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解析几何问题往往涉及的知识点多，覆盖面广，综合性强，它是高考考察的一项重要内容，
尤其是“动弦”问题，很多学生对动态的图形感到束手无策，其实每个动态的东西，都有自己
的运动规则——动中有静，我们只要抓住其中的“静”——直线的点，问题便迎刃而解.下
面就几种常见类型的“动弦”考题与大家共同学习一下.
类型1：当动弦过“定点”转动．
例1 ［上海卷(2006)］已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-3,0),右顶点为D(2,0),设点A(
1,12).
过原点O的直线交椭圆于点Ｂ、Ｃ，求△ABC面积的最大值.
解:
由题意知椭圆方程为x24+y2=1
(1)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
(2)当直线BC不垂直于x轴时,将该直线方程y=kx代入
解法4：
当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为y=kx，交x24
+y2=1于B（2cosa,sina),C(-2cosa,-sina),直线OA：y=
12x,点B（2cosa,sina),C(-2cosa,-sina)分别到OA的距离为d=
|cosa-sina|
1+(12)2,所以S=
12OA（d+d)=|cosa-sina|=
2cos(a+π4).
所以Smax=2.
注：法一较常规，利用基本不等式处理，要求思路清晰，计算准确，该法略显麻烦．
法二利用求导求最值，要求计算过关．法三，巧用三角换元与万能公式，方法虽妙却难想，
法四利用参数法处理，思路清晰，计算简单，不愧为一种好方法．
类型2：直线的“斜率不变”，找“切点”.
例2 已知x,y满足x216
+y225=1,求y-3x的最大值与最小值.
解：如图2令y-3x=b,则y=3x+b,原问题转化为椭圆
x216
+y225=1上找一点，使y=3x+b平动经过该点时在y轴上有最大截距与最小截距.当直线y=3x+b与椭圆相切时，有最大与最小截距.将y=3x+b代入
x216
+y225=1得169x2+96bx+16b2-400=0,因为Δ=0,所以b=±13.
故y-3x的最大值为13，最小值为-13.
注：上例是利用直线“斜率不变”，即直线的方向不变，再通过数形结合来找“切点”来处理问题的，思路甚妙！
类型3：
直线中对应线段的“长度不变”的运动，找“中点.”
例3 线段AB的抛物线y2=x上的动弦且
|AB|=a(a为常数）a≥1,求AB的中点M离x轴的最近距离.
解：
设A，M，B的横坐标分别为x1,x2,x3,A,M,B三点在抛物线准线上的投影为A′，
M′，B，由抛物线的定义知
|AF|=|AA′|=x1+14,
|BF|=|BB′|=x3+14.
x1=|AF|-14,x3=|BF|-14.
x2=x1+x32=12
(|AF|+|BF|-12)
=14(2a-1)
等号成立的条件是A、F、B三点共线，即AB为焦点弦，此时AB中点M离x轴的最近距离为14(2a-1).
注：在解析几何中，许多长度、数式都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数
形结合思想容易解决某些最值，及取值范围的问题．
二、探究与拓展
例4 在半径为R的圆内随机选择弦，计算弦长超过内接正三角形边长的概率.
解：解决此问题通常有三种思路，分别表述如下：
思路1:考虑与某确定方向平行的弦，则所求的概率为12［如图图(1)］.
思路2:考虑从圆上某固定点P引出的弦，则所求的概率为13［图(2)］.
思路3:随机的意义理解为，弦的中点落在圆的某个部分的概率与该部分的面积成正比，则所
求的概率为14［图(3)］，长度大于内接正三角形的边长的弦的中点皆落在半径为R2的同心圆内，故所求的概率为π(R2)2πR2=14.
注：上述问题就是历史上著名的“贝特朗悖论”，思路三是正确的，前两种思路是错误的，错在对“概率概念”的理解，特别对“随机”的理解．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
尤其是“动弦”问题，很多学生对动态的图形感到束手无策，其实每个动态的东西，都有自己
的运动规则——动中有静，我们只要抓住其中的“静”——直线的点，问题便迎刃而解.下
面就几种常见类型的“动弦”考题与大家共同学习一下.
类型1：当动弦过“定点”转动．
例1 ［上海卷(2006)］已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-3,0),右顶点为D(2,0),设点A(
1,12).
过原点O的直线交椭圆于点Ｂ、Ｃ，求△ABC面积的最大值.
解:
由题意知椭圆方程为x24+y2=1
(1)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
(2)当直线BC不垂直于x轴时,将该直线方程y=kx代入
解法4：
当直线BC不垂直于x轴时，该直线方程为y=kx，交x24
+y2=1于B（2cosa,sina),C(-2cosa,-sina),直线OA：y=
12x,点B（2cosa,sina),C(-2cosa,-sina)分别到OA的距离为d=
|cosa-sina|
1+(12)2,所以S=
12OA（d+d)=|cosa-sina|=
2cos(a+π4).
所以Smax=2.
注：法一较常规，利用基本不等式处理，要求思路清晰，计算准确，该法略显麻烦．
法二利用求导求最值，要求计算过关．法三，巧用三角换元与万能公式，方法虽妙却难想，
法四利用参数法处理，思路清晰，计算简单，不愧为一种好方法．
类型2：直线的“斜率不变”，找“切点”.
例2 已知x,y满足x216
+y225=1,求y-3x的最大值与最小值.
解：如图2令y-3x=b,则y=3x+b,原问题转化为椭圆
x216
+y225=1上找一点，使y=3x+b平动经过该点时在y轴上有最大截距与最小截距.当直线y=3x+b与椭圆相切时，有最大与最小截距.将y=3x+b代入
x216
+y225=1得169x2+96bx+16b2-400=0,因为Δ=0,所以b=±13.
故y-3x的最大值为13，最小值为-13.
注：上例是利用直线“斜率不变”，即直线的方向不变，再通过数形结合来找“切点”来处理问题的，思路甚妙！
类型3：
直线中对应线段的“长度不变”的运动，找“中点.”
例3 线段AB的抛物线y2=x上的动弦且
|AB|=a(a为常数）a≥1,求AB的中点M离x轴的最近距离.
解：
设A，M，B的横坐标分别为x1,x2,x3,A,M,B三点在抛物线准线上的投影为A′，
M′，B，由抛物线的定义知
|AF|=|AA′|=x1+14,
|BF|=|BB′|=x3+14.
x1=|AF|-14,x3=|BF|-14.
x2=x1+x32=12
(|AF|+|BF|-12)
=14(2a-1)
等号成立的条件是A、F、B三点共线，即AB为焦点弦，此时AB中点M离x轴的最近距离为14(2a-1).
注：在解析几何中，许多长度、数式都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数
形结合思想容易解决某些最值，及取值范围的问题．
二、探究与拓展
例4 在半径为R的圆内随机选择弦，计算弦长超过内接正三角形边长的概率.
解：解决此问题通常有三种思路，分别表述如下：
思路1:考虑与某确定方向平行的弦，则所求的概率为12［如图图(1)］.
思路2:考虑从圆上某固定点P引出的弦，则所求的概率为13［图(2)］.
思路3:随机的意义理解为，弦的中点落在圆的某个部分的概率与该部分的面积成正比，则所
求的概率为14［图(3)］，长度大于内接正三角形的边长的弦的中点皆落在半径为R2的同心圆内，故所求的概率为π(R2)2πR2=14.
注：上述问题就是历史上著名的“贝特朗悖论”，思路三是正确的，前两种思路是错误的，错在对“概率概念”的理解，特别对“随机”的理解．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文