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摘 要：本文利用余弦定理证明：△ABC的布洛卡点P的一个性质cotθ=cotA+cotB+cotC，且当θ分别等于，，时△ABC的三边a，b，c成等比关系.
关键词：余弦定理；布洛卡点；性质
设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称P是△ABC的布洛卡点，则cotθ=cotA+cotB+cotC.
图1
分析：设三边为a，b，c，PA，PB，PC分别为x，y，z，
可考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，
进而证明等式.
证明：对三个小三角形分别使用余弦定理得：
y2=x2+c2-2xccosθ，
z2=y2+a2-2yacosθ，
x2=z2+b2-2zbcosθ，
三式相加得：2（ay+bz+cx）cosθ=a2+b2+c2.
又由正弦定理知，S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△PAC=（xc+ay+bz）sinθ，
两式相除得：cotθ=. 又在△ABC中，由余弦定理有
a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2ab·cosC，相加得，a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB，
从而cotθ=++.
又4S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB，
分别代入上式右边的三个分母即得：
cotθ=cotA+cotB+cotC.
注：当θ=时，△ABC的三边b，a，c成等比数列
证明：由cotθ=cotA+cotB+cotC，及θ=可得：
cot-cotA=-=，
而cotB+cotC=+=，
所以=，所以sin2A=sinBsinC，即b，a，c成等比数列.
同理：当θ=时，△ABC的三边a，b，c成等比数列；
当θ=时，△ABC的三边a，c，b成等比数列.
关键词：余弦定理；布洛卡点；性质
设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称P是△ABC的布洛卡点，则cotθ=cotA+cotB+cotC.
图1
分析：设三边为a，b，c，PA，PB，PC分别为x，y，z，
可考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，
进而证明等式.
证明：对三个小三角形分别使用余弦定理得：
y2=x2+c2-2xccosθ，
z2=y2+a2-2yacosθ，
x2=z2+b2-2zbcosθ，
三式相加得：2（ay+bz+cx）cosθ=a2+b2+c2.
又由正弦定理知，S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△PAC=（xc+ay+bz）sinθ，
两式相除得：cotθ=. 又在△ABC中，由余弦定理有
a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2ab·cosC，相加得，a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB，
从而cotθ=++.
又4S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB，
分别代入上式右边的三个分母即得：
cotθ=cotA+cotB+cotC.
注：当θ=时，△ABC的三边b，a，c成等比数列
证明：由cotθ=cotA+cotB+cotC，及θ=可得：
cot-cotA=-=，
而cotB+cotC=+=，
所以=，所以sin2A=sinBsinC，即b，a，c成等比数列.
同理：当θ=时，△ABC的三边a，b，c成等比数列；
当θ=时，△ABC的三边a，c，b成等比数列.