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问题 把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为_________.
命题意图 本题是2011年常州市的一道中考试题，着重考查同学们的动手实践能力和应用数学建模解答生活实际问题的能力，同时也考查了运用分类讨论的数学思想来解决问题的能力.
解题指导 把棱长为4的正方体分割成棱长为整数的小正方体，分割成的小正方体的棱长只能为1、2、3. 因此，分割的方案有：（1）分割成棱长为1的小正方体与棱长为2的小正方体；（2）分割成棱长为1的小正方体；（3）分割成棱长为1的小正方体与棱长为3的小正方体. 但不能同时分割成棱长为2的小正方体与棱长为3的小正方体、三种棱长不相等的小正方体，也不能单独分割成棱长为2的小正方体或棱长为3的小正方体.无论采用哪种分割方法，它们的体积保持不变为64，小正方体的个数不变为29，因此，问题中隐含着两个等量关系式，我们可以建立方程组进行解答.
解题过程 ① 分割的小正方体为全部棱长为1的正方体，则共有64个，不符合题意，舍去.
② 设分割成的棱长为1的小正方体有x个、棱长为2的小正方体有y个，根据题意，列方程组，得
x+y=29，x+8y=64. 解得x=24，y=5.
即分割成的棱长为1的小正方体有24个，棱长为2的小正方体有5个.
③ 设分割成的棱长为1的小正方体有x个，棱长为3的小正方体有y个，根据题意，列方程组，得x+y=29，x+27y=64. 解得x=27■，y=1■.（不合题意，舍去）
综上可知把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中分割成的棱长为1的小正方体有24个，棱长为2的小正方体有5个.
追根溯源 我们可以从课本中找出本题的“身影”，它类似于苏科版《数学》七年级上册教材第84页“数学活动”中的“正方体涂色”，同时可以从七年级下册教材第96页的问题5中找到它的影子.
“数学活动”中的“正方体涂色”：用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色. 把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，观察其中3面涂色的小正方体有几个？两面涂色的小正方体有几个？只有一面涂色的小正方体有几个？各面都没有颜色的小正方体有几个？
第96页中的问题5：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒（如图1），需用正方形和长方形的两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可供制作甲、乙两种纸盒各多少个？
变式拓展 1. 现有100元和20元的人民币共33张，总面额1 620元，则其中面值为20元的人民币有________张.
2. 四川灾后重建工作中，灾民发扬艰苦奋斗的精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包. 请问这次采购派男女村民各多少人？（ ）
A. 男村民3人，女村民12人 B. 男村民5人，女村民10人
C. 男村民6人，女村民9人 D. 男村民7人，女村民8人
3. 水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
参考答案
1. 21. 2. B.
3. 设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克. 由题意知0＜x＜25，则当0＜x≤20，y≤40时，得x+y=50，6x+5y=264. 解得x=14，y=36.当0＜x≤20，y＞40时，由题意，得x+y=50，6x+4y=264. 解得x=32，y=18.（不合题意，舍去） 当20＜x＜25时，25＜y＜30时，张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50
=250＜264（不合题意，舍去）. 综合可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.
命题意图 本题是2011年常州市的一道中考试题，着重考查同学们的动手实践能力和应用数学建模解答生活实际问题的能力，同时也考查了运用分类讨论的数学思想来解决问题的能力.
解题指导 把棱长为4的正方体分割成棱长为整数的小正方体，分割成的小正方体的棱长只能为1、2、3. 因此，分割的方案有：（1）分割成棱长为1的小正方体与棱长为2的小正方体；（2）分割成棱长为1的小正方体；（3）分割成棱长为1的小正方体与棱长为3的小正方体. 但不能同时分割成棱长为2的小正方体与棱长为3的小正方体、三种棱长不相等的小正方体，也不能单独分割成棱长为2的小正方体或棱长为3的小正方体.无论采用哪种分割方法，它们的体积保持不变为64，小正方体的个数不变为29，因此，问题中隐含着两个等量关系式，我们可以建立方程组进行解答.
解题过程 ① 分割的小正方体为全部棱长为1的正方体，则共有64个，不符合题意，舍去.
② 设分割成的棱长为1的小正方体有x个、棱长为2的小正方体有y个，根据题意，列方程组，得
x+y=29，x+8y=64. 解得x=24，y=5.
即分割成的棱长为1的小正方体有24个，棱长为2的小正方体有5个.
③ 设分割成的棱长为1的小正方体有x个，棱长为3的小正方体有y个，根据题意，列方程组，得x+y=29，x+27y=64. 解得x=27■，y=1■.（不合题意，舍去）
综上可知把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中分割成的棱长为1的小正方体有24个，棱长为2的小正方体有5个.
追根溯源 我们可以从课本中找出本题的“身影”，它类似于苏科版《数学》七年级上册教材第84页“数学活动”中的“正方体涂色”，同时可以从七年级下册教材第96页的问题5中找到它的影子.
“数学活动”中的“正方体涂色”：用白萝卜等材料做一个正方体，并把正方体表面涂上颜色. 把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，观察其中3面涂色的小正方体有几个？两面涂色的小正方体有几个？只有一面涂色的小正方体有几个？各面都没有颜色的小正方体有几个？
第96页中的问题5：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒（如图1），需用正方形和长方形的两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可供制作甲、乙两种纸盒各多少个？
变式拓展 1. 现有100元和20元的人民币共33张，总面额1 620元，则其中面值为20元的人民币有________张.
2. 四川灾后重建工作中，灾民发扬艰苦奋斗的精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包. 请问这次采购派男女村民各多少人？（ ）
A. 男村民3人，女村民12人 B. 男村民5人，女村民10人
C. 男村民6人，女村民9人 D. 男村民7人，女村民8人
3. 水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
参考答案
1. 21. 2. B.
3. 设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克. 由题意知0＜x＜25，则当0＜x≤20，y≤40时，得x+y=50，6x+5y=264. 解得x=14，y=36.当0＜x≤20，y＞40时，由题意，得x+y=50，6x+4y=264. 解得x=32，y=18.（不合题意，舍去） 当20＜x＜25时，25＜y＜30时，张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×50
=250＜264（不合题意，舍去）. 综合可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.