广东中山桂山中学 528463
　　
　　摘要：不等式的证明，已经成为数学竞赛的热点内容之一. 很多文章都阐述了证明不等式的方法，且那些方法都非常巧妙，但笔者另辟蹊径，利用Jensen不等式来证明不等式.
　　关键词：Jensen不等式；证明
　　
　　在利用Jensen不等式来证明不等式之前，我们先由数学分析引入如下两个定理.
　　定理1 二阶可导函数f（x）为区间I上的凸（凹）函数的充要条件是f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.
　　定理2 （Jensen不等式）若f（x）为［a，b］上的凸函数，对任意xi∈［a，b］，λi>0（i=1，2，…，n），且λi=1，
　　则f
　　xiλi≤λif（xi）.
　　特别地，当λi=时，f
　　
　　xi≤·f（xi）.
　　下面利用Jensen不等式证明不等式.
　　
　　[⇩]证明整式不等式
　　例1 设xk>0（k=1，2，…，n），x1+x2+…+xn=1，p∈N*，p≥2.
　　求证：x+x+…+x≥n1-p.
　　证明 设函数f（x）=xp（00，所以，f（x）在（0，1）上为凸函数.
　　由Jensen不等式f
　　[⇩]证明分式不等式
　　例2 设a1，a2，…，an>0，n≥2，且a1+a2+…+an=1.
　　求证：++…+≥.
　　证明 设f（x）=（00，所以f（x）在（0，1）上为凸函数.
　　由Jensen不等式 f
　　例3 若ai>0（i=1，2，…，n，n≥2），且ai=s（s为正数）.
　　求证：≥（其中k为常数，且k为正整数）.
　　证明 设f（x）=（00，所以f（x）在（0，s）上为凸函数.
　　由Jensen不等式f
　　由例3同理可证例4.
　　例4 若0　　求证：≥（其中k为常数，且k为正整数）.
　　例5 （第47届波兰数学奥林匹克第二轮）设a，b，c>0，且a+b+c=1.
　　求证：++≤.
　　证明 设f（x）=（0　　因为0　　由Jensen不等式得f
　　≥（f（a）＋f（b）＋f（c）），
　　例6 （第二届北方数学奥林匹克）已知正数a，b，c满足a+b+c=3.
　　求证：++≤5.
　　证明方法同例5，证明略.
　　[⇩]证明无理不等式
　　例7 设xk>0（k=1，2，…，n），且x1+x2+…+xn=1.
　　求证：++…+≥n.
　　证明 设f（x）=（0　　所以f ′（x）=，
　　f ″（x）＝，
　　因为00，所以f（x）在（0，1）上为凸函数.
　　由Jensen不等式
　　例8 设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1.
　　求证：
　　1+≥（n+1）n.
　　证明 原不等式等价于
　　ln
　　1+≥nln（1+n）.
　　设f（x）=ln
　　1+（0　　所以f ′（x）=，
　　f ″（x）=，
　　因为00，所以f（x）在（0，1）上为凸函数.
　　由Jensen不等式
　　1+≥nln（1+n）成立，从而原不等式成立.
　　例9 （Klamkin不等式）设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1.
　　+n，从而原不等式成立.
　　例10 若x，y，z是正数，且x+y+z=1.
　　例11 设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1.
　　求证：≥
　　例12 设ai>0（i=1，2，…，n）且ai=1， k∈N*.
　　求证：aik
　　+≥nk
　　不等式，然后构造函数，并判断函数的凸凹性，最后用Jensen不等式证明.
　　从上述例题可以看出，利用Jensen不等式证明不等式，思路清晰，技巧性少，便于操作，显然是证明不等式的一种较好的方法.