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一、填空题
1.sin25π6 cos25π3 tan（-25π4）=.
2.已知函数y=cosx与y=sin（2x φ）（0≤φ<π），它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是.
3.设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1 sinβcosβ，则α，β满足的关系式为.
4.函数f（x）=（1 3tanx）cosx的最小正周期为.
5.已知函数f（x）=3sinωx cosωx（ω>0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间.
6.若函数f（x）=x2 2xtanθ-1在[-1，3]上为单调函数，则θ的取值范围.
7.已知函数f（x）=3sin（ωx φ），g（x）=3cos（ωx φ），若对任意x∈R都有f（π3 x）=f（π3-x），则g（π3）=.
8.已知f（x）=cos（πx），x≤0f（x-1） 1，x>0，则f（43） f（-43）的值是.
9.若函数f（x）=2sin（ωx φ），x∈R，（其中ω>0，|φ|<π2）的最小正周期是π，且f（0）=3，则φ=.
10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（3b-c）cosA=acosC，则cosA=.
11.在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则AD·BC=.
12.已知函数y=sinx acosx的图象关于直线x=5π3对称，则函数y=asinx cosx的图象关于直线对称.
13.存在x∈[0，2π），使（4-m）sin（x-π3）-（2m-3）=0成立，则m的取值范围是.
14.关于x的不等式a2 2a-sin2x-2acosx>2的解集是全体实数，则a的取值范围是.
二、解答题
15.已知角θ的终边经过点P（5，25）
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=1010，0<φ<π2，求cosφ的值.
16.函数f（x）=sin（ωx φ）（ω>0，|φ|<π2）在它的某一个周期内的单调减区间是[5π12，11π12].
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），求函数g（x）在[π8，3π8]上的最大值和最小值.
17.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b c）sinB （2c b）sinC.
（1）求A的大小；
（2）若sinB sinC=1，试判断△ABC的形状.
18.已知函数f（x）=cos2（x π12），g（x）=1 12sin2x.
（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值.
（2）求函数h（x）=f（x） g（x）的单调递增区间.
19.已知函数f（x）=sin（3x π4）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（α3）=45cos（α π4）cos2α，求cosα-sinα的值.
20.已知函数f（x）=sin2x 23sinxcosx sin（x π4）sin（x-π4），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x0（0≤x0≤π2）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值.
参考答案
一、填空题
1. 0
2. π6
3. 2α-β=π2
4. 2π
5. [kπ-π3，kπ π6]（k∈Z）
6. （kπ-π2，kπ-π3]∪[kπ π4，kπ π2）（k∈Z）
7. 0
8. 1
9. π3
10. 33
11. -32
12. x=kπ-π6（k∈Z）
13. [-1，73]
14. a<-2-6或a>2
二、解答题
15.解：（1）sinθ=255，cosθ=55.
（2）∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴-π2<θ-φ<π2，
则cos（θ-φ）=1-sin2（θ-φ）=31010，
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]
=cosθcos（θ-φ） sinθsin（θ-φ）=22.
16.解：（1）依题意得：T2=11π12-5π12=π2，∴2πω=π，∴ω=2，
又sin（2×5π12 φ）=1，∴φ=-π3
∴f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-π3）.
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π6个单位，得sin（2x-2π3），
∴g（x）=sin（4x-2π3），而x∈[π8，3π8]，
∴-π6≤4x-2π3≤5π6，
∴函数g（x）在[π8，3π8]上的最大值为1，最小值为-12.
17.解：（1）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b c）b （2c b）c，
即a2=b2 c2 bc，
由余弦定理得a2=b2 c2-2bccosA， 故cosA=-12，A=120°.
（2）由（1）得sin2A=sin2B sin2C sinBsinC.
又sinB sinC=1，得sinB=sinC=12，
因为0° 故B=C，
所以△ABC是等腰钝角三角形.
18.解：（1）依题意得：f（x）=12[1 cos（2x π6）].
∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以2x0 π6=kπ，
即2x0=kπ-π6（k∈Z），
∴g（x0）=1 12sin2x0=1 12sin（kπ-π6）.
1°当k为偶数时，g（x0）=1 12sin（-π6）=1-14=34；
2°当k为奇数时，g（x0）=1 12sinπ6=1 14=54.
（2）h（x）=f（x） g（x）=12[1 cos（2x π6）] 1 12sin2x=12sin（2x π3） 32，
当2kπ-π2≤2x π3≤2kπ π2，即kπ-5π12≤x≤kπ π12（k∈Z）时，
函数h（x）=12sin（2x π3） 32是增函数，
故函数h（x）的单调递增区间是[kπ-5π12，kπ π12]（k∈Z）.
19.解：（1）由2kπ-π2≤3x π4≤2kπ π2（k∈Z），得23kπ-π4≤x≤23kπ π12（k∈Z），
所以，f（x）=sin（3x π4）的单调递增区间为
[23kπ-π4，23kπ π12]（k∈Z），
（2）由f（α3）=45cos（α π4）cos2α，
得sin（α π4）=45cos（α π4）cos2α.
因为cos2α=sin（2α π2）=sin[2（α π4）]
=2sin（α π4）cos（α π4），
所以sin（α π4）=85sin（α π4）cos2（α π4），
又α是第二象限角，即2kπ π2<α<2kπ π（k∈Z），
得2kπ 3π4<α π4<2kπ 5π4（k∈Z），
所以sin（α π4）=0或cos2（α π4）=58.
①由sin（α π4）=0得α π4=2kπ π（k∈Z），即α=2kπ 3π4（k∈Z），
所以cosα-sinα=-22-22=-2.
②由cos2（α π4）=58得cos（α π4）=-522，
所以cosα-sinα=2cos（x π4）=2·（-522）=-52.
综上，cosα-sinα=-2或cosα-sinα=-52.
20.解：（1）依题意得：
f（x）=sin2x 3sin2x 12（sin2x-cos2x）
=1-cos2x2 3sin2x-12cos2x
=3sin2x-cos2x 12=2sin（2x-π6） 12，
∴f（x）周期π，值域为[-32，52].
（2）由f（x0）=2sin（2x0-π6） 12=0，
得sin（2x0-π6）=-14<0，
又∵0≤x0≤π2得-π6≤2x0-π6≤5π6，
故∴cos（2x0-π6）=154，
此时，sin2x0=sin[（2x0-π6） π6]
=sin（2x0-π6）cosπ6 cos（2x0-π6）sinπ6
=15-38.
（作者：王小青，江苏省如皋中学）
1.sin25π6 cos25π3 tan（-25π4）=.
2.已知函数y=cosx与y=sin（2x φ）（0≤φ<π），它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是.
3.设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1 sinβcosβ，则α，β满足的关系式为.
4.函数f（x）=（1 3tanx）cosx的最小正周期为.
5.已知函数f（x）=3sinωx cosωx（ω>0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间.
6.若函数f（x）=x2 2xtanθ-1在[-1，3]上为单调函数，则θ的取值范围.
7.已知函数f（x）=3sin（ωx φ），g（x）=3cos（ωx φ），若对任意x∈R都有f（π3 x）=f（π3-x），则g（π3）=.
8.已知f（x）=cos（πx），x≤0f（x-1） 1，x>0，则f（43） f（-43）的值是.
9.若函数f（x）=2sin（ωx φ），x∈R，（其中ω>0，|φ|<π2）的最小正周期是π，且f（0）=3，则φ=.
10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（3b-c）cosA=acosC，则cosA=.
11.在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则AD·BC=.
12.已知函数y=sinx acosx的图象关于直线x=5π3对称，则函数y=asinx cosx的图象关于直线对称.
13.存在x∈[0，2π），使（4-m）sin（x-π3）-（2m-3）=0成立，则m的取值范围是.
14.关于x的不等式a2 2a-sin2x-2acosx>2的解集是全体实数，则a的取值范围是.
二、解答题
15.已知角θ的终边经过点P（5，25）
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=1010，0<φ<π2，求cosφ的值.
16.函数f（x）=sin（ωx φ）（ω>0，|φ|<π2）在它的某一个周期内的单调减区间是[5π12，11π12].
（1）求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），求函数g（x）在[π8，3π8]上的最大值和最小值.
17.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b c）sinB （2c b）sinC.
（1）求A的大小；
（2）若sinB sinC=1，试判断△ABC的形状.
18.已知函数f（x）=cos2（x π12），g（x）=1 12sin2x.
（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值.
（2）求函数h（x）=f（x） g（x）的单调递增区间.
19.已知函数f（x）=sin（3x π4）.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（α3）=45cos（α π4）cos2α，求cosα-sinα的值.
20.已知函数f（x）=sin2x 23sinxcosx sin（x π4）sin（x-π4），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x0（0≤x0≤π2）为f（x）的一个零点，求sin2x0的值.
参考答案
一、填空题
1. 0
2. π6
3. 2α-β=π2
4. 2π
5. [kπ-π3，kπ π6]（k∈Z）
6. （kπ-π2，kπ-π3]∪[kπ π4，kπ π2）（k∈Z）
7. 0
8. 1
9. π3
10. 33
11. -32
12. x=kπ-π6（k∈Z）
13. [-1，73]
14. a<-2-6或a>2
二、解答题
15.解：（1）sinθ=255，cosθ=55.
（2）∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴-π2<θ-φ<π2，
则cos（θ-φ）=1-sin2（θ-φ）=31010，
∴cosφ=cos[θ-（θ-φ）]
=cosθcos（θ-φ） sinθsin（θ-φ）=22.
16.解：（1）依题意得：T2=11π12-5π12=π2，∴2πω=π，∴ω=2，
又sin（2×5π12 φ）=1，∴φ=-π3
∴f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-π3）.
（2）将y=f（x）的图象先向右平移π6个单位，得sin（2x-2π3），
∴g（x）=sin（4x-2π3），而x∈[π8，3π8]，
∴-π6≤4x-2π3≤5π6，
∴函数g（x）在[π8，3π8]上的最大值为1，最小值为-12.
17.解：（1）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b c）b （2c b）c，
即a2=b2 c2 bc，
由余弦定理得a2=b2 c2-2bccosA， 故cosA=-12，A=120°.
（2）由（1）得sin2A=sin2B sin2C sinBsinC.
又sinB sinC=1，得sinB=sinC=12，
因为0°
所以△ABC是等腰钝角三角形.
18.解：（1）依题意得：f（x）=12[1 cos（2x π6）].
∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以2x0 π6=kπ，
即2x0=kπ-π6（k∈Z），
∴g（x0）=1 12sin2x0=1 12sin（kπ-π6）.
1°当k为偶数时，g（x0）=1 12sin（-π6）=1-14=34；
2°当k为奇数时，g（x0）=1 12sinπ6=1 14=54.
（2）h（x）=f（x） g（x）=12[1 cos（2x π6）] 1 12sin2x=12sin（2x π3） 32，
当2kπ-π2≤2x π3≤2kπ π2，即kπ-5π12≤x≤kπ π12（k∈Z）时，
函数h（x）=12sin（2x π3） 32是增函数，
故函数h（x）的单调递增区间是[kπ-5π12，kπ π12]（k∈Z）.
19.解：（1）由2kπ-π2≤3x π4≤2kπ π2（k∈Z），得23kπ-π4≤x≤23kπ π12（k∈Z），
所以，f（x）=sin（3x π4）的单调递增区间为
[23kπ-π4，23kπ π12]（k∈Z），
（2）由f（α3）=45cos（α π4）cos2α，
得sin（α π4）=45cos（α π4）cos2α.
因为cos2α=sin（2α π2）=sin[2（α π4）]
=2sin（α π4）cos（α π4），
所以sin（α π4）=85sin（α π4）cos2（α π4），
又α是第二象限角，即2kπ π2<α<2kπ π（k∈Z），
得2kπ 3π4<α π4<2kπ 5π4（k∈Z），
所以sin（α π4）=0或cos2（α π4）=58.
①由sin（α π4）=0得α π4=2kπ π（k∈Z），即α=2kπ 3π4（k∈Z），
所以cosα-sinα=-22-22=-2.
②由cos2（α π4）=58得cos（α π4）=-522，
所以cosα-sinα=2cos（x π4）=2·（-522）=-52.
综上，cosα-sinα=-2或cosα-sinα=-52.
20.解：（1）依题意得：
f（x）=sin2x 3sin2x 12（sin2x-cos2x）
=1-cos2x2 3sin2x-12cos2x
=3sin2x-cos2x 12=2sin（2x-π6） 12，
∴f（x）周期π，值域为[-32，52].
（2）由f（x0）=2sin（2x0-π6） 12=0，
得sin（2x0-π6）=-14<0，
又∵0≤x0≤π2得-π6≤2x0-π6≤5π6，
故∴cos（2x0-π6）=154，
此时，sin2x0=sin[（2x0-π6） π6]
=sin（2x0-π6）cosπ6 cos（2x0-π6）sinπ6
=15-38.
（作者：王小青，江苏省如皋中学）