线在单位正方形中，所以就先把正方形放在数轴上，如图3（a）所示，此时的对角线倾斜着，要测量就应让它躺下来，于是得到图3（b）。由图可见， 对应着数轴上的 A点，并且估计 A点应在1与2之间。需验证"估计"的正确性：因为 12=2 ，22=4 ，所以1<<2 ，于是 的确在1与2之间。
不过 在1与2之间的什么位置，还不清楚，需要继续判断，显然这与寻求"煤气泄露点"是类似的问题，所以用中点法寻找其近似值：
①、取 1与2 的中点（1+2）/2=1.5 ，因为 1.52=2.25，所以1<<1.5 ；
②、取1 与1.5 的中点（1+1.5）/2=1.25 ，此时应在1.2 与1.3 中选择（以避免数据位数急剧增大），因为1.32=1.69<2 ，所以取1.3 ，即有1.3<<1.5 ；
③、取 1.3与1.5 的中点1.4 ，因为1.42=1.96 <2，所以1.4<<1.5 ；
④、取1.4 与1.5 的中点1.45 ，因为1.452=2.1025>2 ，所以1.4<<1.45 ；
⑤、取1.4 与 1.45的中点1.425 ，此时应在 1.42与 1.43中选择，因为1.422=2.0164 >2 ，所以取1.42 ，即有1.4<<1.42 ；
⑥、取1.4 与1.42 的中点1.41 ，因为 1.412=1.9881<2 ，所以 1.41<<1.42 ；
⑦、取1.41 与1.42 的中点1.415 ，因为1.4152=2.002225 >2，所以 1.41<<1.415；
⑧、取 1.41与 1.415的中点1.4125 ，此时应在1.412 与 1.413中选择，因为 1.4132=1.996569<2，所以1.413<<1.415 ；
）⑨、取 1.413与 1.415的中点 1.414，因为1.4142=1.999396 <2，所以1.414<<1.415 ；
……
结论分析：因为对于任意有理数a 、b ，若a 4、练习：确定 的大小。
注释：
①此文是课题《基于三维目标的高师数学过程教学模式研究》之《结题报告》的精简，将在《韩山师范学院学报》2013年第3期发表。
参考文献：
[1]王积社. 系统科学视阈下：对三维目标的系统化解读[J].大家，2012，（2，中）：112-113.
[2]王积社. 过程化：三维目标视野中讲授法的诉求[J]. 教学与管理，2011，（33）：116-117.
[3]王积社. 讲授观的嬗变：从注入到"过程→生成"--基于高等数学教学探讨[J].韩山师范学院学报，2012，32（6）：99-104.
作者简介：王积社（1954 -），男， 山西省晋城人， 副教授.主要研究方向： 数学机械化、数学教育。
关键词："过程→生成"教学理念； 有多大；教学设计
教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为"过程→生成"教学理念是理想的选择。所谓"过程→生成"教学，就是向学生展现"有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程"，具体论述请见笔者《论"过程→生成"教学》一文①或见文献[1-3]，本文只说明两个基本观点：一是"过程→生成"理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是"过程→生成"理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行"创新型"教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。
本文基于"过程→生成"理念，设计"探究 大小"的生成过程，意在抛砖引玉，旨在推广"过程→生成"教学理念。
一、设计说明
人教版初中数学八年级上册安排了以下的探究 大小的内容：
∵ 12=2 ，22=4 ， ∴ 1<<2；
∵ 1.42=1.96 ， 1.52=2.25，∴1.4<<1.5 ；
∵ 1.412=1.9881 ，1.422=2.0164 ， ∴1.41<<1.42 ；
∵ 1.4142=1.999396 ， 1.4152=2.002225，∴ 1.414<<1.415； ……
如此进行下去，可以得到 的更精确的近似值。事实上，=1.41421356…… ，它是一个无限不循环小数。
一般的教学也是这样做的。然而，美其名曰的"探究"，究竟探究了什么？如果说仅仅让学生将上述不等式使用计算器验算一遍就算是探究的话，未免太荒唐啦，并且是浪费时间。如若不信请做个测验：课后让学生自己探究 有多大，看看结果如何。
问题是这些不等式从何而来！解决此问题可用中点法，并且这是一举两得之法：既使学生真正地体验到探究方法，由使学生学习到实用的最优化方法。也许说初二学生不易接受中点法，非也！笔者在上世纪70年代即给初中学生讲授过中点法与0.618法（华罗庚先生在上世纪60、70年代致力于推广优选法，教材中当然有此内容），学生乐于学习、易于接受并且善于应用，效果非常不错。
那么在此如何使用中点法，至少有两种做法：一是直接使用，二是先通过实例使学生熟悉中点法后再研究 。本文设计采用后者，主要步骤是：首先诱导学生使用中点法查找地下煤气管道泄漏之处，然后研究 的几何意义以及 的值。
准确地说本设计只是给出了一个知识生成过程，至于如何在教学中实现，可酌情采用各种教学方法：讲授式、开放式、探究式等等均可；实在地说讲授法应该是最基本的、且使用最多的教学方法，如果在"过程→生成"式讲授法基础上，酌情辅以各种新型教法，必将产生理想的效果。
二、具体设计
1、准备工作
可以课前或者课上进入讲授内容之前先做准备工作 -- 解决实际问题：已测得A 、 B两点间的地下煤气管道发生泄漏，你能确定具体的泄露点吗？能否把 A、 B两点间的煤气管道全部挖开？那么就只能在A 、B 之间选点检查啦！不过如何选点较好呢？分析如下：
一种方法：在 A、 B之间任选一点C ，如图1所示，假如 C点偏向于A 点，那么会出现三种情况，一是煤气泄露处恰好在 C点，当然问题得到解决；二是煤气泄露处处于 AC段，此结果理想，因为此时减少了后续查找的工作量；三是煤气泄露处在 BC段，那么运气就非常糟糕（并且C 点越靠近A ，运气就越糟糕），因为此时加大了后续查找的工作量。一种"厄运"是：第三种情况频频出现，因此这种"任意选点"的方法是很不稳妥的。
第二种方法是：为克服第一种方法的"大偏差'厄运'"而选择A 、 B的中点（如图2所示）。也就是说选择A 、 B的中点M ，如果煤气泄露处在 AM段，那么下一步就再取 AM的中点进行，否则就再取 BM的中点进行，显然无论煤气泄露处落在那一段，对后续工作量的影响都不大。这样一步步进行下去，直到找到煤气泄露处停止。如此处理比较"稳妥"，因为每步操作都取中点，故称之为中点法。
2、 几何意义的探究
我们知道：2，是确定的数，它表示数轴上的两个单位长度； 1/3也是确定的，它表示把数轴上的单位长度分成三份，而取其中的一份；等等。但是 呢？分析 的定义：
如果 x>0且x2=2 ，那么 x=
定义中 主要是由 经x2=2确定的，其中 x2是主要因素，那么由x2 能联想到什么呢？--正方形的面积，于是想象到：如果能作出一个边长是 x分米且面积是2平方分米的正方形，那么 的意义也就清楚啦。然而怎么做呢？因为已学过的有理数根本不存在这样的 ，所以很难直接做出如此图形。于是就退一步想：不直接作此正方形，先做几个面积之和等于2的图形，由这些图形拼凑出所要求的图形。依此思路具体分析：因为要求面积和是2平方分米，而2=1+1 ，因此就想到，先做两个面积是1平方分米的正方形，由它们拼凑成一个面积是2平方分米的正方形。于是立即行动：
在纸上做两个"面积是1平方分米"的正方形，进行拼图试验。
这样就生成了教材P69的探究方法（见图3），探究结果： 是单位正方形对角线之长
3、 大小的探究
已知 是单位正方形的对角线之长，不过这个长具体是多少，还不清楚，需要继续研究。常识性思考：要知对角线有多长，可用尺子来测量，那么用什么尺子呢？联想到数轴，数轴就是一把尺子，于是就需要把这个对角线放到数轴上，测量其长度。 那么如何把对角线放到数轴上呢？因为对角线在单位正方形中，所以就先把正方形放在数轴上，如图3（a）所示，此时的对角线倾斜着，要测量就应让它躺下来，于是得到图3（b）。由图可见， 对应着数轴上的 A点，并且估计 A点应在1与2之间。需验证"估计"的正确性：因为 12=2 ，22=4 ，所以1<<2 ，于是 的确在1与2之间。
不过 在1与2之间的什么位置，还不清楚，需要继续判断，显然这与寻求"煤气泄露点"是类似的问题，所以用中点法寻找其近似值：
①、取 1与2 的中点（1+2）/2=1.5 ，因为 1.52=2.25，所以1<<1.5 ；
②、取1 与1.5 的中点（1+1.5）/2=1.25 ，此时应在1.2 与1.3 中选择（以避免数据位数急剧增大），因为1.32=1.69<2 ，所以取1.3 ，即有1.3<<1.5 ；
③、取 1.3与1.5 的中点1.4 ，因为1.42=1.96 <2，所以1.4<<1.5 ；
④、取1.4 与1.5 的中点1.45 ，因为1.452=2.1025>2 ，所以1.4<<1.45 ；
⑤、取1.4 与 1.45的中点1.425 ，此时应在 1.42与 1.43中选择，因为1.422=2.0164 >2 ，所以取1.42 ，即有1.4<<1.42 ；
⑥、取1.4 与1.42 的中点1.41 ，因为 1.412=1.9881<2 ，所以 1.41<<1.42 ；
⑦、取1.41 与1.42 的中点1.415 ，因为1.4152=2.002225 >2，所以 1.41<<1.415；
⑧、取 1.41与 1.415的中点1.4125 ，此时应在1.412 与 1.413中选择，因为 1.4132=1.996569<2，所以1.413<<1.415 ；
）⑨、取 1.413与 1.415的中点 1.414，因为1.4142=1.999396 <2，所以1.414<<1.415 ；
……
结论分析：因为对于任意有理数a 、b ，若a 4、练习：确定 的大小。
注释：
①此文是课题《基于三维目标的高师数学过程教学模式研究》之《结题报告》的精简，将在《韩山师范学院学报》2013年第3期发表。
参考文献：
[1]王积社. 系统科学视阈下：对三维目标的系统化解读[J].大家，2012，（2，中）：112-113.
[2]王积社. 过程化：三维目标视野中讲授法的诉求[J]. 教学与管理，2011，（33）：116-117.
[3]王积社. 讲授观的嬗变：从注入到"过程→生成"--基于高等数学教学探讨[J].韩山师范学院学报，2012，32（6）：99-104.
作者简介：王积社（1954 -），男， 山西省晋城人， 副教授.主要研究方向： 数学机械化、数学教育。