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【摘要】数形结合思想在小学阶段的数学学习中，具体表现在：低年级阶段，可以引导学生通过观察、操作、思考等活动，学生逐步积累对数形结合思想的体验。随着年级的提高，教师应把数形结合思想在适当的时间明确提出来，应用到探索新知中，感悟数形结合思想的作用。到了高年级，学生已经熟悉掌握了数形结合思想，需要进一步强化，使学生不仅知道用什么和怎么用，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。
【关键词】数形结合思想 渗透 体验 感悟 内化
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）15-0134-02
日本数学家、数学教育家米山国藏曾指出：“学生所学的数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用……，然而不管他们从事什么工作，唯有深深钻刻于头脑中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发挥作用，使他们终身受益。”数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会这些概念、公式、计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。
2011版数学课程标准修订组组长、东北师范大学史宁中教授将数学思想归纳为：抽象、推理和模型，而数形结合的思想是由推理的思想派生出来的。“数”与“形”可以看作数学知识的两种表征，“数”的表征方式比较抽象，而“形”可以使“数”的表征更加直观。正如数学家华罗庚先生所说的，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。在小学阶段的数学学习中，具体表现在：低年级阶段，可以引导学生通过观察、操作、思考等活动，学生逐步积累对数形结合思想的体验。随着年级的提高，教师应把数形结合思想在适当的时间明确提出来，应用到探索新知中，感悟数形结合思想的作用。到了高年级，学生已经熟悉掌握了数形结合思想，需要进一步强化，使学生不仅知道用什么和怎么用，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。以下结合笔者的实践与研究，谈谈小学数学教学中如何渗透数形结合思想：
一、“画”中体验数形结合思想
低年级孩子初次接触数形结合思想时，教师应有意识的通过直观、操作、思考、比较等活动，使学生形成对数形结合思想的初步体验。低年级孩子喜欢画画，画图不仅能表达孩子的内心世界，启迪儿童思维，唤起孩子创造能力，还能培养孩子的观察、分析、想象的能力，教师要善于利用孩子爱画画的天性，带领孩子们在“画”中理解数学知识，理解数的意义，理解算理，掌握数学方法，初步体验数形结合思想的作用。
例如，人教版一年级下册第二单元例题6画示意图解决相差数的问题：有6只小鸭，11只小鸡，小鸡比小鸭多几只？可以引导小朋友用正方形代表小鸭，用三角形代表小鸡（如图1所示），可以把11只小鸡分成两部分，一部分和6只小鸭同样多，另一部分就表示小鸡比小鸭多的只数，或者小鸭比小鸡少的只数。接下来再引导小朋友寻找解决相差数的问题的方法：把小鸡的只数11只减去与小鸭同样多的只数6只，剩余的部分就是相差数（如图2所示）。
再如，人教版三年級上册第五单元《倍的认识》例题3中，军棋的价钱是8元，象棋的价钱是军棋的4倍，象棋的价钱是多少元？引导学生可以画图帮助理解，用一格代表军棋的价格是8元，那象棋的价钱就要画4格，进而要求象棋的价钱，就是要求4个8元是多少，用乘法来计算（如图3所示）。特别神奇之处，当笔者将问题改而求象棋和军棋一共多少钱时，有多位学生列出了“8×5”的算式，可谓“数形结合”的妙笔生花（如图4所示）。
以上两个案例，低段的孩子从实物图、替代图，再到线段图，从抽象的“看不到”到直观的“看的到”，孩子能清晰地看出数量变化的过程，尝试用简洁的方式表达题目的意思，理清数量关系，将复杂的问题简单化、直观化、清晰化，还能体验到数形结合思想的神奇之处。
二、“画”中感悟数形结合思想
随着年级的提高，教师应把数形结合思想在适当的时间明确提出来，应用到探索新知中，感悟数形结合思想的作用，使学生对数形结合思想有进一步的理解，学生从感性思维慢慢向理性思维过渡。数学知识、方法之间有着紧密的联系，教师可以引导学生通过画图的方式感悟数形结合思想的作用，寻找数学知识、方法之间的联系。
再如学生在面积计算的练习中有这样一道题：光明小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？ 学生在读题之后，因题中的条件多，关系较为复杂，一时无法解答。这时老师便可引导学生运用数形结合思想，通过画图，把题目的条件表示如下：
有了以上的直观图，学生就很容易找到数量之间的关系，从而解决问题：先用18÷3=6米，求出长方形花圃的宽，进而通过长方形的面积公式6×8=48平方米，问题得以解决。通过画图，一方面学生体会到数学知识的奇妙性和趣味性，另一方面让学生感悟到数形结合的直观性和简洁性。
三、“画”中内化数形结合思想
高年级的学生已经熟悉掌握了数形结合思想，需要进一步强化，使学生不仅知道用什么和怎么用，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。
例如，六年级数学中的“分数乘分数”的几何直观模型，就很容易让学生得出“分数乘分数”的计算规律：分子相乘，分母相乘。（如图9）
学生通过画图，不但自己发现了计算规律、法则，而且还可以根据所画的图作出自己的解释：第一次平均分成5份，第二次平均分成4份，即分母乘分母，同理，分子是取了又再取，所以要分子乘分子。
再如，六年级下册《数学思考》一课设计了这样的练习：
学生在计算时发现通过通分的方法来进行计算很麻烦，同时也发现这样的规律：后面的每个数都是前一个数的一半。这时老师引导：同学们能不能根据这个规律来画画图，看看你能看发现什么？在老师的引导下学生画出如下的图，并在画中思考。
在教学中，教师要尽可能地为学生提供运用数形结合思想的平台，并在学生运用的过程中进行指导与提升，这样学生就能自觉地运用数形结合思想，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。
总之，我们强调“渗透”数形结合思想，而不是“传授”数形结合思想，分寸的把握要恰当。教师要善于创设问题情境，让学生在做中学、学中悟、悟后用、用中创。只有这样潜隐默化、日积月累的教与学中，才有可能达到课标修订稿中对渗透数形结合思想方法的要求，才能达到培养公民的数学素养、培养创新型人才的要求。
参考文献：
[1]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教育，2011（7）.
[2]贾福录.儿童“画”中理解数学[J].小学数学教师，2016（12）.
[3]李军.“画数学”：给孩子一个形象的数学[J].小学数学教师，2017（9）.
[4]林碧珍编著.数学思维养成课：小学数学这样教[M].福建教育出版社，2013.
【关键词】数形结合思想 渗透 体验 感悟 内化
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）15-0134-02
日本数学家、数学教育家米山国藏曾指出：“学生所学的数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用……，然而不管他们从事什么工作，唯有深深钻刻于头脑中的数学精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地地发挥作用，使他们终身受益。”数学课程固然应该教会学生许多必要的结论，但绝不仅仅以教会这些概念、公式、计算程序、解题方法为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想。
2011版数学课程标准修订组组长、东北师范大学史宁中教授将数学思想归纳为：抽象、推理和模型，而数形结合的思想是由推理的思想派生出来的。“数”与“形”可以看作数学知识的两种表征，“数”的表征方式比较抽象，而“形”可以使“数”的表征更加直观。正如数学家华罗庚先生所说的，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。在小学阶段的数学学习中，具体表现在：低年级阶段，可以引导学生通过观察、操作、思考等活动，学生逐步积累对数形结合思想的体验。随着年级的提高，教师应把数形结合思想在适当的时间明确提出来，应用到探索新知中，感悟数形结合思想的作用。到了高年级，学生已经熟悉掌握了数形结合思想，需要进一步强化，使学生不仅知道用什么和怎么用，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。以下结合笔者的实践与研究，谈谈小学数学教学中如何渗透数形结合思想：
一、“画”中体验数形结合思想
低年级孩子初次接触数形结合思想时，教师应有意识的通过直观、操作、思考、比较等活动，使学生形成对数形结合思想的初步体验。低年级孩子喜欢画画，画图不仅能表达孩子的内心世界，启迪儿童思维，唤起孩子创造能力，还能培养孩子的观察、分析、想象的能力，教师要善于利用孩子爱画画的天性，带领孩子们在“画”中理解数学知识，理解数的意义，理解算理，掌握数学方法，初步体验数形结合思想的作用。
例如，人教版一年级下册第二单元例题6画示意图解决相差数的问题：有6只小鸭，11只小鸡，小鸡比小鸭多几只？可以引导小朋友用正方形代表小鸭，用三角形代表小鸡（如图1所示），可以把11只小鸡分成两部分，一部分和6只小鸭同样多，另一部分就表示小鸡比小鸭多的只数，或者小鸭比小鸡少的只数。接下来再引导小朋友寻找解决相差数的问题的方法：把小鸡的只数11只减去与小鸭同样多的只数6只，剩余的部分就是相差数（如图2所示）。
再如，人教版三年級上册第五单元《倍的认识》例题3中，军棋的价钱是8元，象棋的价钱是军棋的4倍，象棋的价钱是多少元？引导学生可以画图帮助理解，用一格代表军棋的价格是8元，那象棋的价钱就要画4格，进而要求象棋的价钱，就是要求4个8元是多少，用乘法来计算（如图3所示）。特别神奇之处，当笔者将问题改而求象棋和军棋一共多少钱时，有多位学生列出了“8×5”的算式，可谓“数形结合”的妙笔生花（如图4所示）。
以上两个案例，低段的孩子从实物图、替代图，再到线段图，从抽象的“看不到”到直观的“看的到”，孩子能清晰地看出数量变化的过程，尝试用简洁的方式表达题目的意思，理清数量关系，将复杂的问题简单化、直观化、清晰化，还能体验到数形结合思想的神奇之处。
二、“画”中感悟数形结合思想
随着年级的提高，教师应把数形结合思想在适当的时间明确提出来，应用到探索新知中，感悟数形结合思想的作用，使学生对数形结合思想有进一步的理解，学生从感性思维慢慢向理性思维过渡。数学知识、方法之间有着紧密的联系，教师可以引导学生通过画图的方式感悟数形结合思想的作用，寻找数学知识、方法之间的联系。
再如学生在面积计算的练习中有这样一道题：光明小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？ 学生在读题之后，因题中的条件多，关系较为复杂，一时无法解答。这时老师便可引导学生运用数形结合思想，通过画图，把题目的条件表示如下：
有了以上的直观图，学生就很容易找到数量之间的关系，从而解决问题：先用18÷3=6米，求出长方形花圃的宽，进而通过长方形的面积公式6×8=48平方米，问题得以解决。通过画图，一方面学生体会到数学知识的奇妙性和趣味性，另一方面让学生感悟到数形结合的直观性和简洁性。
三、“画”中内化数形结合思想
高年级的学生已经熟悉掌握了数形结合思想，需要进一步强化，使学生不仅知道用什么和怎么用，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。
例如，六年级数学中的“分数乘分数”的几何直观模型，就很容易让学生得出“分数乘分数”的计算规律：分子相乘，分母相乘。（如图9）
学生通过画图，不但自己发现了计算规律、法则，而且还可以根据所画的图作出自己的解释：第一次平均分成5份，第二次平均分成4份，即分母乘分母，同理，分子是取了又再取，所以要分子乘分子。
再如，六年级下册《数学思考》一课设计了这样的练习：
学生在计算时发现通过通分的方法来进行计算很麻烦，同时也发现这样的规律：后面的每个数都是前一个数的一半。这时老师引导：同学们能不能根据这个规律来画画图，看看你能看发现什么？在老师的引导下学生画出如下的图，并在画中思考。
在教学中，教师要尽可能地为学生提供运用数形结合思想的平台，并在学生运用的过程中进行指导与提升，这样学生就能自觉地运用数形结合思想，并在此基础上逐步内化为自己的思想方法。
总之，我们强调“渗透”数形结合思想，而不是“传授”数形结合思想，分寸的把握要恰当。教师要善于创设问题情境，让学生在做中学、学中悟、悟后用、用中创。只有这样潜隐默化、日积月累的教与学中，才有可能达到课标修订稿中对渗透数形结合思想方法的要求，才能达到培养公民的数学素养、培养创新型人才的要求。
参考文献：
[1]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教育，2011（7）.
[2]贾福录.儿童“画”中理解数学[J].小学数学教师，2016（12）.
[3]李军.“画数学”：给孩子一个形象的数学[J].小学数学教师，2017（9）.
[4]林碧珍编著.数学思维养成课：小学数学这样教[M].福建教育出版社，2013.