利用数列递推公式求通项公式浅探

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  [摘要]在高中数学中,数列知识最活跃,联系最广泛,是高考的重点与难点.而通项公式又是数列的灵魂.对利用递推公式求通项公式进行研究,可揭示这一内容的数学规律与本质.
  [关键词]数列通项公式递推公式
  [中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2015)020060
  历年高考对数列的考查都是以通项公式和前n项和为主,其中前n项和的求法又是由通项公式决定的,所以,通项公式是数列的重点.在求通项公式的题型中,利用递推公式求通项公式是重点.本文将按照不同递推公式的形式,介绍几种求通项公式的方法.
  一、形如an 1-an=f(n)的递推公式求通项公式(叠加法)
  具体做法如下.
  ∵an 1-an=f(n),∴a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1).
  上面n-1个式子左右两边分别相加,得an-a1=f(1) f(2) … f(n-1).
  算出右边的式子,再结合给出的a1,则可求出通项公式.
  【例1】已知a1=1,an 1-an=2n,求an.
  解:∵an 1-an=2n,∴a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1.
  左右两边分别相加得
  an-a1=2 22 … 2n-1=2(1-2n-1)1-2=2n-2.
  ∴an=2n-1.
  二、形如an 1an=f(n)的递推公式求通项公式(叠乘法)
  具体做法如下.
  ∵an 1an=f(n),∴a2a1=f(1),a3a2=f(2),…,anan-1=f(n-1).
  上面n-1个式子左右两边分别相乘,得ana1=f(1)×f(2)×…×f(n-1).
  同样算出右边的式子,再结合给出的a1,则可求出通项公式.
  【例2】已知a1=1,(n 1)an 1=nan,求an.
  解:∵(n 1)an 1=nan,即an 1an=nn 1,∴a2a1=12,a3a2=23,…,anan-1=n-1n.
  上述n-1个式子左右两边相乘,得ana1=12×23×…×n-1n=1n.∴an=1n.
  三、形如an 1=can d(c≠1)的递推公式求通项公式(构造等比数列)
  具体做法如下.
  设an 1 x=c(an x),则有an 1=can (c-1)x.与an 1=can d对比,得(c-1)x=d,∴x=dc-1.将x=dc-1代入an 1 x=c(an x),得an 1 dc 1=c(an dc-1).
  令bn=an dc-1,则有bn 1=cbn,且b1=a1 dc-1.可以看出,数列{bn}是等比数列,求出{bn}的通项公式,即可求出an.
  【例3】已知a1=1,an 1=2an 1,求an.
  分析:设an 1 x=2(an x),展开得an 1=2an x,与an 1=2an 1对比得x=1.
  解:∵an 1=2an 1,∴an 1 1=2(an 1).
  令bn=an 1,则bn 1=2bn.
  ∵b1=a1 1=2,∴bn=2n,即an=2n-1.
  四、形如an 1=can dn的递推公式求通项公式
  (1)当c≠d时,采用构造等比数列的方法.
  设an 1 xdn 1=c(an xdn)an 1 xdn 1=can cxdn-xdn 1an 1=can (c-d)xdn.
  与an 1=can dn对比,可得(c-d)x=1,从而求出x=1c-d.
  即an 1=can dn可化为an 1 1c-ddn 1=c(an 1c-ddn).令bn=an 1c-ddn,可得bn 1=cbn,且b1=a1 1c-dd,易知{bn}是等比数列,先求bn,即可求出an.
  (2)当c=d时,采用构造等差数列的方法
  当c=d时,an 1=can d即为an 1=can cn,此种类型的处理方法是式子两边同除以cn 1.(不管题目中c的指数是多少次,均同除以cn 1)
  an 1=can cn变为an 1cn 1=cancn 1 cncn 1=ancn 1c.令bn=ancn,得bn 1=bn 1c,b1=a1c显然{bn}是等差数列,求出bn即可求出an.
  以上即为利用递推公式求通项公式的几种常见类型.学生在做题时,只要能够分析清楚它属于哪一种题型,采用相应的方法解答即可.
  (责任编辑钟伟芳)
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