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【摘 要】学生对数量关系的掌握与理解，仅仅依靠对数量关系概念表象的清晰认知，而不经过对概念本质“二次模糊”的“彻悟”过程，不能真正实现对数量关系概念内涵与外延的厘清和内化。他们在理解概念内涵的过程中其内在的思维与外显的行为会在“断裂”与“链接”中交替出现，即学生的数学思维方法和解决问题的行为方法会出现不一致的现象，需要在“二次模糊”的再认知过程中走向再度清晰，继而达到对数量关系含义的真正掌握和真实建构。
【关键词】认知模糊 认知清晰 知识建构
学生对数量关系的掌握与理解，仅仅依靠数量关系概念表象的清晰认知，而不经过对概念本质“二次模糊”的“彻悟”过程，不能真正实现对数量关系概念内涵与外延的厘清和内化。因为学生在理解概念内涵的过程中其内在的思维与外显的行为会在“断裂”与“链接”中交替出现，即学生的数学思维方法和解决问题的行为方法会出现不一致的现象，需要在“二次模糊”的再认知过程中走向再度清晰，继而达到对数量关系含义的真正掌握和真实建构。
笔者近日听了一节苏教版一年级下册“求两个数相差多少的实际问题”一课。
课堂上学生对于红花片比蓝花片多几个，始终有学生用“8 5=13（个）”的算式进行列式解答。不管课堂上教师怎么着急，怎么强化，甚至规定算法，还是有学生依然如故。学生在课堂上为什么会如此“执着”？笔者以为，数量关系的概念建构需要适时引领学生经历“二次模糊”的认知过程，使学生在“初次模糊”中走向概念感知，在“二次模糊”中走向知识建构。
一、知识建构，需在“初次模糊”中激发思考
在解决问题的过程中，由于低年级学生的思维方式以具体形象思维为主，因而，一旦所求问题中的已知信息过度地抑或过早地清晰化或直观化，就会导致学生通过观察直接“触摸”所求问题的结果，使学生丧失了必要的数量关系分析的过程，阻碍了学生解决问题过程中的数学思考，抑制了学生应有的解题技能的形成。因此，在教学实践中，当学生初步感知数量的多少关系时，需要给学生呈现“模糊”的数学信息情境，让学生无法直接“触摸”所求问题的结果，从而激发学生自然展开数学思考，主动探究所求问题的思维路径和解题方法。
课堂上，教师一旦如图出示：
红花片比蓝花片多几个？学生便会“无视”教师的“强调”与“强化”，毅然用“8 5=13（个）”进行解题，并在集体交流时异口同声回答“多5个”。究其原因：（1）学生用加法算式解答此问题，说明学生未能体会到求“两数相差问题”的数量关系时其中所蕴含的减法意义，学生对减法意义的理解只仅仅停留在“去掉”的含义上。因而，此时学生对于两数相差关系不能直接运用减法算式进行解答，符合学生已有的知识经验和学习现实。（2）对于学生在列出“8 5=13（个）”的基础上，却能异口同声回答“多5个”，那是因为学生通过直观观察这些摆放整齐、清晰的花片后数出来的，此时学生的思维方式与所求问题的方法路径是“断裂”的。即在这一数学活动中，得出的“多5个”与“8 5=13（个）”这个算式之间没有对应关系，“多5个”是学生数出来的，“8 5=13（个）”是学生在得出“多5个”结果的基础上列出的算式，此算式的结果与所求问题的结果不是对应关系，导致学生的思维路径和解题方法未能有效“链接”，这两步思路之间没有必然的因果联系。因此，学生此时的思绪是无序的，思维是低效的。导致学生思维如此低效的原因恰恰是教师给予了学生清晰的花片个数，未能激发学生产生有效的数学思考。
故而，教师教学时，需要给学生呈现模糊的信息图，不出现具体数量的花片图，如图：
通过观察，激发学生展开有序思考。（1）你能看出是红花片多？还是蓝花片多？你是怎么看出来的？（引导学生说出是比出来的）（2）进一步追问：红花片比蓝花片多多少？（课堂上学生此时无语，知道多但无法用语言表达）（3）教师进一步引导：你能指出多的部分吗？学生上黑板指出多的部分后，教师顺势引导：你能给大家指明白一点吗？从哪儿到哪儿是多的部分？为什么这部分就是多的呢？（引导学生说出另一部分是和蓝花片同样多的）（4）教师紧接追问：这部分是多的，那另一部分就是……生：和蓝花片同样多的部分。师：也就是谁的个数？生：蓝花片的个数。（5）教师趁势点拨：要求红花片比蓝花片多几个？只要从红花片中把哪一部分去掉？生：左边部分去掉。师：这部分的个数也就是谁的个数？生：蓝花片的个数。师：所以，要求红花片比蓝花片多几个？只要从红花片里把谁去掉？（6）教师引导学生得出结论：要求“红花片比蓝花片多几个”就是要从红花片个数里去掉蓝花片的个数。这样，教师只给学生呈现模糊的图形信息，学生根本无法用具体的数列出无效算式，而是在教师的引导下展开有效的、积极的数学思考，去探索“两数相差关系”的数量概念含义，形成解决此类问题初步的方法模型。
二、知识建构，需在“一度清晰”中引发认知
在知识建构过程中，学生的求知欲望将在建立数量关系概念表象的基础上被自然激发，由此不断激励学生对数学知识的深度探求，引发学生产生从概念表象走向知识本质的认知渴望。此时，对两数相差数量关系的理解需要从“初次模糊”走向“一度清晰”，让学生在清晰的数量信息中直接感知数量之间的大小关系，促进学生对相差数量关系结构的把握和内涵的理解。
学生在通过自己的观察和思考后，已经初步感知了两数相差多少的数量关系的含义，关于两数相差多少的数量关系结构模型在学生的脑海里得到初步建立，两数相差关系的数学概念得到初步表征。所以，此时学生急切想知道具体的红花片和蓝花片的个数，以便得到清晰的两数相差的结果，满足自身的学习需求。课堂上，当教师顺势在课件上引出红花片和蓝花片的清晰实物图后，学生集体兴奋，争先恐后抢着列式解答，为了满足学生的学习需求，促进全体学生理解两数相差关系中所蕴含的减法的意义，并掌握利用减法算式解决两数相差关系的数学问题，教师利用课件不断变化红花片和蓝花片的个数，引导学生进行抢答。此时学生都是用红花片的个数直接减去蓝花片的个数，没有学生再出现用加法算式列式解答的现象。这样从相差关系的模糊概念中抽象出具体的数的大小关系，既顺应了低年级学生“数数”的认知特点，也迎合了低年级学生学习的心理特征，有效促使学生对两数相差关系的理解由感知走向感悟，促进学生在清晰的具体数量关系情境中感悟减法算式的结果所表示的“红花片比蓝花片多几个”的实际含义。因此，引发学生从认知模糊走向认知清晰，实现了学生的数学思考与学习行为的有效统一。 三、知识建构，需在“二次模糊”中生发技能
学生的思维经历了从模糊走向清晰的认知后，看似在课堂上能够顺利根据具体清晰的情境信息进行列式解答，然而此时部分学生的学习更多地表现为一种课堂模仿，并未真正达到理解与内化，更未形成相应的解决问题的技能。因此，此时教学还需要教师再次引导学生走进“二次模糊”的认知过程中，促使相差数量关系概念内涵的发展，促进学生对两数相差关系结构模型的建构，使学生在“二次模糊”中真切感悟两数相差数量关系的结构特征，真正掌握两数相差关系的数量概念本质，不断生发解决此类问题的必要技能。
所以，在利用清晰的花片实物图抢答的时候，为了使学生在解决问题的过程中，逐步建构两数相差关系的数学模型，教师教学时要巧妙利用课件隐去具体的、可数的实物图形，只留下一些诸如示意图、数学符号或语言文字等“模糊信息”，引领学生在这些“二次模糊信息”中探寻数量关系的共性特征，掌握解决问题的基本技能。
红彩带比绿彩带长多少？（3）哥哥比弟弟大几岁？所有这些图形、符号以及文字中所隐含的“多与少”“长与短”“大与小”等相差关系都是呈现给学生模糊的信息，没有呈现具体清晰的数量个数，学生无法直接“数数”“触摸”两数比较的结果，必须要通过列出相应的数量关系式才能表示结果。因而，学生在如此“模糊”的信息中必须寻找题中共同的结构特点以及探索同一的解题方法的规律。即通过探索明白：要求“苹果比梨多几个”就用苹果的个数减去梨的个数，要求“红彩带比绿彩带长多少”就用红彩带的长度减去绿彩带的长度，要求“哥哥比弟弟大几岁”就用哥哥的岁数减去弟弟的岁数。从而理解实际问题中相差数量关系的含义。此时，教师顺势促使学生主动建构模型，助推学生解题技能的形成。引出诸如：要求○比□多几个？大数比小数大多少，可以怎样直接列式解答？引导学生直接列出算式：○-□=，大数-小数=。这样引领学生经历了“二次模糊”的探索过程，学生不仅对两数相差多少的数量关系的思考方法以及解题思路有了切身的体验与深刻的理解，而且可以直接用减法算式来表示两数相差关系的意义，学生的数学学习就会从教师反复强调的被动接受转化为学生自主探索的主动内化。学生对数学知识的建构就会经历从直观图形的感知到符号语言的抽象过程，实现了数学认知的“二次模糊”到数量关系的本质“彻悟”。
综上所述，小学阶段学生对数学概念的掌握和数量关系的理解，并不是在清晰中顺利接受，也并非在模糊中被动强化，而是需要让数学概念在“模糊之模糊”中引领学生经历“二次模糊”的认知过程，才会切合学生的认知特点和心理特征，才能促进学生积极思考、主动建构，继而实现真正的认知清晰。
（江苏省扬州市江都区实验小学 225200）
【关键词】认知模糊 认知清晰 知识建构
学生对数量关系的掌握与理解，仅仅依靠数量关系概念表象的清晰认知，而不经过对概念本质“二次模糊”的“彻悟”过程，不能真正实现对数量关系概念内涵与外延的厘清和内化。因为学生在理解概念内涵的过程中其内在的思维与外显的行为会在“断裂”与“链接”中交替出现，即学生的数学思维方法和解决问题的行为方法会出现不一致的现象，需要在“二次模糊”的再认知过程中走向再度清晰，继而达到对数量关系含义的真正掌握和真实建构。
笔者近日听了一节苏教版一年级下册“求两个数相差多少的实际问题”一课。
课堂上学生对于红花片比蓝花片多几个，始终有学生用“8 5=13（个）”的算式进行列式解答。不管课堂上教师怎么着急，怎么强化，甚至规定算法，还是有学生依然如故。学生在课堂上为什么会如此“执着”？笔者以为，数量关系的概念建构需要适时引领学生经历“二次模糊”的认知过程，使学生在“初次模糊”中走向概念感知，在“二次模糊”中走向知识建构。
一、知识建构，需在“初次模糊”中激发思考
在解决问题的过程中，由于低年级学生的思维方式以具体形象思维为主，因而，一旦所求问题中的已知信息过度地抑或过早地清晰化或直观化，就会导致学生通过观察直接“触摸”所求问题的结果，使学生丧失了必要的数量关系分析的过程，阻碍了学生解决问题过程中的数学思考，抑制了学生应有的解题技能的形成。因此，在教学实践中，当学生初步感知数量的多少关系时，需要给学生呈现“模糊”的数学信息情境，让学生无法直接“触摸”所求问题的结果，从而激发学生自然展开数学思考，主动探究所求问题的思维路径和解题方法。
课堂上，教师一旦如图出示：
红花片比蓝花片多几个？学生便会“无视”教师的“强调”与“强化”，毅然用“8 5=13（个）”进行解题，并在集体交流时异口同声回答“多5个”。究其原因：（1）学生用加法算式解答此问题，说明学生未能体会到求“两数相差问题”的数量关系时其中所蕴含的减法意义，学生对减法意义的理解只仅仅停留在“去掉”的含义上。因而，此时学生对于两数相差关系不能直接运用减法算式进行解答，符合学生已有的知识经验和学习现实。（2）对于学生在列出“8 5=13（个）”的基础上，却能异口同声回答“多5个”，那是因为学生通过直观观察这些摆放整齐、清晰的花片后数出来的，此时学生的思维方式与所求问题的方法路径是“断裂”的。即在这一数学活动中，得出的“多5个”与“8 5=13（个）”这个算式之间没有对应关系，“多5个”是学生数出来的，“8 5=13（个）”是学生在得出“多5个”结果的基础上列出的算式，此算式的结果与所求问题的结果不是对应关系，导致学生的思维路径和解题方法未能有效“链接”，这两步思路之间没有必然的因果联系。因此，学生此时的思绪是无序的，思维是低效的。导致学生思维如此低效的原因恰恰是教师给予了学生清晰的花片个数，未能激发学生产生有效的数学思考。
故而，教师教学时，需要给学生呈现模糊的信息图，不出现具体数量的花片图，如图：
通过观察，激发学生展开有序思考。（1）你能看出是红花片多？还是蓝花片多？你是怎么看出来的？（引导学生说出是比出来的）（2）进一步追问：红花片比蓝花片多多少？（课堂上学生此时无语，知道多但无法用语言表达）（3）教师进一步引导：你能指出多的部分吗？学生上黑板指出多的部分后，教师顺势引导：你能给大家指明白一点吗？从哪儿到哪儿是多的部分？为什么这部分就是多的呢？（引导学生说出另一部分是和蓝花片同样多的）（4）教师紧接追问：这部分是多的，那另一部分就是……生：和蓝花片同样多的部分。师：也就是谁的个数？生：蓝花片的个数。（5）教师趁势点拨：要求红花片比蓝花片多几个？只要从红花片中把哪一部分去掉？生：左边部分去掉。师：这部分的个数也就是谁的个数？生：蓝花片的个数。师：所以，要求红花片比蓝花片多几个？只要从红花片里把谁去掉？（6）教师引导学生得出结论：要求“红花片比蓝花片多几个”就是要从红花片个数里去掉蓝花片的个数。这样，教师只给学生呈现模糊的图形信息，学生根本无法用具体的数列出无效算式，而是在教师的引导下展开有效的、积极的数学思考，去探索“两数相差关系”的数量概念含义，形成解决此类问题初步的方法模型。
二、知识建构，需在“一度清晰”中引发认知
在知识建构过程中，学生的求知欲望将在建立数量关系概念表象的基础上被自然激发，由此不断激励学生对数学知识的深度探求，引发学生产生从概念表象走向知识本质的认知渴望。此时，对两数相差数量关系的理解需要从“初次模糊”走向“一度清晰”，让学生在清晰的数量信息中直接感知数量之间的大小关系，促进学生对相差数量关系结构的把握和内涵的理解。
学生在通过自己的观察和思考后，已经初步感知了两数相差多少的数量关系的含义，关于两数相差多少的数量关系结构模型在学生的脑海里得到初步建立，两数相差关系的数学概念得到初步表征。所以，此时学生急切想知道具体的红花片和蓝花片的个数，以便得到清晰的两数相差的结果，满足自身的学习需求。课堂上，当教师顺势在课件上引出红花片和蓝花片的清晰实物图后，学生集体兴奋，争先恐后抢着列式解答，为了满足学生的学习需求，促进全体学生理解两数相差关系中所蕴含的减法的意义，并掌握利用减法算式解决两数相差关系的数学问题，教师利用课件不断变化红花片和蓝花片的个数，引导学生进行抢答。此时学生都是用红花片的个数直接减去蓝花片的个数，没有学生再出现用加法算式列式解答的现象。这样从相差关系的模糊概念中抽象出具体的数的大小关系，既顺应了低年级学生“数数”的认知特点，也迎合了低年级学生学习的心理特征，有效促使学生对两数相差关系的理解由感知走向感悟，促进学生在清晰的具体数量关系情境中感悟减法算式的结果所表示的“红花片比蓝花片多几个”的实际含义。因此，引发学生从认知模糊走向认知清晰，实现了学生的数学思考与学习行为的有效统一。 三、知识建构，需在“二次模糊”中生发技能
学生的思维经历了从模糊走向清晰的认知后，看似在课堂上能够顺利根据具体清晰的情境信息进行列式解答，然而此时部分学生的学习更多地表现为一种课堂模仿，并未真正达到理解与内化，更未形成相应的解决问题的技能。因此，此时教学还需要教师再次引导学生走进“二次模糊”的认知过程中，促使相差数量关系概念内涵的发展，促进学生对两数相差关系结构模型的建构，使学生在“二次模糊”中真切感悟两数相差数量关系的结构特征，真正掌握两数相差关系的数量概念本质，不断生发解决此类问题的必要技能。
所以，在利用清晰的花片实物图抢答的时候，为了使学生在解决问题的过程中，逐步建构两数相差关系的数学模型，教师教学时要巧妙利用课件隐去具体的、可数的实物图形，只留下一些诸如示意图、数学符号或语言文字等“模糊信息”，引领学生在这些“二次模糊信息”中探寻数量关系的共性特征，掌握解决问题的基本技能。
红彩带比绿彩带长多少？（3）哥哥比弟弟大几岁？所有这些图形、符号以及文字中所隐含的“多与少”“长与短”“大与小”等相差关系都是呈现给学生模糊的信息，没有呈现具体清晰的数量个数，学生无法直接“数数”“触摸”两数比较的结果，必须要通过列出相应的数量关系式才能表示结果。因而，学生在如此“模糊”的信息中必须寻找题中共同的结构特点以及探索同一的解题方法的规律。即通过探索明白：要求“苹果比梨多几个”就用苹果的个数减去梨的个数，要求“红彩带比绿彩带长多少”就用红彩带的长度减去绿彩带的长度，要求“哥哥比弟弟大几岁”就用哥哥的岁数减去弟弟的岁数。从而理解实际问题中相差数量关系的含义。此时，教师顺势促使学生主动建构模型，助推学生解题技能的形成。引出诸如：要求○比□多几个？大数比小数大多少，可以怎样直接列式解答？引导学生直接列出算式：○-□=，大数-小数=。这样引领学生经历了“二次模糊”的探索过程，学生不仅对两数相差多少的数量关系的思考方法以及解题思路有了切身的体验与深刻的理解，而且可以直接用减法算式来表示两数相差关系的意义，学生的数学学习就会从教师反复强调的被动接受转化为学生自主探索的主动内化。学生对数学知识的建构就会经历从直观图形的感知到符号语言的抽象过程，实现了数学认知的“二次模糊”到数量关系的本质“彻悟”。
综上所述，小学阶段学生对数学概念的掌握和数量关系的理解，并不是在清晰中顺利接受，也并非在模糊中被动强化，而是需要让数学概念在“模糊之模糊”中引领学生经历“二次模糊”的认知过程，才会切合学生的认知特点和心理特征，才能促进学生积极思考、主动建构，继而实现真正的认知清晰。
（江苏省扬州市江都区实验小学 225200）