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摘要：本文在文献的基础上，分析了学生成绩不理想的原因，阐述了笔者在数学“理解学习”上独到的见解，构建了记忆理解，感官理解，理性理解以及构造理解的四种理解方式，表达了对于所谓的数学“学困生”的意见。
关键词：理解；理解学习；数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）06-0039
一、普通高中数学“理解学习”的现状
数学作为高中教育的一门主要学科，对于每一个班级来说，总会有部分学生学习困难。学生学得不理想的原因是多方面、多角度的，多种原因结合就形成了这样的结果。下面简单举几个例子：
其一，学生性格会影响他们的学习。有些学生性格比较内敛，与同学沟通、交流非常少，很多时候他们没有听明白的，或者遇到不会的问题，他们往往不愿意主动问同学和教师。就因为这，他们失去了能够及时理解知识的好时机。这样的问题日积月累就造成了他们在数学学习上越学越觉得压力大，从而影响了数学学习。
其二，学生学习方法不对。有些学生上课认认真真听，下课依然玩得不亦乐乎，数学成绩却一直很好。反而，有时对于那些平常认真听课，课后认真练习的学生来说，他们的成绩反而不理想。因为这些学生的学习方法不恰当。他们主观地认为高中数学的学习是靠做练习练出来的（当然，这也与教师强调练习有一定的关系）。所以这些学生在学习过程中所重视的不是理解知识内容，而是一味地盲目跟从教师的解题过程，没想过每一步的理由，等解決之后，便豁然开朗地离去，因为他觉得他已经会了。然而，实际上，他是否真的会了，下次再出现，他一定可以顺利地解答出来吗？不一定，因为他没有真正理解。正因为没有真正地理解好知识，所以导致只能处理一部分练习题，达不到举一反三的效果。
在以上两种情况中，学生并未真正理解学习的内容，最终导致失去兴趣以及信心。很多初中生刚进入高中的时候，都是信心饱满的，他们已经做好了进入高中的思想准备，所以他们一直遥遥领先。但有些人没有，他们在高中学习一段时间以后，便产生了一定倦怠，导致成绩不理想。对于这些学生来说，有些人会因为家人、教师、同学的鼓励以及自己的坚强意志，慢慢地拾起对数学学习的信心。然而，另一些人却因此一蹶不振。对于他们来说，或许他们知道数学学习是必不可少的，但是每当他们看到自己的学习成绩时，他们便对自己失去了信心，也对数学科目失去了兴趣。他们觉得数学是那些成绩好、聪明之人可以学好的，自己根本学不好。这样，他们便不愿在数学上投入更多的时间，学习便进入了恶性循环。理解学习在此就显得格外重要了。
所谓理解学习，指在理解的基础上进行更深一步的学习。理解，字典解释为：因每个人的大脑对事物分析决定的一种对事物本质的认识，就是通常我们所说的知其然，又知其所以然。一般也称为了解或领会。理解与概念和问题都有密切关系，有时是互相重叠的。理解常以问题解决的方式来进行。对提出的问题所给予的回答，可以表现出理解的不同程度或不同水平。理解的标志之一，是对所理解的对象能用自己的话表达出来，包括对语言材料能加以改组，改变其表达方式。对某事物理解不确切，难以用自己的话表述，或仅能背诵原文，这说明对文句或事物并未有真正的理解。
二、对高中数学“理解学习”教与学的建议
很多人认为，数学就一定要做题，通过大量的练习可以提高数学成绩，所以要想学好数学就要多做题，大量做题。然而，从实际效果来看，有些时候却也增加了他们对这个观点的误解。事实上，在数学学习过程中，我们有时候可以把一些定理、结论等的来龙去脉弄得清清楚楚，有时候却不需要如此。关键看你如何理解这些内容，并将其内化为自己的东西。练习固然重要，但是最重要的应当属于“理解”。笔者将数学学习的理解方式分为四种，记忆理解，感官理解，理性理解以及构造理解。
1. 记忆理解。顾名思义，是利用我们自己的记忆，把一些定理、结论等通过一定的方式，先把它记住，而后再对其进行理解。在数学学习上，如有些公式、结论等不易理解，却可以用一些口诀来记忆之时，可以先用口诀记忆，在记忆之后再慢慢理解。例如：函数f（x）变换到函数f（x 1），是将整个函数向左平移一个单位，记忆口诀平移变换的“左加右减”，记忆结束之后，再慢慢地借助特殊函数（比如二次函数，反比例函数等）来理解；对于必修5中的数列求和，有一种求和的方法叫做“错位相减法”，可能学生在刚开始接触的时候不能理解，为什么要用这样的方法？为什么要乘以公比？为什么要“错位”再相减？为什么错位相减的结果中间一定是一个等比数列求和？为什么看到类似于an=n·2n的形式都可以使用这样的方法呢？对于很多这样的问题，一时难以全部让学生理解接受。可以让学生记住“错位相减法”的具体题型以及相应的具体操作过程，待学生练习一定量的题目以后，可以给学生提点一下，为什么会出现这样的情况，此时相信学生会很快理解并接受这个方法的。
2. 感官理解。根据人的感觉理解数学上的一些定理、结论、题型等。
（1）在对结论的理解时，如函数y=Asin（ωx φ）（A>0，ω>0）的图像受三个量的影响，学生在学习它的平移、伸缩变换规律时不易掌握，让学生分析观察：
伸缩变换：y=sinx→y=sin2x
当x取原来的值时，函数值为sinx，经过变换以后当x取■时，函数值才为sinx。也就是说，当纵坐标不变时，横坐标变为原来的一半。适时再举例一些点，便可以让学生很好地理解，为什么这样的变换是“纵坐标不变，横坐标变为原来的一半”；
平移变换：y=sin2x→y=sin（2x ■）
原函数当x=0时，函数值为y=sin0，经过平移变换以后，当x=-■时，函数值为y=sin0，也就是说（0，0）这一点平移到了（-■，0），这样可以认为函数向左平移了-■个单位。等学生理解之后，再告诉学生不管是平移还是伸缩，仅仅对进行变换，这样学生理解得就会更加深刻。 （2）在对练习的理解时，学生处理完练习之后，（上接第39页）要达到举一反三的效果，必须对所处理的练习进行跟踪、理解并分析。例如在解三角形题型中，条件a=2bcosC的处理，也许有些人会利用正弦定理转化为角，利用三角函数进行处理，也会有人利用余弦定理转化为边。但是就这样一个条件，我们可以从它身上提炼得到：三角形当中的量除了边就是角，在解三角形的题型中，往往会出现边角同在的情况，遇到这样的条件该如何处理。我们可以“边角互化”，都化成边或者角进行处理。所以以后一但遇到这样的问题，肯定会有这样的利用正弦定理或者余弦定理进行“边角互化”的过程。再如，数列当中，主要的题型有求通项以及求通项an公式的前n项和，在求Sn过程中，主要方法有错位相减，裂项相消，倒序相加等等。错位相减主要针对一个等差数列以及一个等比数列对应相乘求和问题，所以在遇到数列问题，一旦遇到an·bn或者■求和问题，很有可能是错位相减的做法，所以在求通项an以及bn之时可以做一个参考依据，而且可以给学生一个心理暗示：“这道题很简单，不就是错位相减嘛。”裂项相消问題主要是出现了分母相乘分之一这样的形式，常见的是■，注意裂项以后要能够还原，即恒等进行变换。所以只要见到■求和问题，很有可能是裂项相消的问题，这样让学生无形中给自己吃了一颗定心丸。这种理解也是笔者在学生面前强调再三的一种理解方式。
3. 理性理解。即对公式、结论的来龙去脉理解得非常透彻，比如在知道了正弦公式sin（α β）=sinαcosβ cosαsinβ之后，求sin（α-β）之时，只需要将β换成-β，利用公式sin（-β）=-sinβ，cos（-β）=cosβ，就可以直接可以得出sin（α-β）=sinαcosβ cosαsinβ，在理解的基础上加以记忆。再如，由倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，可以得出cos2α=■，sin2α=■。这个降次公式运用得非常广泛，而倍角公式是应该熟记的，在倍角公式基础上得出降次公式易理解又便于记忆。
4. 构造理解。在对于一些结论、公式不便于记忆之时，我们可以自己构造一种理解的方式将它记忆，只要我们构造的理解方式不违背常理，就可以为我们所用。如在三角形中，有很多公式，有时候记忆起来不太容易，这时候我们可以构造一种记忆方式。笔者认为sine（正弦）比较“好”，而cosine（余弦）比较“霸道”，所以，sin（α β）=sinαcosβ cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ正弦展开，“和”展开中间是“加号”“差”展开中间是“减号”；cos（α β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ，而余弦展开，“和”展开中间反而是“减号”，“差”展开是“加号”，而且余弦“霸道”到硬是要将余弦绑在一起，出现余弦相乘的现象。这样的理解方式不违背常理，而且便于记忆，还未以后的一些理解提供了方便。如降次公式cos2α=■，sin2α=■，降次公式都是由两倍角余弦表示，由于余弦比较“霸道”，所以降次的时候，靠着都是余弦的关系，所以都是正的，而正弦相对比较“好”，它可以允许降次的时候是“负号”。
对于那些感觉数学学习比较轻松的学生来说，他们自己对于“理解学习”可以做得很好，可以自己主动寻找理解的方法，理解着去学习。对于所谓的“潜能生”来说，他们所表现出来的成绩相对落后只是表象，那是因为他们还没有建立起属于自己的一套理解体系。如果每一个学生都能好好地挖掘自己的理解能力，理解学习，笔者相信每一个人都可以学得很好。
参考文献：
[1] 王爱珍.数学理解及理解障碍的探究[J].广东教育学院学报，2004（2）.
[2] 黄燕玲，喻 平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（3）.
[3] 吕林海.数学理解性学习与教学研究[D].华东师范大学，2005.
[4] 徐彦辉.数学理解的理论探讨与实证研究[D].华东师范大学，2009.
[5] 熊丙章.高中生的算法理解水平及其教学策略研究[D].西南大学，2013.
（作者单位：湖北省公安县第三中学 434300）
关键词：理解；理解学习；数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）06-0039
一、普通高中数学“理解学习”的现状
数学作为高中教育的一门主要学科，对于每一个班级来说，总会有部分学生学习困难。学生学得不理想的原因是多方面、多角度的，多种原因结合就形成了这样的结果。下面简单举几个例子：
其一，学生性格会影响他们的学习。有些学生性格比较内敛，与同学沟通、交流非常少，很多时候他们没有听明白的，或者遇到不会的问题，他们往往不愿意主动问同学和教师。就因为这，他们失去了能够及时理解知识的好时机。这样的问题日积月累就造成了他们在数学学习上越学越觉得压力大，从而影响了数学学习。
其二，学生学习方法不对。有些学生上课认认真真听，下课依然玩得不亦乐乎，数学成绩却一直很好。反而，有时对于那些平常认真听课，课后认真练习的学生来说，他们的成绩反而不理想。因为这些学生的学习方法不恰当。他们主观地认为高中数学的学习是靠做练习练出来的（当然，这也与教师强调练习有一定的关系）。所以这些学生在学习过程中所重视的不是理解知识内容，而是一味地盲目跟从教师的解题过程，没想过每一步的理由，等解決之后，便豁然开朗地离去，因为他觉得他已经会了。然而，实际上，他是否真的会了，下次再出现，他一定可以顺利地解答出来吗？不一定，因为他没有真正理解。正因为没有真正地理解好知识，所以导致只能处理一部分练习题，达不到举一反三的效果。
在以上两种情况中，学生并未真正理解学习的内容，最终导致失去兴趣以及信心。很多初中生刚进入高中的时候，都是信心饱满的，他们已经做好了进入高中的思想准备，所以他们一直遥遥领先。但有些人没有，他们在高中学习一段时间以后，便产生了一定倦怠，导致成绩不理想。对于这些学生来说，有些人会因为家人、教师、同学的鼓励以及自己的坚强意志，慢慢地拾起对数学学习的信心。然而，另一些人却因此一蹶不振。对于他们来说，或许他们知道数学学习是必不可少的，但是每当他们看到自己的学习成绩时，他们便对自己失去了信心，也对数学科目失去了兴趣。他们觉得数学是那些成绩好、聪明之人可以学好的，自己根本学不好。这样，他们便不愿在数学上投入更多的时间，学习便进入了恶性循环。理解学习在此就显得格外重要了。
所谓理解学习，指在理解的基础上进行更深一步的学习。理解，字典解释为：因每个人的大脑对事物分析决定的一种对事物本质的认识，就是通常我们所说的知其然，又知其所以然。一般也称为了解或领会。理解与概念和问题都有密切关系，有时是互相重叠的。理解常以问题解决的方式来进行。对提出的问题所给予的回答，可以表现出理解的不同程度或不同水平。理解的标志之一，是对所理解的对象能用自己的话表达出来，包括对语言材料能加以改组，改变其表达方式。对某事物理解不确切，难以用自己的话表述，或仅能背诵原文，这说明对文句或事物并未有真正的理解。
二、对高中数学“理解学习”教与学的建议
很多人认为，数学就一定要做题，通过大量的练习可以提高数学成绩，所以要想学好数学就要多做题，大量做题。然而，从实际效果来看，有些时候却也增加了他们对这个观点的误解。事实上，在数学学习过程中，我们有时候可以把一些定理、结论等的来龙去脉弄得清清楚楚，有时候却不需要如此。关键看你如何理解这些内容，并将其内化为自己的东西。练习固然重要，但是最重要的应当属于“理解”。笔者将数学学习的理解方式分为四种，记忆理解，感官理解，理性理解以及构造理解。
1. 记忆理解。顾名思义，是利用我们自己的记忆，把一些定理、结论等通过一定的方式，先把它记住，而后再对其进行理解。在数学学习上，如有些公式、结论等不易理解，却可以用一些口诀来记忆之时，可以先用口诀记忆，在记忆之后再慢慢理解。例如：函数f（x）变换到函数f（x 1），是将整个函数向左平移一个单位，记忆口诀平移变换的“左加右减”，记忆结束之后，再慢慢地借助特殊函数（比如二次函数，反比例函数等）来理解；对于必修5中的数列求和，有一种求和的方法叫做“错位相减法”，可能学生在刚开始接触的时候不能理解，为什么要用这样的方法？为什么要乘以公比？为什么要“错位”再相减？为什么错位相减的结果中间一定是一个等比数列求和？为什么看到类似于an=n·2n的形式都可以使用这样的方法呢？对于很多这样的问题，一时难以全部让学生理解接受。可以让学生记住“错位相减法”的具体题型以及相应的具体操作过程，待学生练习一定量的题目以后，可以给学生提点一下，为什么会出现这样的情况，此时相信学生会很快理解并接受这个方法的。
2. 感官理解。根据人的感觉理解数学上的一些定理、结论、题型等。
（1）在对结论的理解时，如函数y=Asin（ωx φ）（A>0，ω>0）的图像受三个量的影响，学生在学习它的平移、伸缩变换规律时不易掌握，让学生分析观察：
伸缩变换：y=sinx→y=sin2x
当x取原来的值时，函数值为sinx，经过变换以后当x取■时，函数值才为sinx。也就是说，当纵坐标不变时，横坐标变为原来的一半。适时再举例一些点，便可以让学生很好地理解，为什么这样的变换是“纵坐标不变，横坐标变为原来的一半”；
平移变换：y=sin2x→y=sin（2x ■）
原函数当x=0时，函数值为y=sin0，经过平移变换以后，当x=-■时，函数值为y=sin0，也就是说（0，0）这一点平移到了（-■，0），这样可以认为函数向左平移了-■个单位。等学生理解之后，再告诉学生不管是平移还是伸缩，仅仅对进行变换，这样学生理解得就会更加深刻。 （2）在对练习的理解时，学生处理完练习之后，（上接第39页）要达到举一反三的效果，必须对所处理的练习进行跟踪、理解并分析。例如在解三角形题型中，条件a=2bcosC的处理，也许有些人会利用正弦定理转化为角，利用三角函数进行处理，也会有人利用余弦定理转化为边。但是就这样一个条件，我们可以从它身上提炼得到：三角形当中的量除了边就是角，在解三角形的题型中，往往会出现边角同在的情况，遇到这样的条件该如何处理。我们可以“边角互化”，都化成边或者角进行处理。所以以后一但遇到这样的问题，肯定会有这样的利用正弦定理或者余弦定理进行“边角互化”的过程。再如，数列当中，主要的题型有求通项以及求通项an公式的前n项和，在求Sn过程中，主要方法有错位相减，裂项相消，倒序相加等等。错位相减主要针对一个等差数列以及一个等比数列对应相乘求和问题，所以在遇到数列问题，一旦遇到an·bn或者■求和问题，很有可能是错位相减的做法，所以在求通项an以及bn之时可以做一个参考依据，而且可以给学生一个心理暗示：“这道题很简单，不就是错位相减嘛。”裂项相消问題主要是出现了分母相乘分之一这样的形式，常见的是■，注意裂项以后要能够还原，即恒等进行变换。所以只要见到■求和问题，很有可能是裂项相消的问题，这样让学生无形中给自己吃了一颗定心丸。这种理解也是笔者在学生面前强调再三的一种理解方式。
3. 理性理解。即对公式、结论的来龙去脉理解得非常透彻，比如在知道了正弦公式sin（α β）=sinαcosβ cosαsinβ之后，求sin（α-β）之时，只需要将β换成-β，利用公式sin（-β）=-sinβ，cos（-β）=cosβ，就可以直接可以得出sin（α-β）=sinαcosβ cosαsinβ，在理解的基础上加以记忆。再如，由倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，可以得出cos2α=■，sin2α=■。这个降次公式运用得非常广泛，而倍角公式是应该熟记的，在倍角公式基础上得出降次公式易理解又便于记忆。
4. 构造理解。在对于一些结论、公式不便于记忆之时，我们可以自己构造一种理解的方式将它记忆，只要我们构造的理解方式不违背常理，就可以为我们所用。如在三角形中，有很多公式，有时候记忆起来不太容易，这时候我们可以构造一种记忆方式。笔者认为sine（正弦）比较“好”，而cosine（余弦）比较“霸道”，所以，sin（α β）=sinαcosβ cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ正弦展开，“和”展开中间是“加号”“差”展开中间是“减号”；cos（α β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ sinαsinβ，而余弦展开，“和”展开中间反而是“减号”，“差”展开是“加号”，而且余弦“霸道”到硬是要将余弦绑在一起，出现余弦相乘的现象。这样的理解方式不违背常理，而且便于记忆，还未以后的一些理解提供了方便。如降次公式cos2α=■，sin2α=■，降次公式都是由两倍角余弦表示，由于余弦比较“霸道”，所以降次的时候，靠着都是余弦的关系，所以都是正的，而正弦相对比较“好”，它可以允许降次的时候是“负号”。
对于那些感觉数学学习比较轻松的学生来说，他们自己对于“理解学习”可以做得很好，可以自己主动寻找理解的方法，理解着去学习。对于所谓的“潜能生”来说，他们所表现出来的成绩相对落后只是表象，那是因为他们还没有建立起属于自己的一套理解体系。如果每一个学生都能好好地挖掘自己的理解能力，理解学习，笔者相信每一个人都可以学得很好。
参考文献：
[1] 王爱珍.数学理解及理解障碍的探究[J].广东教育学院学报，2004（2）.
[2] 黄燕玲，喻 平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002（3）.
[3] 吕林海.数学理解性学习与教学研究[D].华东师范大学，2005.
[4] 徐彦辉.数学理解的理论探讨与实证研究[D].华东师范大学，2009.
[5] 熊丙章.高中生的算法理解水平及其教学策略研究[D].西南大学，2013.
（作者单位：湖北省公安县第三中学 434300）