论文部分内容阅读
3.3 反比例函数
考点、易混易错点解读
考点：反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式中比例系数的几何意义，用待定系数法确定反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的综合应用，
易混易错点：运用反比例函数解析式中比例系数的几何意义解决问题是一个难点，也是一个易错点，要注意双曲线是在原点处断开的两个分支，函数在各自象限内呈现相同的增减性，但不是在自变量的整个取值范围内都递增或递减.另外，利用反比例函数解决实际问题时，注意自变量的取值范围要符合实际意义.
高频考点例题点拨
高频考点l反比例函数的图象与性质
例1 （2019.江西）已知正比例函数y=kix的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（
）.
A.反比例函数的解析式是y=-8/x
B.两个函数的图象的另一个交点的坐标为（2，-4）
c.当x<一2或0
D.正比例函数y=k2x与反比例函数y=k2/x都随x的增大而增大
解析：易知正比例函数和反比例函数的解析式分别为y=2x，y=8/x.
∴两个函数的图象的另一个交点的坐标为（-2，-4）.
也可以利用图象的中心对称性确定另一个交点的坐标.两个函数的图象都关于原点对称，所以两个交点也关于原点对称，所以另一个交点为（-2，-4）.
解不等式2x<8/x，得0
点拨：求两个函数图象的交点坐标，实质上就是将两个函数的解析式联立成方程组，然后解方程组，所得方程组的解就是交点的横、纵坐标，反比例函数和正比例函数的图象都是关于原点对称的图形，因此它们的两个交点也关于原点对称，利用中心对称性来解决交点问题，更快捷方便.
由两个函数值比较大小确定自变量的取值范围问题，一般通过解不等式来解决.本题中用此方法较为烦琐，因为需要分类讨论.数形结合，利用图象的直观性来解决更简便.
高频考点2 求反比例函数y=k/x中k的值
例2（2019.重庆）如下页图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD//x轴，反比例函数y=k/x（k>0，x>0）的图象经过矩形对角线的交点E若点A的坐标为（2，0），D的坐标为（0，4），则k的值为（
）.
A. 16
B. 20
C. 32
D. 40
点拨：求点的坐标，一般转化为求线段的长.求线段长度常用的方法有两种：一种是解特殊的三角形;另一种是利用相似或全等三角形来解决，需要构造全等三角形、相似三角形的基本模型，
高频考点3 反比例函数与其他知识的综合应用
例3 （2019.广州）如图2，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n-3/x的图象相交于A，P两点.
（1）求m，n的值与点A的坐标.
（2）求证：△CPD∽△AEO.
（3）求sin∠CDB的值.
也可以根据正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称的图形，其两个交点也关于原点对称，可知点A的坐标为（1，-2）.
点拨：相似三角形常用的判定方法有：①两角对应相等，两三角形相似;②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;③三边对应成比例，两三角形相似;④直角三角形中，直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似.本题第（3）问中也可以采用等角转化的方法求解，
高频考点4 反比例函数比例系数的几何意义
例4 如图3，A，B两点在反比例函数y=k1/x的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2/x的图象上，AC⊥y，轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1-k2的值是（
）.
A.6
B.4
C.3
D.2
点拨：求解本题要善于运用“变”与“不变”的思想（变的是A，B，C，D在不同函数图象上的不同位置，不变的是反比例函数图象上点的坐标的共同特征），抓住了这个关键点，就容易沟通已知、未知的数量关系.
例5 如图5，正比例函数y1=-3x的图象与反比例函数y2=k/x的图象交于A，B两点.点C在x轴负半轴上，AC=AO.△ACO的面积为12.
（1）求k的值.
（2）根据图象，当y1>y2时，写出x的取值范围.
点拨：已知等腰△ACO的面积，相当于给出了k应满足的条件.求不等式的解集，需要求出两个图象交点的横坐标，再观察图象.
2.如图7.在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°.CA ⊥x轴，点C在函数y=k/x（x>0）的图象上，若AB=1，则k的值为（
）.
A.1
B.√2/2
2
C.√2
D.2
3.如圖8.□ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD //x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是-4，□ABCD的面积是24.反比例函数y=k/x的图象经过点B和D.求：
（1）反比例函数的表达式.
（2）AB所在直线的函数表达式.
考点、易混易错点解读
考点：反比例函数的图象与性质，反比例函数解析式中比例系数的几何意义，用待定系数法确定反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的综合应用，
易混易错点：运用反比例函数解析式中比例系数的几何意义解决问题是一个难点，也是一个易错点，要注意双曲线是在原点处断开的两个分支，函数在各自象限内呈现相同的增减性，但不是在自变量的整个取值范围内都递增或递减.另外，利用反比例函数解决实际问题时，注意自变量的取值范围要符合实际意义.
高频考点例题点拨
高频考点l反比例函数的图象与性质
例1 （2019.江西）已知正比例函数y=kix的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（
）.
A.反比例函数的解析式是y=-8/x
B.两个函数的图象的另一个交点的坐标为（2，-4）
c.当x<一2或0
D.正比例函数y=k2x与反比例函数y=k2/x都随x的增大而增大
解析：易知正比例函数和反比例函数的解析式分别为y=2x，y=8/x.
∴两个函数的图象的另一个交点的坐标为（-2，-4）.
也可以利用图象的中心对称性确定另一个交点的坐标.两个函数的图象都关于原点对称，所以两个交点也关于原点对称，所以另一个交点为（-2，-4）.
解不等式2x<8/x，得0
点拨：求两个函数图象的交点坐标，实质上就是将两个函数的解析式联立成方程组，然后解方程组，所得方程组的解就是交点的横、纵坐标，反比例函数和正比例函数的图象都是关于原点对称的图形，因此它们的两个交点也关于原点对称，利用中心对称性来解决交点问题，更快捷方便.
由两个函数值比较大小确定自变量的取值范围问题，一般通过解不等式来解决.本题中用此方法较为烦琐，因为需要分类讨论.数形结合，利用图象的直观性来解决更简便.
高频考点2 求反比例函数y=k/x中k的值
例2（2019.重庆）如下页图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD//x轴，反比例函数y=k/x（k>0，x>0）的图象经过矩形对角线的交点E若点A的坐标为（2，0），D的坐标为（0，4），则k的值为（
）.
A. 16
B. 20
C. 32
D. 40
点拨：求点的坐标，一般转化为求线段的长.求线段长度常用的方法有两种：一种是解特殊的三角形;另一种是利用相似或全等三角形来解决，需要构造全等三角形、相似三角形的基本模型，
高频考点3 反比例函数与其他知识的综合应用
例3 （2019.广州）如图2，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（-1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n-3/x的图象相交于A，P两点.
（1）求m，n的值与点A的坐标.
（2）求证：△CPD∽△AEO.
（3）求sin∠CDB的值.
也可以根据正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称的图形，其两个交点也关于原点对称，可知点A的坐标为（1，-2）.
点拨：相似三角形常用的判定方法有：①两角对应相等，两三角形相似;②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似;③三边对应成比例，两三角形相似;④直角三角形中，直角边和斜边对应成比例，两直角三角形相似.本题第（3）问中也可以采用等角转化的方法求解，
高频考点4 反比例函数比例系数的几何意义
例4 如图3，A，B两点在反比例函数y=k1/x的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2/x的图象上，AC⊥y，轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1-k2的值是（
）.
A.6
B.4
C.3
D.2
点拨：求解本题要善于运用“变”与“不变”的思想（变的是A，B，C，D在不同函数图象上的不同位置，不变的是反比例函数图象上点的坐标的共同特征），抓住了这个关键点，就容易沟通已知、未知的数量关系.
例5 如图5，正比例函数y1=-3x的图象与反比例函数y2=k/x的图象交于A，B两点.点C在x轴负半轴上，AC=AO.△ACO的面积为12.
（1）求k的值.
（2）根据图象，当y1>y2时，写出x的取值范围.
点拨：已知等腰△ACO的面积，相当于给出了k应满足的条件.求不等式的解集，需要求出两个图象交点的横坐标，再观察图象.
2.如图7.在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°.CA ⊥x轴，点C在函数y=k/x（x>0）的图象上，若AB=1，则k的值为（
）.
A.1
B.√2/2
2
C.√2
D.2
3.如圖8.□ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD //x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是-4，□ABCD的面积是24.反比例函数y=k/x的图象经过点B和D.求：
（1）反比例函数的表达式.
（2）AB所在直线的函数表达式.