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一、实践操作，引入新知
1．想象操作。
师：用12个同样大的正方形拼成一个长方形。每排摆几个?可以摆几排?能不能用一道乘法算式把你的摆法表示出来?
2．展示交流。
电脑随机出示图形和算式：
(1)3×4=12 (2)2×6=12 (3)1×12=12
3．其他摆法。
师：有没有其他的摆法?如果每排摆5个。可以摆几排?结果会怎样?(电脑出示每排摆5个，摆两排还剩余2个的图形。)
4．引入新课。
师：像这样，正好拼成一个长方形没有剩余的。我们可以用“1×12=12，2×6=12，3×4=12”这样的乘法算式来表示。仔细观察这三道算式你有何发现?
学生：交流发现这些乘法算式中存在某种关系。
根据学生的交流顺势引入新课。
[评析]教者较准确地把握并贴近四年级学生年龄特点和认知水平。让学生进行想象性的摆图活动。通过想象摆图后再用乘法算式表示出来，不仅提高课堂的实效性，而且增强学生的想象力和空间观念。呈现有剩余的摆法，试图通过直观的比较使学生感悟到整除与非整除的区别，从而明确是在整除范围内研究学习的。
二、自主探究，建构新知
(一)认识倍数和因数
1．建立概念。
师：根据4×3=12。它们之间的关系在数学上我们还可以说：12是4的倍数，4是12的因数：12是3的倍数，3是12的因数。
2．经验迁移。
师：根据1×12=12，2×6=12这两道乘法算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数?
3．辨析比较。
(1)师：12是倍数，对吗?
小结：12既是4的倍数，又是3的倍数，还是1、12、2、6的倍数，所以我们一定要说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
(2)师：12是5的倍数吗?为什么?
小结：像这样，用12个小正方形拼长方形，每排摆5个有剩余的，12和5之间就不存在倍数和因数关系。
4．加深理解。
下列各式中，谁是谁的倍数，谁是谁的因数?
8×9=72 4×10=40 36÷9=4
小结：根据除法算式也可以找到两个数的倍数与因数关系。
5．揭示课题：这就是我们今天学习的“倍数和因数”。我们所研究的范围是除零以外的自然数。
[评析]建构主义学习观认为，“每个学习者都不应等待知识的传递，而应基于自己与世界相互作用的独特经验去建构自己的知识并赋予经验以意义”。故而。执教者采取“有意义建构”的方法，让学生初步感知倍数和因数的关系，再类推到其他乘法或除法算式放手让学生利用“经验迁移”来说一说，加深理解倍数和因数的关系。为了防止学生说的过程是依葫芦画瓢，安排了辨析比较的小环节，使学生体会倍数与因数的相互依存关系。
(二)探究一个数的倍数的方法及特征
1．探究方法。
(1)学生自主找3的倍数。
师：刚才我们根据4×3=12，知道了12是3的倍数。你还能找出哪些数是3的倍数?
(2)汇报交流。
从学生作业中随机抽取几本，共同组织交流。
①呈现无序的写法。
师：我们一起来看一看，这些数是3的倍数吗?你是怎么想的?
②呈现有序的写法。
师：这些数是3的倍数吗?你是怎么想的?
小结：刚才同学们都是借助3乘几的乘法算式来找3的倍数。
(3)优化方法。
师：两种方法相比较(有序和无序)，你认为哪一种写法比较好?好在哪里?
小结：按一定的顺序写，就可以保证既不重复又不遗漏。
师示范写3的倍数，3、6、9、12、15、18……指出一般写五到六个即可。
2．巩固应用。
(1)自己确定一个数，再写出这个数的倍数。
(2)交流反馈，说出找倍数的方法。
3．总结规律。
如果给你任意一个数，你怎么找这个数的倍数?
小结：找一个数的倍数。我们可以按照一定的顺序，用这个数分别乘1、2、3……
4．发现特征。
师：请同学们仔细观察，你发现一个数的倍数有什么共同特征?
讨论交流后师生共同小结：一个数的倍数是无限的，最小是它本身，没有最大的倍数。
(三)探究一个数的因数的方法及特征
1．探究方法。
(1)学生自主找36的因数。
(2)汇报交流。
从学生作业中随机抽取几本，共同组织交流。
①呈现无序的写法。
师：说一说，你是用什么方法找36的因数的?
②呈现有序的写法。
师：这些数是36的因数吗?你是怎么想的?
小结：我们可以借助几乘几等于36，或36除以几等于几的算式来找36的因数。
③呈现成对找的方法。
师：说一说你是怎么想的? 小结：根据一道算式，我们可以找到36的两个因数，这种方法叫成对找。
(3)优化方法。
师：这几种写法。你更欣赏哪一种?为什么?
小结并示范板书：我们可以将有序和成对找这两种方法结合起来，从1开始，由1找到36，再想2，由2找到18……
2．巩固应用。
写出15、16的因数。
反馈交流。
3．发现特征。
师：请同学们观察36、15、16的因数，你发现一个数的因数有什么特点?
讨论交流后师生共同小结：一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身。
[评析]找一个数的倍数和因数的教学，都凸显了学生是学习的主动建构者。教师开放教学过程，放手让学生独立探究。教师呈现学生的不同写法，引领学生在自己的思维层面上对他人的思考“品头论足”。在众多信息的相互碰撞交流中，无痕地生成找一个数的倍数和因数的方法。
三、巩固延伸，发展提高
1．明辨是非：下面的说法对吗?
(1)在13÷4=3……1中，13是4的倍数。
(2)因为3×7=21，所以21是倍数，3和7是因数。
(3)一个数的因数最大是20，这个数就是20。
(4)15的最大因数和最小倍数都是它本身。
2．选选说说：从各数中，选择两个数说一说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。
4 1 0 8 24
学生回答后。提问：你发现哪个数比较特殊?特殊在哪儿?
小结：
(1)1是任意一个除0以外自然数的因数，任意一个除0以外的自然数都是1的倍数。
(2)我们研究倍数和因数时，一般指不是0的自然数。
3．游戏：每人记住自己的学号，老师出一个数字，学号与这个数有倍数或因数关系的起立。师生互动游戏后，教师质疑：如果要想让全班的同学都起立，可以出哪个数?
4．你知道吗?介绍6的因数是1、2、3、6，并且1 2 3=6，具有这样特点的数叫完美数。1～400中只有两个数完美数，一个数是6，另一个就是我们当中的一个学号，这个问题留给同学们课后去研究。
[评析：练习部分的设计，通过判断、找倍数和因数、游戏等活动，不仅加深了学生对倍数和因数的认识，还作了适度的拓展和延伸。使学生体会到l是任意一个非零自然数的因数，非零自然数都是1的倍数，强调了倍数和因数都是非零自然数范围内研究的。游戏活动激发了学生的学习热情，培养了学生应用数学意识。]
四、回顾反思，全课总结(略)
[总评]
1．教师的“有为而教”。在学生对倍数和因数的意义建构的过程中，教者彰显“有为”的引领作用，合理选择教学方法，促进学生的知识建构。体现在：(1)教者能把握学生的学习起点，采取“有意义建构”的方法，帮助学生建立倍数和因数概念。(2)在倍数、因数概念的建立和找一个数倍数、因数的方法过程中，教者巧妙运用辨析，如“12是倍数，这样说行吗?”、“12是5的倍数吗?”、“你觉得哪种方法比较好?好在哪里?”等等，在比较和辨析中强化对知识的理解，将学生的思维不断引向深入，从而实现了学生真正意义上的自主建构。
2．教师的“无为而教”，教学找一个数的倍数和一个数的因数时。教者又表现出其“无为”的主导特色，大胆放手，给学生充足的时间和空间，把学生推向学习的前台，为学生的充分“有为”提供更大的可能。找一个数倍数和因数的方法过程中，师生、生生之间通过平等对话和交流。思维不断碰撞、不断发展、不断提升，找一个数倍数和因数的方法从无序到有序、从有序到有序地成对找。在互动交流中无痕地生成。
1．想象操作。
师：用12个同样大的正方形拼成一个长方形。每排摆几个?可以摆几排?能不能用一道乘法算式把你的摆法表示出来?
2．展示交流。
电脑随机出示图形和算式：
(1)3×4=12 (2)2×6=12 (3)1×12=12
3．其他摆法。
师：有没有其他的摆法?如果每排摆5个。可以摆几排?结果会怎样?(电脑出示每排摆5个，摆两排还剩余2个的图形。)
4．引入新课。
师：像这样，正好拼成一个长方形没有剩余的。我们可以用“1×12=12，2×6=12，3×4=12”这样的乘法算式来表示。仔细观察这三道算式你有何发现?
学生：交流发现这些乘法算式中存在某种关系。
根据学生的交流顺势引入新课。
[评析]教者较准确地把握并贴近四年级学生年龄特点和认知水平。让学生进行想象性的摆图活动。通过想象摆图后再用乘法算式表示出来，不仅提高课堂的实效性，而且增强学生的想象力和空间观念。呈现有剩余的摆法，试图通过直观的比较使学生感悟到整除与非整除的区别，从而明确是在整除范围内研究学习的。
二、自主探究，建构新知
(一)认识倍数和因数
1．建立概念。
师：根据4×3=12。它们之间的关系在数学上我们还可以说：12是4的倍数，4是12的因数：12是3的倍数，3是12的因数。
2．经验迁移。
师：根据1×12=12，2×6=12这两道乘法算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数?
3．辨析比较。
(1)师：12是倍数，对吗?
小结：12既是4的倍数，又是3的倍数，还是1、12、2、6的倍数，所以我们一定要说清楚谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
(2)师：12是5的倍数吗?为什么?
小结：像这样，用12个小正方形拼长方形，每排摆5个有剩余的，12和5之间就不存在倍数和因数关系。
4．加深理解。
下列各式中，谁是谁的倍数，谁是谁的因数?
8×9=72 4×10=40 36÷9=4
小结：根据除法算式也可以找到两个数的倍数与因数关系。
5．揭示课题：这就是我们今天学习的“倍数和因数”。我们所研究的范围是除零以外的自然数。
[评析]建构主义学习观认为，“每个学习者都不应等待知识的传递，而应基于自己与世界相互作用的独特经验去建构自己的知识并赋予经验以意义”。故而。执教者采取“有意义建构”的方法，让学生初步感知倍数和因数的关系，再类推到其他乘法或除法算式放手让学生利用“经验迁移”来说一说，加深理解倍数和因数的关系。为了防止学生说的过程是依葫芦画瓢，安排了辨析比较的小环节，使学生体会倍数与因数的相互依存关系。
(二)探究一个数的倍数的方法及特征
1．探究方法。
(1)学生自主找3的倍数。
师：刚才我们根据4×3=12，知道了12是3的倍数。你还能找出哪些数是3的倍数?
(2)汇报交流。
从学生作业中随机抽取几本，共同组织交流。
①呈现无序的写法。
师：我们一起来看一看，这些数是3的倍数吗?你是怎么想的?
②呈现有序的写法。
师：这些数是3的倍数吗?你是怎么想的?
小结：刚才同学们都是借助3乘几的乘法算式来找3的倍数。
(3)优化方法。
师：两种方法相比较(有序和无序)，你认为哪一种写法比较好?好在哪里?
小结：按一定的顺序写，就可以保证既不重复又不遗漏。
师示范写3的倍数，3、6、9、12、15、18……指出一般写五到六个即可。
2．巩固应用。
(1)自己确定一个数，再写出这个数的倍数。
(2)交流反馈，说出找倍数的方法。
3．总结规律。
如果给你任意一个数，你怎么找这个数的倍数?
小结：找一个数的倍数。我们可以按照一定的顺序，用这个数分别乘1、2、3……
4．发现特征。
师：请同学们仔细观察，你发现一个数的倍数有什么共同特征?
讨论交流后师生共同小结：一个数的倍数是无限的，最小是它本身，没有最大的倍数。
(三)探究一个数的因数的方法及特征
1．探究方法。
(1)学生自主找36的因数。
(2)汇报交流。
从学生作业中随机抽取几本，共同组织交流。
①呈现无序的写法。
师：说一说，你是用什么方法找36的因数的?
②呈现有序的写法。
师：这些数是36的因数吗?你是怎么想的?
小结：我们可以借助几乘几等于36，或36除以几等于几的算式来找36的因数。
③呈现成对找的方法。
师：说一说你是怎么想的? 小结：根据一道算式，我们可以找到36的两个因数，这种方法叫成对找。
(3)优化方法。
师：这几种写法。你更欣赏哪一种?为什么?
小结并示范板书：我们可以将有序和成对找这两种方法结合起来，从1开始，由1找到36，再想2，由2找到18……
2．巩固应用。
写出15、16的因数。
反馈交流。
3．发现特征。
师：请同学们观察36、15、16的因数，你发现一个数的因数有什么特点?
讨论交流后师生共同小结：一个数的因数是有限的，最小是1，最大是它本身。
[评析]找一个数的倍数和因数的教学，都凸显了学生是学习的主动建构者。教师开放教学过程，放手让学生独立探究。教师呈现学生的不同写法，引领学生在自己的思维层面上对他人的思考“品头论足”。在众多信息的相互碰撞交流中，无痕地生成找一个数的倍数和因数的方法。
三、巩固延伸，发展提高
1．明辨是非：下面的说法对吗?
(1)在13÷4=3……1中，13是4的倍数。
(2)因为3×7=21，所以21是倍数，3和7是因数。
(3)一个数的因数最大是20，这个数就是20。
(4)15的最大因数和最小倍数都是它本身。
2．选选说说：从各数中，选择两个数说一说谁是谁的倍数或谁是谁的因数。
4 1 0 8 24
学生回答后。提问：你发现哪个数比较特殊?特殊在哪儿?
小结：
(1)1是任意一个除0以外自然数的因数，任意一个除0以外的自然数都是1的倍数。
(2)我们研究倍数和因数时，一般指不是0的自然数。
3．游戏：每人记住自己的学号，老师出一个数字，学号与这个数有倍数或因数关系的起立。师生互动游戏后，教师质疑：如果要想让全班的同学都起立，可以出哪个数?
4．你知道吗?介绍6的因数是1、2、3、6，并且1 2 3=6，具有这样特点的数叫完美数。1～400中只有两个数完美数，一个数是6，另一个就是我们当中的一个学号，这个问题留给同学们课后去研究。
[评析：练习部分的设计，通过判断、找倍数和因数、游戏等活动，不仅加深了学生对倍数和因数的认识，还作了适度的拓展和延伸。使学生体会到l是任意一个非零自然数的因数，非零自然数都是1的倍数，强调了倍数和因数都是非零自然数范围内研究的。游戏活动激发了学生的学习热情，培养了学生应用数学意识。]
四、回顾反思，全课总结(略)
[总评]
1．教师的“有为而教”。在学生对倍数和因数的意义建构的过程中，教者彰显“有为”的引领作用，合理选择教学方法，促进学生的知识建构。体现在：(1)教者能把握学生的学习起点，采取“有意义建构”的方法，帮助学生建立倍数和因数概念。(2)在倍数、因数概念的建立和找一个数倍数、因数的方法过程中，教者巧妙运用辨析，如“12是倍数，这样说行吗?”、“12是5的倍数吗?”、“你觉得哪种方法比较好?好在哪里?”等等，在比较和辨析中强化对知识的理解，将学生的思维不断引向深入，从而实现了学生真正意义上的自主建构。
2．教师的“无为而教”，教学找一个数的倍数和一个数的因数时。教者又表现出其“无为”的主导特色，大胆放手，给学生充足的时间和空间，把学生推向学习的前台，为学生的充分“有为”提供更大的可能。找一个数倍数和因数的方法过程中，师生、生生之间通过平等对话和交流。思维不断碰撞、不断发展、不断提升，找一个数倍数和因数的方法从无序到有序、从有序到有序地成对找。在互动交流中无痕地生成。