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函数、导数是高考的重要考查内容，在高考中占有十分重要的地位.然而，同学们在学习函数和导数时，常常会出现一些模糊的认识甚至错误.本文拟对函数、导数部分常见的一些错误进行剖析，以帮助同学们跳出误区，优化思维，有效复习.
【错因剖析】 错解的根本原因就是对函数奇、偶性的定义理解模糊，定义是这样讲的：如果对于定义域中的每一个自变量x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则函数f（x）是偶函数（或奇函数）.而题中给出的函数可能是一部分自变量满足f（-x）=f（x），另一部分满足f（-x）=-f（x），例如函数f（x）=x2（-1≤x≤1）
x（x>1或x<-1）满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），但它既不是奇函数也不是偶函数，所以题中的函数奇偶性不定，可能是奇函数，可能是偶函数，可能既是奇函数又是偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数，即函数的奇偶性不确定.
函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子、分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2Δx，12Δx等.
易错点2 数形结合时，画错图象
例3 若抛物线y=x2+mx+2与以A（0，1）、B（2，3）为端点的线段总有两个交点，求m的取值范围.
【错解】 由于抛物线恒过定点（0，2），故要满足要求只要抛物线的顶点在线段AB下方，抛物线与线段AB的另一交点在B点或其左侧即可.（见图①）
【错因剖析】 抛物线顶点在线段AB下方不是必要条件.当顶点在线段AB上方时，抛物线与线段AB也可能有两个交点（见图②）.
【正解】 将抛物线与线段有两个交点的问题转化成一个一元二次方程在某个区间有两个不同实数解的问题，即方程x2+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有两个不同实数根，则Δ>0
易错点3 过某一点A的切线与在点A处的切线混淆 例4 求曲线S：y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.
【错因剖析】 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，求曲线过某一点的切线方程，这一点未必是切点，有可能以另一点为切点的切线刚好过该点.因此应注意求曲线“过某一点的切线”与“在某一点的切线”是有区别的.
例5 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边为x的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比值不超过常数t.问：x取何值时，容积V有最大值.
【错因剖析】 上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′（x）是否恒为零.对函数f（x）在D上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D的任一子区间上不恒为零没有理解.而当a=12时f′（x）=0在（-2，+∞）恒成立，所以不符合题意，舍去.
【错因剖析】 解法一的原理是运用了高等数学中的拉格朗日中值定理，的确，对于连续函数图象上两点，总存在图象上某点的切线与之平行，但并不是每点处的切线都有两点连线与之平行，图象存在“拐点”（二阶导函数为零的点）时，图象上就不存在两点连线斜率与拐点处切线斜率相同.例如y=x3，原点是其拐点，该点处曲线的切线为y轴，y=x3上任两点连线都不平行于y轴.该例中曲线y=x3-3x2+（3-3）x+34也存在“拐点”，其横坐标为1，所以解法一中等号不可取，所以倾斜角α的范围是[0，π2）∪（2π3，π）.
解法二中P、Q是曲线上两点，且求的是直线PQ的倾斜角α的取值范围，故两点不能重合，所以k>-3，则倾斜角α的范围是[0，π2）∪（2π3，π）.
（作者：夏志勇，江苏省曲塘高级中学）
【错因剖析】 错解的根本原因就是对函数奇、偶性的定义理解模糊，定义是这样讲的：如果对于定义域中的每一个自变量x，都有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则函数f（x）是偶函数（或奇函数）.而题中给出的函数可能是一部分自变量满足f（-x）=f（x），另一部分满足f（-x）=-f（x），例如函数f（x）=x2（-1≤x≤1）
x（x>1或x<-1）满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），但它既不是奇函数也不是偶函数，所以题中的函数奇偶性不定，可能是奇函数，可能是偶函数，可能既是奇函数又是偶函数，也可能既不是奇函数也不是偶函数，即函数的奇偶性不确定.
函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子、分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2Δx，12Δx等.
易错点2 数形结合时，画错图象
例3 若抛物线y=x2+mx+2与以A（0，1）、B（2，3）为端点的线段总有两个交点，求m的取值范围.
【错解】 由于抛物线恒过定点（0，2），故要满足要求只要抛物线的顶点在线段AB下方，抛物线与线段AB的另一交点在B点或其左侧即可.（见图①）
【错因剖析】 抛物线顶点在线段AB下方不是必要条件.当顶点在线段AB上方时，抛物线与线段AB也可能有两个交点（见图②）.
【正解】 将抛物线与线段有两个交点的问题转化成一个一元二次方程在某个区间有两个不同实数解的问题，即方程x2+（m-1）x+1=0在区间[0，2]上有两个不同实数根，则Δ>0
易错点3 过某一点A的切线与在点A处的切线混淆 例4 求曲线S：y=3x-x3过点A（2，-2）的切线方程.
【错因剖析】 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，求曲线过某一点的切线方程，这一点未必是切点，有可能以另一点为切点的切线刚好过该点.因此应注意求曲线“过某一点的切线”与“在某一点的切线”是有区别的.
例5 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截去一小块边为x的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比值不超过常数t.问：x取何值时，容积V有最大值.
【错因剖析】 上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′（x）是否恒为零.对函数f（x）在D上单调递增（或递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0）且f′（x）在D的任一子区间上不恒为零没有理解.而当a=12时f′（x）=0在（-2，+∞）恒成立，所以不符合题意，舍去.
【错因剖析】 解法一的原理是运用了高等数学中的拉格朗日中值定理，的确，对于连续函数图象上两点，总存在图象上某点的切线与之平行，但并不是每点处的切线都有两点连线与之平行，图象存在“拐点”（二阶导函数为零的点）时，图象上就不存在两点连线斜率与拐点处切线斜率相同.例如y=x3，原点是其拐点，该点处曲线的切线为y轴，y=x3上任两点连线都不平行于y轴.该例中曲线y=x3-3x2+（3-3）x+34也存在“拐点”，其横坐标为1，所以解法一中等号不可取，所以倾斜角α的范围是[0，π2）∪（2π3，π）.
解法二中P、Q是曲线上两点，且求的是直线PQ的倾斜角α的取值范围，故两点不能重合，所以k>-3，则倾斜角α的范围是[0，π2）∪（2π3，π）.
（作者：夏志勇，江苏省曲塘高级中学）