摘 要:本文就2004年全国高中联赛试题的巧妙解法,在横向和纵向上做了一些推广,并就二维和三维的结论做了一些介绍。
　　关键词:竞赛题 二维 三维 推广
　　【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0166-01
　　
　　题目:(2004年全国高中联赛试题)设P在△ABC内部,且有 +2+3(*),则△ABC的与△APC的面积的比为:( )
　　(A) 2(B)(C) 3(D)
　　此题目的解答方法有很多,也很巧妙,如文[1],但大多数解答方法不利于推广。本文得到的一些结论,不仅解答了此题,而且在横向和纵向上做了一些推广。本文就二维和三维的结论作一些介绍,更高维的结论只需引进测度的概念就可以得到,证明的方法也类似,有兴趣的读者可以试一试。
　　定理1:P是△ABC内任意一点,求证S△BPC+S△CPA+S△APB=: 。
　　证明:延长AP交BC于点D,
　　设=λ,=μ
　　∴=μ(+)
　　=μ(λ+) (1)
　　且 S△BPC=(1-μ)S△ABC
　　S△CPA=(1-λ)μS△ABC
　　S△APB=λμS△ABC
　　∴只需证(1-μ)S△ABC+(1-λ)μS△ABC+λμS△ABC=
　　∵ S△ABC≠0
　　∴即证:(1-μ)+(1-λ)μ+λμ=
　　整理,得-μ(-)-λμ(-)=
　　由(1)式,得=μ(λ+)
　　 =μ[λ(-)+(-)]
　　 =λμ(-)+μ(-)
　　∴原命题成立。
　　在横向推广前,我们先引进有向面积的概念。
　　定义1:我们规定,当点P与A在BC同侧时,S△BPC与S△BAC符号相同,当点P与A在BC异侧时,S△BPC与S△BAC符号相反,这样定义的面积称为有向面积。
　　推论1:P是△ABC所在平面上任意一点,则有:S△BPC+S△CPA+S△APB= (2)
　　证明:与定理1的证明类似。
　　推论2:P是△ABC所在平面上任意一点,且λ+μ+ν=1(λ,μ,ν∈R),则有:λ(+μ+ν=
　　证明:在(2)式两边同除S△BAC,令λ=,μ=,ν=,根据有向面积的定义知:λ,μ,ν,且λ+μ+ν=1,得证。
　　推论3:A、B、C是空间不共线的三点,O、P是任意两点,且=λ+μ+ν,λ,μ,ν∈R,则λ+μ+ν=1当且仅当点P在平面ABC上。
　　在平面上,推论3有类似的结论,证明也类似,这里证明省略。
　　对于定理1,可以纵向推广,得
　　到三维的结论。如图,P是三棱锥
　　A-BCD内一点,记:三棱锥A-BCD
　　为V,三棱锥P-BCD为V1,三棱锥
　　P-ACD为V2,三棱锥P-ABD为V3,
　　三棱锥P-ABC为V4。
　　定理2:P是三棱锥A-BCD内一
　　点,求证:V1+V2+V3+V4=
　　证明:延长AP交平面BCD与点E,连结BE并延长交DC与点F。
　　设=λ,=μ,=ν
　　∴ =ν(+)
　　 =ν(μ+)
　　 =ν[μ(λ+)+](3)
　　且V1=(1-ν)V
　　 V2=ν(1-μ)V
　　 V3=μν(1-λ)V
　　 V4=λμνV
　　只需证:(1-ν)V+ν(1-μ)V+μν(1-λ)V+λμνV=
　　∵ V≠0
　　∴即证:(1-ν)+ν(1-μ)+μν(1-λ)+λμν=
　　整理得-ν(-)-νμ(-)-μνλ(-)=
　　由(3)式,得=ν[λ(λ+)+]
　　 =ν{μ[λ(λ-)+-)]+(-)}
　　 =μνλ(-)+νμ(-)+ν(-)
　　∴原命题成立。
　　从定理1与定理2证明方法可知,當把结论推广到n维时,结论仍然成立,证明的方法也类似。如果定义了有向体积的概念,我们可以得到下面类似的结论。
　　定义2:我们规定,当点P与A在平面BCD同侧时,V1与V符号相同,当点P与A在平面BCD异侧时,V1与V符号相反,这样定义的体积称为有向体积。
　　推论4:P是三棱锥A-BCD所在空间内一点,则有:V1+V2+V3+V4= 。
　　推论5:P是三棱锥A-BCD所在空间内一点,且λ+μ+ν+τ=1(λ,μ,ν,τ∈R),则有:λ+μ+ν+τ=。
　　作为这些结论的应用,我们来解答本文一开始的题目:
　　解:由推论2知:在(*)式两边同除6得μ=,μ即为△APC与△ABC的面积比,选(C)。
　　
　　参考文献:
　　[1]单墫.数学竞赛研究教程.江苏教育出版社