论文部分内容阅读
培养和提高学生解决数学问题的能力是数学教学的关键。本文从理论与实践相结合的高度,从六大方面来论述和论证了“培养和提高学生解决数学问题的能力”的成功方法,供数学教师们在教学研究时作参考。
一、注意打好学生的数学基础
打好学生的数学家基础,是培养和提高学生解决数学问题的能力的前提条件。没有必要的数学基础,很难成功地解决数学问题。比如,有些人不懂得长方体的体积公式或求最大值的方法,就很难解决下面的数学问题。
建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,求水池的最低总造价及其相应的建造图形。
解:设水池的长为a,宽为b,依题意得2ab=8,∴ab=4.
∴y=120ab+2(a+b)×2×80
=120ab+320(a+b) 480+320×2×2=1760
∵当且仅当a=b=2时,上式“=”成立。
所以,当a=b=2时,即池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低的总造价为1760元。
答:池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低的总造价为1760元。
因此,打好数学基础是解决数学问题的必要条件,是培养和提高学生解决数学问题能力的必要前提条件。因此,在数学教学过程中,必须创造条件引领学生学好数学基础,为培养和提高学生解决数学问题的能力提供这个必要而重要的前提条件。
二、要注意培养和提高学生的数学运算能力
具有必要的数学运算能力,是解决相关数学问题的重要条件。比如,要
解答下面的数学问题,就必须具有“解不等式及求集合的交、并集运算”等运算能力。
设函数,则函数的定义域是_______。
解:由>0,解得-1 {,且｝={｝
又如,要解决下面的数学问题,就必须熟练掌握有关的三角恒等变换运算。
求函数的最小正周期、最大值和最小值。
解:
=
所以,所求的最小正周期为2π,最大值为2,最小值为-2。
由以上的论证可知,没有一定的数学运算能力,是不能解决相关的数学问题的。因此,在数学教学过程中必须努力培养和提高学生的数学运算能力,切实使学生掌握解决数学问题所需的必要运算技能。
三、要注意培养和提高学生的推理与论证能力
推理与论证能力是解决某些数学问题重要而必要的能力。因此,在教学过程中必须努力培养和提高学生的推理与论证能力,切实使学生掌握这些数学能力,为学生能够独立解决这类数学问题提供重要而必要的条件。
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=18㎝,P、Q
分别为棱AB、AD的中点,E、F分别为棱BC、CD的中点。
(1)求证:平面A1PQ//平面D1B1F。
(2)求几何体A1B1D1-ABEFD的体积。
(1)证明:连结PF、BD
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中
BD1//DD1,且BB1=DD1,
∴BD//B1D1
又∵在△ABD中,P、Q分别是AB、DA的中点
∴BD//PQ
∴PQ//B1D1
又∵PQ平面B1D1F,B1D1平面B1D1F
∴PQ//平面B1D1F
同理可证A1P//平面B1D1F
又∵PQ与A1P相交于点P
∴平面A1PQ//平面B1D1F
(2)解:由(1)知BD//B1D1
又∵在△BDC中,E、F分别是BC、DC的中点
∴EF//BD
∴EF//B1D1
∴几何体CEF-C1B1D1是一个三棱台。
设所求几何体A1B1D1-ABEFD的体积为V,正方体AC1的体积为V1,三棱台CEF-C1B1D1的体积为V3,则有
V=V1-V3=183
×18=4131(cm3)
答:所求几何体A1B1D1-ABEFD的体积为4131cm3。
四、要注意培养和提高学生的想象能力
发挥空间想象能力可以解决某些与此有关的数学问题。例如,要解决本文中的数学问题就必须具有一定的空间想象能力。众所周知,立体几何问题,都要求具有必要的空间想象能力才能够予以解决的。因此,在数学教学过程中,必须高度重视培养和提高学生的空间想象能力,为学生解决数学问题提供这个必要条件。
五、要注意培养和提高学生的数学思想方法
中学里,解决数学问题的基本数学思想方法有:(1)定义法;(2)分类讨论法;(3)解析法;(4)换元法;(5)配方法;(6)待定系数法;(7)向量法;(8)公式法;(9)定理法;(10)导数法;(11)数形结合;(12)筛选回代法;(13)函数与方程的思想方法;(14)函数与不等式;(15)参数法;(16)交集、并集与补集;(17)逆向思维法;(18)枚举法;(19)建模法;(20)等积法;(21)割补法;(22)周期性法;(23)分析法;(24)综合法;(25)反证法;(26)同一法;(27)重组法;(28)构造法;(29)多元未知数法;(30)等价转换法(或化简);(31)数学归纳法,等等。例如,本文中提到的数学问题就用到了多元未知数法与不等式法;定义法、等价性化简、交集法与并集法;公式法、等积法、割补法、分析法与综合法等。因此,在数学教学中,加强数学思想方法的教学,对培养和提高学生解决问题的能力是十分有帮助的,是十分重要和非常必要的。
六、要注意培养和提高学生的数学综合运用能力
这里所讲的综合运用能力,是指学生能够充分综合地运用所学的数学基础、运算能力、推理与论证能力、空间想象能力和数学思想方法等进行的一系列的数学思维活动,从而解决相关的数学问题的能力。例如,对于前文说的要解决数学问题就要求学生在理解长方体等几何知识的基础上,能综合地运用设多元未知数与不等式法相结合或列函数式与求导相结合的方法来解决问题;要求学生在理解有关的几何知识的基础上,能综合地运用分析法与综合法、定义法、定理法、公式法、等积法、割补法等方法来解决问题。所以,培养和提高学生的数学综合运用能力,是学生能够独立解决有关的数学问题的必要条件。因此,数学教师必须高度重视,认真抓紧抓好。
综上所述,以上六个方面,从各自的特点来看,每一方面都是解决与之相关的数学问题的必要条件。但只要将它们综合来运用,就可以解决很多数学问题了。因此,在中学数学教学过程中,我们必须长期不懈地抓好这六个方面的教学,在数学教学实践与探索中与时俱进,不断进取,不断总结,不断创新,从而培养和提高学生解决数学问题的能力。
一、注意打好学生的数学基础
打好学生的数学家基础,是培养和提高学生解决数学问题的能力的前提条件。没有必要的数学基础,很难成功地解决数学问题。比如,有些人不懂得长方体的体积公式或求最大值的方法,就很难解决下面的数学问题。
建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,求水池的最低总造价及其相应的建造图形。
解:设水池的长为a,宽为b,依题意得2ab=8,∴ab=4.
∴y=120ab+2(a+b)×2×80
=120ab+320(a+b) 480+320×2×2=1760
∵当且仅当a=b=2时,上式“=”成立。
所以,当a=b=2时,即池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低的总造价为1760元。
答:池底是边长为2m的正方形时,水池的总造价最低;最低的总造价为1760元。
因此,打好数学基础是解决数学问题的必要条件,是培养和提高学生解决数学问题能力的必要前提条件。因此,在数学教学过程中,必须创造条件引领学生学好数学基础,为培养和提高学生解决数学问题的能力提供这个必要而重要的前提条件。
二、要注意培养和提高学生的数学运算能力
具有必要的数学运算能力,是解决相关数学问题的重要条件。比如,要
解答下面的数学问题,就必须具有“解不等式及求集合的交、并集运算”等运算能力。
设函数,则函数的定义域是_______。
解:由>0,解得-1
又如,要解决下面的数学问题,就必须熟练掌握有关的三角恒等变换运算。
求函数的最小正周期、最大值和最小值。
解:
=
所以,所求的最小正周期为2π,最大值为2,最小值为-2。
由以上的论证可知,没有一定的数学运算能力,是不能解决相关的数学问题的。因此,在数学教学过程中必须努力培养和提高学生的数学运算能力,切实使学生掌握解决数学问题所需的必要运算技能。
三、要注意培养和提高学生的推理与论证能力
推理与论证能力是解决某些数学问题重要而必要的能力。因此,在教学过程中必须努力培养和提高学生的推理与论证能力,切实使学生掌握这些数学能力,为学生能够独立解决这类数学问题提供重要而必要的条件。
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=18㎝,P、Q
分别为棱AB、AD的中点,E、F分别为棱BC、CD的中点。
(1)求证:平面A1PQ//平面D1B1F。
(2)求几何体A1B1D1-ABEFD的体积。
(1)证明:连结PF、BD
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中
BD1//DD1,且BB1=DD1,
∴BD//B1D1
又∵在△ABD中,P、Q分别是AB、DA的中点
∴BD//PQ
∴PQ//B1D1
又∵PQ平面B1D1F,B1D1平面B1D1F
∴PQ//平面B1D1F
同理可证A1P//平面B1D1F
又∵PQ与A1P相交于点P
∴平面A1PQ//平面B1D1F
(2)解:由(1)知BD//B1D1
又∵在△BDC中,E、F分别是BC、DC的中点
∴EF//BD
∴EF//B1D1
∴几何体CEF-C1B1D1是一个三棱台。
设所求几何体A1B1D1-ABEFD的体积为V,正方体AC1的体积为V1,三棱台CEF-C1B1D1的体积为V3,则有
V=V1-V3=183
×18=4131(cm3)
答:所求几何体A1B1D1-ABEFD的体积为4131cm3。
四、要注意培养和提高学生的想象能力
发挥空间想象能力可以解决某些与此有关的数学问题。例如,要解决本文中的数学问题就必须具有一定的空间想象能力。众所周知,立体几何问题,都要求具有必要的空间想象能力才能够予以解决的。因此,在数学教学过程中,必须高度重视培养和提高学生的空间想象能力,为学生解决数学问题提供这个必要条件。
五、要注意培养和提高学生的数学思想方法
中学里,解决数学问题的基本数学思想方法有:(1)定义法;(2)分类讨论法;(3)解析法;(4)换元法;(5)配方法;(6)待定系数法;(7)向量法;(8)公式法;(9)定理法;(10)导数法;(11)数形结合;(12)筛选回代法;(13)函数与方程的思想方法;(14)函数与不等式;(15)参数法;(16)交集、并集与补集;(17)逆向思维法;(18)枚举法;(19)建模法;(20)等积法;(21)割补法;(22)周期性法;(23)分析法;(24)综合法;(25)反证法;(26)同一法;(27)重组法;(28)构造法;(29)多元未知数法;(30)等价转换法(或化简);(31)数学归纳法,等等。例如,本文中提到的数学问题就用到了多元未知数法与不等式法;定义法、等价性化简、交集法与并集法;公式法、等积法、割补法、分析法与综合法等。因此,在数学教学中,加强数学思想方法的教学,对培养和提高学生解决问题的能力是十分有帮助的,是十分重要和非常必要的。
六、要注意培养和提高学生的数学综合运用能力
这里所讲的综合运用能力,是指学生能够充分综合地运用所学的数学基础、运算能力、推理与论证能力、空间想象能力和数学思想方法等进行的一系列的数学思维活动,从而解决相关的数学问题的能力。例如,对于前文说的要解决数学问题就要求学生在理解长方体等几何知识的基础上,能综合地运用设多元未知数与不等式法相结合或列函数式与求导相结合的方法来解决问题;要求学生在理解有关的几何知识的基础上,能综合地运用分析法与综合法、定义法、定理法、公式法、等积法、割补法等方法来解决问题。所以,培养和提高学生的数学综合运用能力,是学生能够独立解决有关的数学问题的必要条件。因此,数学教师必须高度重视,认真抓紧抓好。
综上所述,以上六个方面,从各自的特点来看,每一方面都是解决与之相关的数学问题的必要条件。但只要将它们综合来运用,就可以解决很多数学问题了。因此,在中学数学教学过程中,我们必须长期不懈地抓好这六个方面的教学,在数学教学实践与探索中与时俱进,不断进取,不断总结,不断创新,从而培养和提高学生解决数学问题的能力。