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本文以人教版六年级下册“数学思考”中的例1“找规律”（以下简称“找规律”）一课为例，阐述课堂教学中如何让学生亲历观察、探究、概括、练习等活动过程，整体感悟数学思想。
一、观察。亲历知识的产生
观察是学习的起点，学生通过观察情境寻找数学信息并联系这些信息提出数学问题，通过观察新旧知识发现二者的联结点，通过观察实验数据发现蕴含其中的规律，这样通过观察亲历知识的产生，感悟数学思想。教师除了让学生观察本课的内容，还要观察本课内容在整个知识体系中的地位与作用，从整体上把握数学知识，建构知识体系。如“数学思考”这一单元是梳理学生六年来学的推理思想，例1是“找规律”，例2是“列表推理”，例3是“等量代换”，例4是“简单的几何证明”。其中，例1是属于合情推理，而例2至例4都是演绎推理。例1突出的数学方法是“从简单入手寻找规律”。因此，教师要围绕这一数学方法和数学思想复习旧知、创设情境。
1.观旧知，唤醒数学思想与方法。
教师利用课件呈现二年级上册的“排列组合1”、二年级下册的“逻辑推理”、三年级上册的“集合”、三年级下册的“排列组合2”、四年级上册的“优化”、四年级下册的“鸡兔同笼”、五年级上册的“植树问题”、五年级下册的“找次品”、六年级上册的“数与形”等教材内容，让学生说一说我们学过哪些数学思想和方法。教师借助教材引导学生回忆优化、转化、推理等数学思想，同时也回顾“化繁为简”“画图”“列表”“分类讨论”与“从简单入手寻找规律”等数学方法，有效唤醒学生脑海中储存的数学思想与方法，为下面的学习做铺垫。
2.观情境，感受找规律的必要性。
教材中的“例1，6个点可以连多少条线段？8个点呢？”学生可以用画图数线段的方法完成，但不能体验到寻找规律的迫切性。因此，把这一情境改为“3个点可以连多少条线段？100个点呢？”3个点连成线段可以画图数，而100个点很难画，这样学生就产生了“没办法画图，怎么办？”的困惑，进而迫使学生寻找解决问题的其他方法，产生强烈的求知欲。再借助“植树问题”一课的回顾，再次感悟“从简单入手寻找规律”解决问题的方法。最后让学生设计研究方案，有利于学生从整体感知解决问题的全过程，也经历了知识的产生过程，并渗透统筹思想。
二、探究。亲历知识的形成
探究是学生通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流与检验。探究是一个活动，也是一个过程，更是一种重要的学习方式。学生在探究中亲历数学知识的形成过程，才能真正领悟蕴含其中的数学思想与方法。探究的要领是“探什么，怎样探，究原因”。在观察环节，学生已完成“探什么”，并初步制定研究方案，在探究环节则要完成“怎样探”和“究原因”。
1.怎样探——画图列表法。
教师让学生根据研究方案采用小组合作学习的方法完成2个点至6个点各能连成多少条线段的探究，并把得到的数据填入表1。
再由教师提问：“观察表格，你发现了什么？与小组的同学说说你的发现。”最后教师组织学生进行全班交流，请几个小组展示表1并派代表汇报。学生通过画图列表的方法得到数据，并进行整理和观察，最后发现规律“每增加一个点就增加‘点数-1’条线段”。学生经历了“动手操作一动脑思考一动口交流”的抽象过程，经历了“收集数据一整理数据一发现规律”的推理过程，完整经历了知识的形成。
2.究原因——推理与建模。
教师继续引导学生聚焦“为什么增加一个点就增加‘点数-1’条线段？”学生观察前面所画的点连成线段图，说一说理由。教师在学生回答的基础上，再用课件中红色的粗线条重点演示“每增加一个点就要和前面所有的点相连”，边演示边讲解和板书（图1）。
2个点连成线段的条数1条
3个点连成线段的条数1+2=3条
4个点连成线段的条数1+2+3=6条
5个点连成线段的条数1+2+3+4=10条
6个点连成线段的条数1+2+3+4+5=15条
图1
教师在此基础上引导学生推算10个点能连成多少条线段，20个点呢？100个点呢？让学生独立列式，要求先思考怎样算更简便后再计算。最后引导学生思考：n个点能连成多少条线段呢？引导学生总结出n个点连成的线段条数l+2+3+…+n-1。
从寻找2个点至6个点连成线段的数量之间存在规律，推广至10个点、20个点、100个点、n个点，让学生经历了“特殊”到“一般”的归纳推理过程，也让学生经历了“知其然”到“知其所以然”建构知识的过程，从整体上理解和把握归纳推理，也渗透了模型思想。
三、概括。亲历知识的发展
学生对数学思想的感悟需要反复体验，螺旋上升，需要在活动过程中概括。因此，教师要充分提供数学活动，让学生积累发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的经验，并从这一完整的解决问题的过程中提炼、概括出数学思想和方法。
1.忆过程，概括数学方法。
教师问：“刚才我们是怎样解决问题的？”有的学生可能会说：“我们先画2个点连成1条线段，再画3个点……”等具体的操作过程，教师先引导学生逐步概括：“先画2至6个点连成的线段图，数线段填入表格，再观察寻找规律，最后总结计算公式。”再引导学生数学化：“画图一列表一列式一找规律一建模型一作解释”。学生通过逐步的概括和提炼，抽象出数学方法，这样经历了“具体情境一数学模型一数学方法”的抽象过程，经历了“知识一技能一方法”的发展过程。
2.说思路，提炼数学思想。
教师：“这节课，我们遇到了什么问题，用什么方法解决的？”在此基础上，教师用自己的语言解释归纳推理。数学思想的感悟从一年级开始，教师要设计活动让学生反复感悟，螺旋上升，逐步抽象，到了六年级提炼数学思想时，还需结合情境解释数学思想。
四、练习，亲历知识的应用
知识和技能的形成要靠一定量的练习，方法和思想的感悟也要靠一定的变式应用。练习既要减负又要增效就要注重变式，变式又分为水平变式和垂直变式。
1.水平变式。
学生能区分练习表面形式特征变化背后的结构特征变化，不引起认知负荷的变化，称为水平变式。教师可设计与例题知识和方法相似度比较高的练习，使学生能通过模仿顺利完成练习，及时巩固知识与技能。例如，本课可设计数角练习：图2中有几个角？你打算怎样数？
通过这道题，让学生模仿例题的探究方法，从简单入手寻找规律，从而发现增加一条射线就增加n-1个角，计算的方法是1+2+3+…+n-1。
2.垂直变式。
如果学生不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，引起认知负荷的变化，则称为垂直变式。学生形成了解决问题的一般方法后，教师要设计垂直变式题，让学生应用所学的数学思想解决问题。例如，教材第100页“做一做”第（1）题，与“一条绳子对折100次后从中间剪开，能得到多少条绳子？”
这两道题的规律与例题不一样，研究的方法却是一样的，都是从简单入手寻找规律，再应用规律解决问题。学生通过变化的知识、方法、规律，形成稳定的探究技能，培养探究能力，以及综合应用所学的知识、技能、方法解決实际问题的能力。
一、观察。亲历知识的产生
观察是学习的起点，学生通过观察情境寻找数学信息并联系这些信息提出数学问题，通过观察新旧知识发现二者的联结点，通过观察实验数据发现蕴含其中的规律，这样通过观察亲历知识的产生，感悟数学思想。教师除了让学生观察本课的内容，还要观察本课内容在整个知识体系中的地位与作用，从整体上把握数学知识，建构知识体系。如“数学思考”这一单元是梳理学生六年来学的推理思想，例1是“找规律”，例2是“列表推理”，例3是“等量代换”，例4是“简单的几何证明”。其中，例1是属于合情推理，而例2至例4都是演绎推理。例1突出的数学方法是“从简单入手寻找规律”。因此，教师要围绕这一数学方法和数学思想复习旧知、创设情境。
1.观旧知，唤醒数学思想与方法。
教师利用课件呈现二年级上册的“排列组合1”、二年级下册的“逻辑推理”、三年级上册的“集合”、三年级下册的“排列组合2”、四年级上册的“优化”、四年级下册的“鸡兔同笼”、五年级上册的“植树问题”、五年级下册的“找次品”、六年级上册的“数与形”等教材内容，让学生说一说我们学过哪些数学思想和方法。教师借助教材引导学生回忆优化、转化、推理等数学思想，同时也回顾“化繁为简”“画图”“列表”“分类讨论”与“从简单入手寻找规律”等数学方法，有效唤醒学生脑海中储存的数学思想与方法，为下面的学习做铺垫。
2.观情境，感受找规律的必要性。
教材中的“例1，6个点可以连多少条线段？8个点呢？”学生可以用画图数线段的方法完成，但不能体验到寻找规律的迫切性。因此，把这一情境改为“3个点可以连多少条线段？100个点呢？”3个点连成线段可以画图数，而100个点很难画，这样学生就产生了“没办法画图，怎么办？”的困惑，进而迫使学生寻找解决问题的其他方法，产生强烈的求知欲。再借助“植树问题”一课的回顾，再次感悟“从简单入手寻找规律”解决问题的方法。最后让学生设计研究方案，有利于学生从整体感知解决问题的全过程，也经历了知识的产生过程，并渗透统筹思想。
二、探究。亲历知识的形成
探究是学生通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流与检验。探究是一个活动，也是一个过程，更是一种重要的学习方式。学生在探究中亲历数学知识的形成过程，才能真正领悟蕴含其中的数学思想与方法。探究的要领是“探什么，怎样探，究原因”。在观察环节，学生已完成“探什么”，并初步制定研究方案，在探究环节则要完成“怎样探”和“究原因”。
1.怎样探——画图列表法。
教师让学生根据研究方案采用小组合作学习的方法完成2个点至6个点各能连成多少条线段的探究，并把得到的数据填入表1。
再由教师提问：“观察表格，你发现了什么？与小组的同学说说你的发现。”最后教师组织学生进行全班交流，请几个小组展示表1并派代表汇报。学生通过画图列表的方法得到数据，并进行整理和观察，最后发现规律“每增加一个点就增加‘点数-1’条线段”。学生经历了“动手操作一动脑思考一动口交流”的抽象过程，经历了“收集数据一整理数据一发现规律”的推理过程，完整经历了知识的形成。
2.究原因——推理与建模。
教师继续引导学生聚焦“为什么增加一个点就增加‘点数-1’条线段？”学生观察前面所画的点连成线段图，说一说理由。教师在学生回答的基础上，再用课件中红色的粗线条重点演示“每增加一个点就要和前面所有的点相连”，边演示边讲解和板书（图1）。
2个点连成线段的条数1条
3个点连成线段的条数1+2=3条
4个点连成线段的条数1+2+3=6条
5个点连成线段的条数1+2+3+4=10条
6个点连成线段的条数1+2+3+4+5=15条
图1
教师在此基础上引导学生推算10个点能连成多少条线段，20个点呢？100个点呢？让学生独立列式，要求先思考怎样算更简便后再计算。最后引导学生思考：n个点能连成多少条线段呢？引导学生总结出n个点连成的线段条数l+2+3+…+n-1。
从寻找2个点至6个点连成线段的数量之间存在规律，推广至10个点、20个点、100个点、n个点，让学生经历了“特殊”到“一般”的归纳推理过程，也让学生经历了“知其然”到“知其所以然”建构知识的过程，从整体上理解和把握归纳推理，也渗透了模型思想。
三、概括。亲历知识的发展
学生对数学思想的感悟需要反复体验，螺旋上升，需要在活动过程中概括。因此，教师要充分提供数学活动，让学生积累发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的经验，并从这一完整的解决问题的过程中提炼、概括出数学思想和方法。
1.忆过程，概括数学方法。
教师问：“刚才我们是怎样解决问题的？”有的学生可能会说：“我们先画2个点连成1条线段，再画3个点……”等具体的操作过程，教师先引导学生逐步概括：“先画2至6个点连成的线段图，数线段填入表格，再观察寻找规律，最后总结计算公式。”再引导学生数学化：“画图一列表一列式一找规律一建模型一作解释”。学生通过逐步的概括和提炼，抽象出数学方法，这样经历了“具体情境一数学模型一数学方法”的抽象过程，经历了“知识一技能一方法”的发展过程。
2.说思路，提炼数学思想。
教师：“这节课，我们遇到了什么问题，用什么方法解决的？”在此基础上，教师用自己的语言解释归纳推理。数学思想的感悟从一年级开始，教师要设计活动让学生反复感悟，螺旋上升，逐步抽象，到了六年级提炼数学思想时，还需结合情境解释数学思想。
四、练习，亲历知识的应用
知识和技能的形成要靠一定量的练习，方法和思想的感悟也要靠一定的变式应用。练习既要减负又要增效就要注重变式，变式又分为水平变式和垂直变式。
1.水平变式。
学生能区分练习表面形式特征变化背后的结构特征变化，不引起认知负荷的变化，称为水平变式。教师可设计与例题知识和方法相似度比较高的练习，使学生能通过模仿顺利完成练习，及时巩固知识与技能。例如，本课可设计数角练习：图2中有几个角？你打算怎样数？
通过这道题，让学生模仿例题的探究方法，从简单入手寻找规律，从而发现增加一条射线就增加n-1个角，计算的方法是1+2+3+…+n-1。
2.垂直变式。
如果学生不能区分问题表面形式特征变化背后的结构特征变化，引起认知负荷的变化，则称为垂直变式。学生形成了解决问题的一般方法后，教师要设计垂直变式题，让学生应用所学的数学思想解决问题。例如，教材第100页“做一做”第（1）题，与“一条绳子对折100次后从中间剪开，能得到多少条绳子？”
这两道题的规律与例题不一样，研究的方法却是一样的，都是从简单入手寻找规律，再应用规律解决问题。学生通过变化的知识、方法、规律，形成稳定的探究技能，培养探究能力，以及综合应用所学的知识、技能、方法解決实际问题的能力。