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所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 进入初中数学学习后，会出现越来越多的涉及分类讨论的题型，由于对知识的全面性，思维的逻辑性、条理性和缜密性要求较高，学生解题往往出现漏解、错解情况. 在笔者的教学实践中发现，导致这些问题的主要原因是学生知识掌握的不牢靠、不全面，没有抓住与题相关的知识要点解题. 下面我结合自己的教学实践，用具体的例子来谈谈分类讨论思想在三角形中的应用.
一、当所示内容对象不明确时，须进行分类讨论
例1 如图1，等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为１２厘米和２１厘米两部分，求其底边长.
对于题目中周长的两部分ＡＢ ＋ ＡＤ和ＢＣ ＋ ＣＤ不能确定其长是１２还是２１，故需要分类讨论：
①AB + AD = 12，BC + CD = 21或②BC + CD = 12，AB + AD = 21.
二、等腰三角形由于其腰長与底边长、顶角与底角的区别，往往需分类讨论
例2 等腰三角形的周长为１２，一边长为５，求其另两边长.
此题中一边长为５没有确定是等腰三角形的腰长还是底边长，需分类讨论：①当腰长为５时，则另两边长分别为５和２；②当底边长为５时，则另两边长分别为３．５和３．５．当然，此题最后还需注意检验三角形的三边是否满足两边之和大于第三边.
例3 等腰三角形的一个角为４０°，求其另外两个角的度数.
此题中一个角没有确定是顶角还是底角,需分类讨论：①当顶角为４０°时，则另两个角均为底角，都为７０°；②当底角为４０°时，则另两个角一个为顶角１００°，一个为底角４０°.
三、三角形高的位置可能在三角形内、三角形上、三角形外，需进行分类讨论
例4 在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ２０，ＡＣ ＝ １５，ＢＣ边上的高ＡＤ等于１２，求边ＢＣ的长.
在本题中三角形的形状不确定，除了直角三角形不符合题意外，此三角形可为锐角三角形或钝角三角形，由此ＢＣ边上的高可在三角形外或三角形内，应分两种情形解题，如图2和图3.
四、有些题一次分类讨论不能解决问题，在分类的每一种情况中还可能再次出现分类讨论
例5 在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ４０°，求∠Ｂ的度数.
此题∠Ａ不能确定是等腰三角形的顶角还是底角，需进行分类讨论：当∠Ａ是顶角，∠Ｂ必为底角，为７０°；当∠Ａ是底角时，∠Ｂ在等腰三角形中又有可能为顶角或底角，故又需进行分类讨论，得∠Ｂ为４０°或１００°，共三种结果.
例6 已知ＡＤ为等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，求这个三角形的各内角的度数.
由题可分析，等腰三角形的形状不确定，故首先要讨论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，在这三种情况中直角三角形不符合题意，故在另两种情况下解题：（１）锐角三角形ＡＢＣ中，由于ＡＤ为等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，能确定Ａ为底角顶点，但Ｂ，Ｃ哪个是底角顶点无法确定，又需再次进行分类讨论（如图4，Ｂ为底角顶点，图5中Ｂ为顶角顶点），在图4中，若∠ＤＡＢ ＝ ６０°，则∠Ｂ ＝ ３０°，不符合锐角三角形的前提，应舍去；（２）钝角三角形，同于（１），也须再次讨论Ｂ，Ｃ哪个是底角顶点，两种情况均符合题意（如图6，7）.
分类讨论思想是解决数学问题常用的一种方法，对学生的能力要求较高，是一个难点. 教师教学中应有目的、有计划地对学生渗透和强调，加强这方面题型的训练，强化、巩固知识点，让学生逐渐产生分类讨论的意识，提高分析问题、解决问题的能力.
一、当所示内容对象不明确时，须进行分类讨论
例1 如图1，等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为１２厘米和２１厘米两部分，求其底边长.
对于题目中周长的两部分ＡＢ ＋ ＡＤ和ＢＣ ＋ ＣＤ不能确定其长是１２还是２１，故需要分类讨论：
①AB + AD = 12，BC + CD = 21或②BC + CD = 12，AB + AD = 21.
二、等腰三角形由于其腰長与底边长、顶角与底角的区别，往往需分类讨论
例2 等腰三角形的周长为１２，一边长为５，求其另两边长.
此题中一边长为５没有确定是等腰三角形的腰长还是底边长，需分类讨论：①当腰长为５时，则另两边长分别为５和２；②当底边长为５时，则另两边长分别为３．５和３．５．当然，此题最后还需注意检验三角形的三边是否满足两边之和大于第三边.
例3 等腰三角形的一个角为４０°，求其另外两个角的度数.
此题中一个角没有确定是顶角还是底角,需分类讨论：①当顶角为４０°时，则另两个角均为底角，都为７０°；②当底角为４０°时，则另两个角一个为顶角１００°，一个为底角４０°.
三、三角形高的位置可能在三角形内、三角形上、三角形外，需进行分类讨论
例4 在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ２０，ＡＣ ＝ １５，ＢＣ边上的高ＡＤ等于１２，求边ＢＣ的长.
在本题中三角形的形状不确定，除了直角三角形不符合题意外，此三角形可为锐角三角形或钝角三角形，由此ＢＣ边上的高可在三角形外或三角形内，应分两种情形解题，如图2和图3.
四、有些题一次分类讨论不能解决问题，在分类的每一种情况中还可能再次出现分类讨论
例5 在等腰三角形ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ４０°，求∠Ｂ的度数.
此题∠Ａ不能确定是等腰三角形的顶角还是底角，需进行分类讨论：当∠Ａ是顶角，∠Ｂ必为底角，为７０°；当∠Ａ是底角时，∠Ｂ在等腰三角形中又有可能为顶角或底角，故又需进行分类讨论，得∠Ｂ为４０°或１００°，共三种结果.
例6 已知ＡＤ为等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，∠ＤＡＢ ＝ ６０°，求这个三角形的各内角的度数.
由题可分析，等腰三角形的形状不确定，故首先要讨论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，在这三种情况中直角三角形不符合题意，故在另两种情况下解题：（１）锐角三角形ＡＢＣ中，由于ＡＤ为等腰三角形ＡＢＣ的腰ＢＣ上的高，能确定Ａ为底角顶点，但Ｂ，Ｃ哪个是底角顶点无法确定，又需再次进行分类讨论（如图4，Ｂ为底角顶点，图5中Ｂ为顶角顶点），在图4中，若∠ＤＡＢ ＝ ６０°，则∠Ｂ ＝ ３０°，不符合锐角三角形的前提，应舍去；（２）钝角三角形，同于（１），也须再次讨论Ｂ，Ｃ哪个是底角顶点，两种情况均符合题意（如图6，7）.
分类讨论思想是解决数学问题常用的一种方法，对学生的能力要求较高，是一个难点. 教师教学中应有目的、有计划地对学生渗透和强调，加强这方面题型的训练，强化、巩固知识点，让学生逐渐产生分类讨论的意识，提高分析问题、解决问题的能力.