[摘要]在高中数学中，数列知识最活跃，联系最广泛，是高考的重点与难点.而通项公式又是数列的灵魂.对利用递推公式求通项公式进行研究，可揭示这一内容的数学规律与本质.
　　[关键词]数列通项公式递推公式
　　[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020060
　　历年高考对数列的考查都是以通项公式和前n项和为主，其中前n项和的求法又是由通项公式决定的，所以，通项公式是数列的重点.在求通项公式的题型中，利用递推公式求通项公式是重点.本文将按照不同递推公式的形式，介绍几种求通项公式的方法.
　　一、形如an 1-an=f（n）的递推公式求通项公式（叠加法）
　　具体做法如下.
　　∵an 1-an=f（n），∴a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），…，an-an-1=f（n-1）.
　　上面n-1个式子左右两边分别相加，得an-a1=f（1） f（2） … f（n-1）.
　　算出右边的式子，再结合给出的a1，则可求出通项公式.
　　【例1】已知a1=1，an 1-an=2n，求an.
　　解：∵an 1-an=2n，∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1.
　　左右两边分别相加得
　　an-a1=2 22 … 2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2.
　　∴an=2n-1.
　　二、形如an 1an=f（n）的递推公式求通项公式（叠乘法）
　　具体做法如下.
　　∵an 1an=f（n），∴a2a1=f（1），a3a2=f（2），…，anan-1=f（n-1）.
　　上面n-1个式子左右两边分别相乘，得ana1=f（1）×f（2）×…×f（n-1）.
　　同样算出右边的式子，再结合给出的a1，则可求出通项公式.
　　【例2】已知a1=1，（n 1）an 1=nan，求an.
　　解：∵（n 1）an 1=nan，即an 1an=nn 1，∴a2a1=12，a3a2=23，…，anan-1=n-1n.
　　上述n-1个式子左右两边相乘，得ana1=12×23×…×n-1n=1n.∴an=1n.
　　三、形如an 1=can d（c≠1）的递推公式求通项公式（构造等比数列）
　　具体做法如下.
　　设an 1 x=c（an x），则有an 1=can （c-1）x.与an 1=can d对比，得（c-1）x=d，∴x=dc-1.将x=dc-1代入an 1 x=c（an x），得an 1 dc 1=c（an dc-1）.
　　令bn=an dc-1，则有bn 1=cbn，且b1=a1 dc-1.可以看出，数列{bn}是等比数列，求出{bn}的通项公式，即可求出an.
　　【例3】已知a1=1，an 1=2an 1，求an.
　　分析：设an 1 x=2（an x），展开得an 1=2an x，与an 1=2an 1对比得x=1.
　　解：∵an 1=2an 1，∴an 1 1=2（an 1）.
　　令bn=an 1，则bn 1=2bn.
　　∵b1=a1 1=2，∴bn=2n，即an=2n-1.
　　四、形如an 1=can dn的递推公式求通项公式
　　（1）当c≠d时，采用构造等比数列的方法.
　　设an 1 xdn 1=c（an xdn）an 1 xdn 1=can cxdn-xdn 1an 1=can （c-d）xdn.
　　与an 1=can dn对比，可得（c-d）x=1，从而求出x=1c-d.
　　即an 1=can dn可化为an 1 1c-ddn 1=c（an 1c-ddn）.令bn=an 1c-ddn，可得bn 1=cbn，且b1=a1 1c-dd，易知{bn}是等比数列，先求bn，即可求出an.
　　（2）当c=d时，采用构造等差数列的方法
　　当c=d时，an 1=can d即为an 1=can cn，此种类型的处理方法是式子两边同除以cn 1.（不管题目中c的指数是多少次，均同除以cn 1）
　　an 1=can cn变为an 1cn 1=cancn 1 cncn 1=ancn 1c.令bn=ancn，得bn 1=bn 1c，b1=a1c显然{bn}是等差数列，求出bn即可求出an.
　　以上即为利用递推公式求通项公式的几种常见类型.学生在做题时，只要能够分析清楚它属于哪一种题型，采用相应的方法解答即可.
　　（责任编辑钟伟芳）