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摘 要：培养学生的抽象素养是小学阶段数学活动的重要目标之一。学生在中低年级的数学学习中已经初步形成抽象思维，笔者以苏教版小学数学五年级上册《解决问题的策略—列举》为例，在创设的情境抽象出条件和问题、数形结合从直观走向抽象、建立模型提升抽象素养、注重教学反思，为自身选择情境四个环节中，凸显抽象思维的层次，提升学生的抽象素养。
关键词：抽象素养;创设情境;数学符号;模型思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2021）25-0179-02
Cultivation of students' abstract literacy in Senior Mathematics Teaching in primary school
——take problem solving strategies - enumeration as an example
XUE Shuyin （moling Central Primary School，Jiangning District，Nanjing City，Jiangsu Province，china）
【Abstract】Cultivating students' abstract literacy is one of the important objectives of mathematics activities in primary school. Students have initially formed abstract thinking in mathematics learning in middle and low grades. Taking the problem-solving strategies - enumeration in the first volume of grade 5 mathematics of primary school published by Jiangsu Education Edition as an example，in the four links of creating situations，abstracting conditions and problems，combining numbers and shapes from intuition to abstraction，establishing models to improve Abstract literacy，paying attention to teaching reflection，and choosing situations for themselves，Highlight the level of abstract thinking and improve students' abstract literacy.
【Keywords】Abstract literacy;Creating situations;Mathematical symbols;Model thought
課程标准中指出：“在小学阶段的数学学习中，培养学生的数学意识、数学眼光，提高抽象思维水平是数学教学的重要任务之一。”小学阶段高年级的学生已经在以往的学习中感受到了抽象思维的魅力，但在运用上仍有难度，需要教师在教学中采取适当方法，提升抽象思维能力。下面，就以高年级《解决问题的策略——列举》教学为例，谈谈提升学生抽象素养的具体做法。
1. 创设情境，抽象出简化的条件和问题
课程标准中提到：“课程设计要使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”高年级的数学教学情境一般是学生熟悉的生活场景，为教学提供合适的思维空间。因此，教师应重视引导学生从丰富的情境中提取有用的数学信息。
《解决问题的策略——列举》的例题结合情境图提出问题：用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？教师首先引导学生简洁地表达题目中的信息：①22根1米长木条;②围一个长方形;③面积最大。然后引导学生理解信息。根据小学高年级学生对动画感兴趣的特点，我们采用动画的形式呈现出22小棒一根一根逐步拼一个符合条件的长方形的过程。一要引导学生判断出围成的长方形的周长是22厘米;判断出围法是不止一种。最后引导学生思考如何解决问题。启发学生想到：解决这个问题，要列举出符合所有长方形，通过比较找出面积最大的围法。顺着学生思路就“列举出所有符合条件的长方形”进行教学。
在教学中采用动画的演示，引导学生从现实事件中整理出条件和问题，去掉背景材料，舍弃无关文字，提炼出数学学习的主题内容。在这个过程中，学生抓住了事物的本质，简化繁琐的问题，有条理地清晰地抽象出问题。
在数学教学中，每一节课都有一定的教学任务。情境的创设是一个涉及素材的选取、内容的组织和呈现的过程，如同桥梁建造一样，把情境的合理性看做是对建筑材料的质量要求，把问题导向性看做是对桥梁功能的设计要求，那么有效性则可看做是对桥梁工程质量的总体考虑。情境创设是教师在一定的教学目标要求下，以促进学生数学地发现问题、分析问题和解决问题等能力协调发展为目的的设计过程。要有利于学生数学学习，有利于促进学生认知技能、数学思考、情感态度、价值观等方面的发展。所以，教学中既要紧紧围绕教学目标创设情境，又要充分发挥情境的作用，及时引导学生从情境中运用数学语言提炼出数学问题。如果是问题情境，教师提出的问题则要具体、明确，有新意和启发性，不能笼统地提出诸如你发现了什么等问题？更应引起我们关注的是，情境的创设并不时时处处需要，而是应该根据具体情况进行具体分析。有时候，我们需要创设现实的生活情境;有时，数学化的情境反而会有更好的的效果;还有些时候，通过现实情境引入教学内容却会引起逻辑的混乱。我们在选择是否创设情境或创设什么样的情境时，应以该情境能否很好的承载数学知识作为标准，否则将是舍本求末。 2. 数形结合，用数学符号有序表示变化规律
教学情境的形式多样，比如：故事情境、问题情境、活动情境、竞争情境、实验情境等。情境的创设要遵循不同年级、不同年龄儿童的心理特征和认知规律，根据学生的实际生活经验而设计。对于低、中高年级的儿童，教师可以通过讲讲故事、做做游戏、直观演示等等的形式创设情境，而对于高年级的学生，则要创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，用数学数本身的魅力去吸引学生，激发学生的学习兴趣。
解决“怎样围面积最大的问题”，抽象为了“列举出所有符合条件的长方形”的问题，进而联系到长方形面积的求法，明确“列举出所有长方形的长和宽求出面积，比较找出面积最大的长方形”。要使学生获得这样的抽象结果，必须经历有层次的抽象活动。其中帮助学生“一一列举出所有符合条件的长方形”是关键。
在教师抛出问题“借助你身边的工具、你学习过的知识，用你喜欢的方法解决这个问题”后，学生的做法大致分为三个层次：第一层次：选择操作实物小棒或者画一画，学生清楚地认识到“长+宽=11厘米”，从长10米、宽1米開始有条理地围一围或画一画。学生可能围出几个后不围了，直接写出剩下长方形的长和宽;第二层次：联系长方形周长的计算公式，例如：（1+10）×2=22厘米;第三层次：和列表策略策略，以表格形式写出所有情况。在列举的过程中有学生会有遗漏，有学生列举出所有情况，有学生甚至能够有序的列举出所有可能。
我们需要借助直观的背景材料，运用图形和符号，帮助学生从具象思维走向抽象思维，最后以抽象思维为主进行学习。在这个过程中不难发现，不同学生的抽素思维能力不同，数形结合可以帮助能力弱的孩子逐步走向抽象，数学符号能够引导学生有序的整理概括出关系，学生在这个过程中呈现出思维水平的进阶，由单一水平走向关联水平。在小学数学课程中，符号意识的培养，可以帮助学生提升抽象思维能力的发展，有助于学生数学表达和进行数学思考。
3. 建立模型，应用提升
学生在求出长和宽的基础上求出每个长方形的面积，填入表格中，通过比较得到面积最大的长方形。本节课的这道题目已经解决，学习就可以停止了吗？显然没有，数学教学的目的不是为了解决一道题目，就题论题，忽略数学应用是不少教师会犯的错误，这就导致学生的思维发展戛然而止。因此在数学教学中应加强学生对现实问题的抽象，有意识地培养学生的应用意识。
（1）加深理解，建立模型
在解决这道问题后，我给孩子们抛出另一个问题：“现在用36根呢？”。学生在解决这道问题时，抛弃了原始的操作和画图，直接抓住“长+宽=18厘米”想起，从宽为1米，长为17厘米有序地写起，并以表格的形式呈现，但没有全部写出，中间部分用省略号代替。教师提问为什么？一位学生回答“因为写不完”，有学生补充“不是写不完，而是因为有规律，不用写。”学生从例题中概括抽象出解决问题的关键，并推理应用到练习题，抽象思维能力得到了提升，初步建立了数学模型，感受到了数学模型的意义和价值。
（2）归纳概括，应用提升
在此基础上，我将两道题目的表格放在一起，请学生观察，说说发现。学生在讨论中逐步发现，归纳概括：“周长一定时，长方形的长和宽越接近，面积越大”。我抛出第三个问题：“用128根呢？”学生能够迅速说出答案。学生在学习的过程中思维逐步走向以抽象思维为主，脱离具象物体，加强了对数学模型的理解，实现了应用模型的目的。
“模型思想”是抽象思想的进阶，学生在建模之前需要通过足够的直观的经验积累，在直观的体验中感受知识本质，提炼核心要素，最终形成抽象的数学思维逻辑，建立数学模型，并应用在数学解决问题中。
苏教版小学数学课本中，大多知识点是经历从现实生活或具体情境中产生学习需求，抽象出数学问题，最终用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，再应用于生活或数学情境。学习的目的不仅仅在于学会一个知识点，而是要让学生产生学习学习主题的需求，驱动学生在需求中提炼问题、解决问题，最后应用模型。学习数学思想，数学方法，内化为数学素养，这才是数学学习的终极目标。
4. 注重教学反思，为自身选择情境
教学反思需要跳出自我，反思自我。所谓跳出自我就是经常地开展听课交流，研究别人的教学长处，通过学习比较，找出理念上的差距，解析手段、方法上的差异，从而提升自己。当然，无论是运用行动研究法还是比较法，我们都需要学习先进的教育教学理论，提高自己的理论水平。我们自己每上一节课，都要进行深入的剖析、反思，对每一个教学环节预设与实际吻合、学生学习状况、教师调控状况、课堂生成状况等方面认真进行总结，找出有规律的东西，在不断反思中学习，我们反思的主要内容有：思考过程、解题思路、分析过程、运算过程、语言的表述、教学的思想方法进行反思等。以促进课堂教学质量，教学效果也一定会更好。教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是广大教师所共同追求的。无论课程改革到哪一步，有效的课堂是我们教师永恒的追求。我们要在新课程理念指导下，在发挥学生主体作用的前提下，改革课堂教学模式，提高课堂教学实效。
5. 总结
基于直观经验的抽象思维会长期存在学生的记忆力，基于抽象思维的数学模型是立体的，并在下一次解决问题时加以利用。在日积月累的学习中，学生的思维随着学习能力的提升，日渐增强，同时又促进数学思维的发展。列举只是数学学习的一种方法，掌握方法，运用知识，提升能力，是小学阶段数学教育的重任，因此，数学的学习是有方向的，教师基于学生的教学是有导向的。学生抽象思维的能力也是社会人才所需求的。抽象思维能力是教育教学成败的重要指标之一。提升学生的抽象能力非一日之功，首先教师要有培养学生抽象能力的意识，在理论的指导下，关注学生抽象思维的课堂教学是有高度和深度的。理念的深度决定行为的高度。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]史宁中.数学思想概论·第1辑 数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2015.
[3]曹培英.“抽象”能否成为小学数学学科的核心素养[J].小学数学教师，2016（7）.
[4]殷庆.“不完美”，也精彩—以《用列举的策略解决问题》为例.数学大世界（上旬版）.2018（10）.
[5]王吉鹏.关注数学模型重视模型思想——解读《义务教育数学课程标准》中的模型思想.辽宁教育，2012（17）.
关键词：抽象素养;创设情境;数学符号;模型思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2021）25-0179-02
Cultivation of students' abstract literacy in Senior Mathematics Teaching in primary school
——take problem solving strategies - enumeration as an example
XUE Shuyin （moling Central Primary School，Jiangning District，Nanjing City，Jiangsu Province，china）
【Abstract】Cultivating students' abstract literacy is one of the important objectives of mathematics activities in primary school. Students have initially formed abstract thinking in mathematics learning in middle and low grades. Taking the problem-solving strategies - enumeration in the first volume of grade 5 mathematics of primary school published by Jiangsu Education Edition as an example，in the four links of creating situations，abstracting conditions and problems，combining numbers and shapes from intuition to abstraction，establishing models to improve Abstract literacy，paying attention to teaching reflection，and choosing situations for themselves，Highlight the level of abstract thinking and improve students' abstract literacy.
【Keywords】Abstract literacy;Creating situations;Mathematical symbols;Model thought
課程标准中指出：“在小学阶段的数学学习中，培养学生的数学意识、数学眼光，提高抽象思维水平是数学教学的重要任务之一。”小学阶段高年级的学生已经在以往的学习中感受到了抽象思维的魅力，但在运用上仍有难度，需要教师在教学中采取适当方法，提升抽象思维能力。下面，就以高年级《解决问题的策略——列举》教学为例，谈谈提升学生抽象素养的具体做法。
1. 创设情境，抽象出简化的条件和问题
课程标准中提到：“课程设计要使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”高年级的数学教学情境一般是学生熟悉的生活场景，为教学提供合适的思维空间。因此，教师应重视引导学生从丰富的情境中提取有用的数学信息。
《解决问题的策略——列举》的例题结合情境图提出问题：用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？教师首先引导学生简洁地表达题目中的信息：①22根1米长木条;②围一个长方形;③面积最大。然后引导学生理解信息。根据小学高年级学生对动画感兴趣的特点，我们采用动画的形式呈现出22小棒一根一根逐步拼一个符合条件的长方形的过程。一要引导学生判断出围成的长方形的周长是22厘米;判断出围法是不止一种。最后引导学生思考如何解决问题。启发学生想到：解决这个问题，要列举出符合所有长方形，通过比较找出面积最大的围法。顺着学生思路就“列举出所有符合条件的长方形”进行教学。
在教学中采用动画的演示，引导学生从现实事件中整理出条件和问题，去掉背景材料，舍弃无关文字，提炼出数学学习的主题内容。在这个过程中，学生抓住了事物的本质，简化繁琐的问题，有条理地清晰地抽象出问题。
在数学教学中，每一节课都有一定的教学任务。情境的创设是一个涉及素材的选取、内容的组织和呈现的过程，如同桥梁建造一样，把情境的合理性看做是对建筑材料的质量要求，把问题导向性看做是对桥梁功能的设计要求，那么有效性则可看做是对桥梁工程质量的总体考虑。情境创设是教师在一定的教学目标要求下，以促进学生数学地发现问题、分析问题和解决问题等能力协调发展为目的的设计过程。要有利于学生数学学习，有利于促进学生认知技能、数学思考、情感态度、价值观等方面的发展。所以，教学中既要紧紧围绕教学目标创设情境，又要充分发挥情境的作用，及时引导学生从情境中运用数学语言提炼出数学问题。如果是问题情境，教师提出的问题则要具体、明确，有新意和启发性，不能笼统地提出诸如你发现了什么等问题？更应引起我们关注的是，情境的创设并不时时处处需要，而是应该根据具体情况进行具体分析。有时候，我们需要创设现实的生活情境;有时，数学化的情境反而会有更好的的效果;还有些时候，通过现实情境引入教学内容却会引起逻辑的混乱。我们在选择是否创设情境或创设什么样的情境时，应以该情境能否很好的承载数学知识作为标准，否则将是舍本求末。 2. 数形结合，用数学符号有序表示变化规律
教学情境的形式多样，比如：故事情境、问题情境、活动情境、竞争情境、实验情境等。情境的创设要遵循不同年级、不同年龄儿童的心理特征和认知规律，根据学生的实际生活经验而设计。对于低、中高年级的儿童，教师可以通过讲讲故事、做做游戏、直观演示等等的形式创设情境，而对于高年级的学生，则要创设有助于学生自主学习、合作交流的问题情境，用数学数本身的魅力去吸引学生，激发学生的学习兴趣。
解决“怎样围面积最大的问题”，抽象为了“列举出所有符合条件的长方形”的问题，进而联系到长方形面积的求法，明确“列举出所有长方形的长和宽求出面积，比较找出面积最大的长方形”。要使学生获得这样的抽象结果，必须经历有层次的抽象活动。其中帮助学生“一一列举出所有符合条件的长方形”是关键。
在教师抛出问题“借助你身边的工具、你学习过的知识，用你喜欢的方法解决这个问题”后，学生的做法大致分为三个层次：第一层次：选择操作实物小棒或者画一画，学生清楚地认识到“长+宽=11厘米”，从长10米、宽1米開始有条理地围一围或画一画。学生可能围出几个后不围了，直接写出剩下长方形的长和宽;第二层次：联系长方形周长的计算公式，例如：（1+10）×2=22厘米;第三层次：和列表策略策略，以表格形式写出所有情况。在列举的过程中有学生会有遗漏，有学生列举出所有情况，有学生甚至能够有序的列举出所有可能。
我们需要借助直观的背景材料，运用图形和符号，帮助学生从具象思维走向抽象思维，最后以抽象思维为主进行学习。在这个过程中不难发现，不同学生的抽素思维能力不同，数形结合可以帮助能力弱的孩子逐步走向抽象，数学符号能够引导学生有序的整理概括出关系，学生在这个过程中呈现出思维水平的进阶，由单一水平走向关联水平。在小学数学课程中，符号意识的培养，可以帮助学生提升抽象思维能力的发展，有助于学生数学表达和进行数学思考。
3. 建立模型，应用提升
学生在求出长和宽的基础上求出每个长方形的面积，填入表格中，通过比较得到面积最大的长方形。本节课的这道题目已经解决，学习就可以停止了吗？显然没有，数学教学的目的不是为了解决一道题目，就题论题，忽略数学应用是不少教师会犯的错误，这就导致学生的思维发展戛然而止。因此在数学教学中应加强学生对现实问题的抽象，有意识地培养学生的应用意识。
（1）加深理解，建立模型
在解决这道问题后，我给孩子们抛出另一个问题：“现在用36根呢？”。学生在解决这道问题时，抛弃了原始的操作和画图，直接抓住“长+宽=18厘米”想起，从宽为1米，长为17厘米有序地写起，并以表格的形式呈现，但没有全部写出，中间部分用省略号代替。教师提问为什么？一位学生回答“因为写不完”，有学生补充“不是写不完，而是因为有规律，不用写。”学生从例题中概括抽象出解决问题的关键，并推理应用到练习题，抽象思维能力得到了提升，初步建立了数学模型，感受到了数学模型的意义和价值。
（2）归纳概括，应用提升
在此基础上，我将两道题目的表格放在一起，请学生观察，说说发现。学生在讨论中逐步发现，归纳概括：“周长一定时，长方形的长和宽越接近，面积越大”。我抛出第三个问题：“用128根呢？”学生能够迅速说出答案。学生在学习的过程中思维逐步走向以抽象思维为主，脱离具象物体，加强了对数学模型的理解，实现了应用模型的目的。
“模型思想”是抽象思想的进阶，学生在建模之前需要通过足够的直观的经验积累，在直观的体验中感受知识本质，提炼核心要素，最终形成抽象的数学思维逻辑，建立数学模型，并应用在数学解决问题中。
苏教版小学数学课本中，大多知识点是经历从现实生活或具体情境中产生学习需求，抽象出数学问题，最终用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律，再应用于生活或数学情境。学习的目的不仅仅在于学会一个知识点，而是要让学生产生学习学习主题的需求，驱动学生在需求中提炼问题、解决问题，最后应用模型。学习数学思想，数学方法，内化为数学素养，这才是数学学习的终极目标。
4. 注重教学反思，为自身选择情境
教学反思需要跳出自我，反思自我。所谓跳出自我就是经常地开展听课交流，研究别人的教学长处，通过学习比较，找出理念上的差距，解析手段、方法上的差异，从而提升自己。当然，无论是运用行动研究法还是比较法，我们都需要学习先进的教育教学理论，提高自己的理论水平。我们自己每上一节课，都要进行深入的剖析、反思，对每一个教学环节预设与实际吻合、学生学习状况、教师调控状况、课堂生成状况等方面认真进行总结，找出有规律的东西，在不断反思中学习，我们反思的主要内容有：思考过程、解题思路、分析过程、运算过程、语言的表述、教学的思想方法进行反思等。以促进课堂教学质量，教学效果也一定会更好。教学作为一种有明确目的性的认知活动，其有效性是广大教师所共同追求的。无论课程改革到哪一步，有效的课堂是我们教师永恒的追求。我们要在新课程理念指导下，在发挥学生主体作用的前提下，改革课堂教学模式，提高课堂教学实效。
5. 总结
基于直观经验的抽象思维会长期存在学生的记忆力，基于抽象思维的数学模型是立体的，并在下一次解决问题时加以利用。在日积月累的学习中，学生的思维随着学习能力的提升，日渐增强，同时又促进数学思维的发展。列举只是数学学习的一种方法，掌握方法，运用知识，提升能力，是小学阶段数学教育的重任，因此，数学的学习是有方向的，教师基于学生的教学是有导向的。学生抽象思维的能力也是社会人才所需求的。抽象思维能力是教育教学成败的重要指标之一。提升学生的抽象能力非一日之功，首先教师要有培养学生抽象能力的意识，在理论的指导下，关注学生抽象思维的课堂教学是有高度和深度的。理念的深度决定行为的高度。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部，义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]史宁中.数学思想概论·第1辑 数量与数量关系的抽象[M].长春：东北师范大学出版社，2015.
[3]曹培英.“抽象”能否成为小学数学学科的核心素养[J].小学数学教师，2016（7）.
[4]殷庆.“不完美”，也精彩—以《用列举的策略解决问题》为例.数学大世界（上旬版）.2018（10）.
[5]王吉鹏.关注数学模型重视模型思想——解读《义务教育数学课程标准》中的模型思想.辽宁教育，2012（17）.