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摘 要：在数论中，欧拉不定方程的正整数解的问题占有非常重要的地位。很多数学学者对此进行了深入的研究，并取得了卓越的成就。基于此，本文探讨了关于欧拉不定方程当k=10时的所有正整数解的问题，首先利用一些初等方法研究了该方程的可解性问题，再利用同余的基本性质以及求欧拉函数的一些基本方法求解出了该欧拉不定方程的所有正整数解。
关键词：Euler函数 不定方程 正整数解
中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2018）02（a）-0255-02
Abstract： In the number theory，the problem of the solution of Euler Diophantine equation plays a very powerful role.A majority of scholars have carried out in-depth research on it and achieved many remarkable achievements.based on this the main contents of this article discuss the problem of the positive integer solution of equation Y， and give all positive integer solutions of this equation by using the elementary method.
Key Words： Euler function； Diophantine equation； Positive integer solutions
對任意正整数，著名的欧拉函数定义为不大于且与互素的正整数的个数。有关欧拉函数方程的问题现已取得不少研究成果。例如文献[1]利用初等方法研究了的可解性，并给出了该方程的所有正整数解。文献[2]研究了方程的可解性，并给出了该方程的59个正整数解。文献[3]研究了方程当k=2，3时的部分解。文献[4]讨论了当时方程有15个正整数解。
本文在上述研究的基础上利用初等方法研究了当k=10时的方程，的可解性问题，并给出其全部正整数解。
1 预备知识
引理1：若为素数，则。
引理2：对任意正整数，，若，则有。
引理3：对任意正整数，，若，则有。
引理4：若，则且。
2 主要结论及证明
定理1：不定方程：
（1）
满足的正整数解有：（x，y）=（13，16），（13，17），（13，93），（12，122），（13，154），（13，186），（13，198），（21，61），（21，122），（21，124），（21，61），（26，77），（26，93），（28，61），（28，93），（36，61），（36，77），（42，61），（25，33），（25，44），（25，66），（33，50），（14，62），（18，62），（15，132），（12，66），（20，30），（15，60），（20，20）。
证明：假设，由引理2知，，再由引理3可知，，从而有，可得：
（2）
对于式（2），当d>20时有，即。显然不存在正整数使其成立。因此，当d>20时式（2）无解，此方程只需讨论[1，20]内的整数即可，下面将分20种情况分别证明，不妨设。
（1）当时，式（2）为，
从而有m=11，n=110；m=12，n=60；m=14，n=35；m=20，n=20。又因为，所以有；；；；或。
若，由引理4知方程无正整数解。若，因而有；，因而，此时方程有正整数解：
，
若，由引理4知方程（1）无正整数解。
若，由引理4知方程（1）无正整数解。
若，因而有，因而，此时方程有正整数解。
（2）当时，式为，即，从而有；。又因为，所以有或。
若，因而有；，且有因而，此时方程有正整数解。
若，因而有，又因为此时，因此，此时方程无解。
（3）当时，式为，从而有，
。又因为，所以有，或。
若，有；，又因为此时，故方程无解。
若，有；，因而此时方程有正整数解。
（4）当时，式为，即，从而有；。又因为，所以有，或。
若，有，又因为此时，故方程无正整数解。
若，有，，又因为此时，故方程无正整数解。
（5）当时，式为，即，从而有；或。又因为，所以有或。
若，有，
又因为此时，故方程无正整数解。
若，有，又因为此时，故方程无正整数解。
（6）当时，式为，即，从而有又因为，所以有。有，。又因为此时，故方程有正整数解。
（7）当时，式为，从而有，又因为，所以有，有，。又因为此时，故方程无正整数解。
（8）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（9）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（10）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有又因为此时，故方程有正整数解。
（11）当时，式为，从而有又因为，所以有。有，。又因为此时，故方程无正整数解。
（12）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有，。又因为此时，故方程无正整数解。
（13）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（14）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（15）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有，。又因为此时，故方程有正整数解（15，60）。
（16）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（17）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（18）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（19）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（20）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有，又因为此时，故方程有正整数解（20，20）。
综上（1）～（20），定理1得证。方程有解：
参考文献
[1] 许霞，徐小凡.关于欧拉方程的正整数解[J].西南师范大学学报：自然科学版，2016，41（4）：6-9.
[2] 陈国慧.一个包含函数的方程[J].纯粹数学与应用数学，2007，23（4）：439-445，457.
[3] Sun CF，Cheng Z.Some kind of equations involving Euler function[J].数学研究，2010，43（4）：364-369.
[4] 孙树东.有关函数的方程的正整数解[J].北华大学学报：自然科学版，2015，16（2）：161-164.
关键词：Euler函数 不定方程 正整数解
中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2018）02（a）-0255-02
Abstract： In the number theory，the problem of the solution of Euler Diophantine equation plays a very powerful role.A majority of scholars have carried out in-depth research on it and achieved many remarkable achievements.based on this the main contents of this article discuss the problem of the positive integer solution of equation Y， and give all positive integer solutions of this equation by using the elementary method.
Key Words： Euler function； Diophantine equation； Positive integer solutions
對任意正整数，著名的欧拉函数定义为不大于且与互素的正整数的个数。有关欧拉函数方程的问题现已取得不少研究成果。例如文献[1]利用初等方法研究了的可解性，并给出了该方程的所有正整数解。文献[2]研究了方程的可解性，并给出了该方程的59个正整数解。文献[3]研究了方程当k=2，3时的部分解。文献[4]讨论了当时方程有15个正整数解。
本文在上述研究的基础上利用初等方法研究了当k=10时的方程，的可解性问题，并给出其全部正整数解。
1 预备知识
引理1：若为素数，则。
引理2：对任意正整数，，若，则有。
引理3：对任意正整数，，若，则有。
引理4：若，则且。
2 主要结论及证明
定理1：不定方程：
（1）
满足的正整数解有：（x，y）=（13，16），（13，17），（13，93），（12，122），（13，154），（13，186），（13，198），（21，61），（21，122），（21，124），（21，61），（26，77），（26，93），（28，61），（28，93），（36，61），（36，77），（42，61），（25，33），（25，44），（25，66），（33，50），（14，62），（18，62），（15，132），（12，66），（20，30），（15，60），（20，20）。
证明：假设，由引理2知，，再由引理3可知，，从而有，可得：
（2）
对于式（2），当d>20时有，即。显然不存在正整数使其成立。因此，当d>20时式（2）无解，此方程只需讨论[1，20]内的整数即可，下面将分20种情况分别证明，不妨设。
（1）当时，式（2）为，
从而有m=11，n=110；m=12，n=60；m=14，n=35；m=20，n=20。又因为，所以有；；；；或。
若，由引理4知方程无正整数解。若，因而有；，因而，此时方程有正整数解：
，
若，由引理4知方程（1）无正整数解。
若，由引理4知方程（1）无正整数解。
若，因而有，因而，此时方程有正整数解。
（2）当时，式为，即，从而有；。又因为，所以有或。
若，因而有；，且有因而，此时方程有正整数解。
若，因而有，又因为此时，因此，此时方程无解。
（3）当时，式为，从而有，
。又因为，所以有，或。
若，有；，又因为此时，故方程无解。
若，有；，因而此时方程有正整数解。
（4）当时，式为，即，从而有；。又因为，所以有，或。
若，有，又因为此时，故方程无正整数解。
若，有，，又因为此时，故方程无正整数解。
（5）当时，式为，即，从而有；或。又因为，所以有或。
若，有，
又因为此时，故方程无正整数解。
若，有，又因为此时，故方程无正整数解。
（6）当时，式为，即，从而有又因为，所以有。有，。又因为此时，故方程有正整数解。
（7）当时，式为，从而有，又因为，所以有，有，。又因为此时，故方程无正整数解。
（8）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（9）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（10）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有又因为此时，故方程有正整数解。
（11）当时，式为，从而有又因为，所以有。有，。又因为此时，故方程无正整数解。
（12）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有，。又因为此时，故方程无正整数解。
（13）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（14）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（15）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有，。又因为此时，故方程有正整数解（15，60）。
（16）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（17）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（18）当时，式为，即，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（19）当时，式为，此时没有的正整数解，故方程无正整数解。
（20）当时，式为，即，从而有又因为，所以有，有，又因为此时，故方程有正整数解（20，20）。
综上（1）～（20），定理1得证。方程有解：
参考文献
[1] 许霞，徐小凡.关于欧拉方程的正整数解[J].西南师范大学学报：自然科学版，2016，41（4）：6-9.
[2] 陈国慧.一个包含函数的方程[J].纯粹数学与应用数学，2007，23（4）：439-445，457.
[3] Sun CF，Cheng Z.Some kind of equations involving Euler function[J].数学研究，2010，43（4）：364-369.
[4] 孙树东.有关函数的方程的正整数解[J].北华大学学报：自然科学版，2015，16（2）：161-164.