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摘 要：数学概念的教学在整个数学教学中有着非常重要的地位，加强数学概念教学具有重要的意义。目前我国对数学概念的教学多采用概念同化方式，有很多弊端，本文将这一方式和国外的APOS理论做了初步的比较，探讨了进行新的数学概念教学的策略。
关键词：数学概念教学；APOS理论；教学策略
数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，它包含数学判断、推理、论证以及数学理论体系演化的一切矛盾的萌芽，也包含数学的思想和方法，它是数学思维的“细胞”。数学教学是以数学思维活动为核心的教学，因此数学概念的教学在整个数学教学中有着非常重要的地位。
目前我国的数学概念教学大多采用概念同化方式进行，通常分为以下几个步骤：① 给出概念的定义、名称和符号；② 揭示概念的外延；③ 利用概念的定义进行简单的识别活动；④ 应用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的联系。这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，但也有弊端，这种教学方式只能从形式上做逻辑分析让学生理解概念，这是远远不够的。数学概念具有过程和对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的教学过程。因此，教师必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念。近年来流行的美国杜宾斯基等发展的APOS理论对我们很有启示意义，该理论认为学生学习数学概念要进行心理建构，这一建构要经历四个阶段（以函数概念为例）：
活动阶段：理解函数需要活动或操作。例如对y=x2，需要用具体的数字构造对应：2→4 、3→9、4→16……通过操作活动，理解函数的意义。
过程阶段：把上述的操作活动综合为一个函数的过程。一般的有x→x2；其他的各种函数也可以概括为一般的对应过程x→f（x）。
对象阶段：把函数过程当作一个完整的对象处理；比如函数的加减乘除、复合运算等。在f（x）±g（x）中，f（x）和g（x）都是作为一个整体对象出现的。
图示阶段：此时的函数概念以一种综合的心理图示存在于脑海里，其中有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系。
在实际操作中这四个阶段一般不能逾越，应当循序渐进。同时又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象、不断地形式化，最后完成数学概念的建立。这四个阶段中的“活动”阶段是让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“过程”阶段是学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到概念的本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动；“图示”的形成要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图示包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图示。
与概念同化方式的学习相比，APOS理论体现了数学知识形成的规律性，反映了学生学习数学概念真实的思维活动，注重学生的参与和体验，更有利于学生对于数学概念的学习。从教学方面讲，也体现了一种教学规律，为我们提供了一种实用的教学策略。为此就数学概念的教学我们提出以下建议：
（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。为了使学生建构完整的数学概念，教师要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几方面：① 能揭示数学概念的现实背景和形成过程；② 适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③ 适当数量的问题，使学生有充足的活动体验；④ 注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起学生的学习兴趣。
（2）体现数学概念形成中的数学思维方法。数学思维方法是知识产生的灵魂，教师要把握数学概念形成中的数学思维方法，这是学生展开思维、建构概念的主线。教师在学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外教师要设计能引起学生反思的问题，使学生能顺利完成由“活动”到“过程”，“过程”到“对象”的过渡。
（3）数学对象的建立需经多次反复。我们应该意识到，一个数学概念由“过程”到“对象”的建立，有时既困难又漫长。“过程”到“对象”的压缩、抽象需经多次反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解。“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示，使学生在头脑中建立起数学概念的直观结构形象。
最后，我们在教学中要注意学生对概念图示的建立，帮助学生在头脑中建立起完整的数学概念的心理图示。
参考文献：
[1]唐 艳.基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学，2005（12）.
[2]乔连全，APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）.
（作者单位：河南省濮阳市华龙区高级中学）
关键词：数学概念教学；APOS理论；教学策略
数学概念是现实世界空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，它包含数学判断、推理、论证以及数学理论体系演化的一切矛盾的萌芽，也包含数学的思想和方法，它是数学思维的“细胞”。数学教学是以数学思维活动为核心的教学，因此数学概念的教学在整个数学教学中有着非常重要的地位。
目前我国的数学概念教学大多采用概念同化方式进行，通常分为以下几个步骤：① 给出概念的定义、名称和符号；② 揭示概念的外延；③ 利用概念的定义进行简单的识别活动；④ 应用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的联系。这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，但也有弊端，这种教学方式只能从形式上做逻辑分析让学生理解概念，这是远远不够的。数学概念具有过程和对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的教学过程。因此，教师必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念。近年来流行的美国杜宾斯基等发展的APOS理论对我们很有启示意义，该理论认为学生学习数学概念要进行心理建构，这一建构要经历四个阶段（以函数概念为例）：
活动阶段：理解函数需要活动或操作。例如对y=x2，需要用具体的数字构造对应：2→4 、3→9、4→16……通过操作活动，理解函数的意义。
过程阶段：把上述的操作活动综合为一个函数的过程。一般的有x→x2；其他的各种函数也可以概括为一般的对应过程x→f（x）。
对象阶段：把函数过程当作一个完整的对象处理；比如函数的加减乘除、复合运算等。在f（x）±g（x）中，f（x）和g（x）都是作为一个整体对象出现的。
图示阶段：此时的函数概念以一种综合的心理图示存在于脑海里，其中有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其他概念的区别和联系。
在实际操作中这四个阶段一般不能逾越，应当循序渐进。同时又不可只停留在具体、直观、视觉化的阶段，必须升华、逐级地抽象、不断地形式化，最后完成数学概念的建立。这四个阶段中的“活动”阶段是让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“过程”阶段是学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到概念的本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动；“图示”的形成要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图示包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图示。
与概念同化方式的学习相比，APOS理论体现了数学知识形成的规律性，反映了学生学习数学概念真实的思维活动，注重学生的参与和体验，更有利于学生对于数学概念的学习。从教学方面讲，也体现了一种教学规律，为我们提供了一种实用的教学策略。为此就数学概念的教学我们提出以下建议：
（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。为了使学生建构完整的数学概念，教师要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几方面：① 能揭示数学概念的现实背景和形成过程；② 适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③ 适当数量的问题，使学生有充足的活动体验；④ 注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起学生的学习兴趣。
（2）体现数学概念形成中的数学思维方法。数学思维方法是知识产生的灵魂，教师要把握数学概念形成中的数学思维方法，这是学生展开思维、建构概念的主线。教师在学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外教师要设计能引起学生反思的问题，使学生能顺利完成由“活动”到“过程”，“过程”到“对象”的过渡。
（3）数学对象的建立需经多次反复。我们应该意识到，一个数学概念由“过程”到“对象”的建立，有时既困难又漫长。“过程”到“对象”的压缩、抽象需经多次反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解。“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示，使学生在头脑中建立起数学概念的直观结构形象。
最后，我们在教学中要注意学生对概念图示的建立，帮助学生在头脑中建立起完整的数学概念的心理图示。
参考文献：
[1]唐 艳.基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学，2005（12）.
[2]乔连全，APOS：一种建构主义的数学学习理论[J].全球教育展望，2001（3）.
（作者单位：河南省濮阳市华龙区高级中学）