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转化思想是指把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把未知的问题转化为已知的问题，把顺向思维转化为逆向思维，它是把问题由难化易地解决的思想方法.
下面举例说明转化思想在中考题中的应用.
一、生疏问题转化为熟悉问题
生疏问题是指试题中出现的新定义的概念，新定义的运算，新出现的图形等.考生遇到这类生疏问题时，首先要理解题目，然后把这类生疏问题转化为我们自己所熟悉的问题，只有这样问题解决才有希望.
例1 （2006年安徽省中考题）如图1，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
（1）在图3正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β.
（2）在图4四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需要写出画法）.
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图2），证明成段P1P2上任意一点也是它的半等角点.
分析：本题属于新定义的概念类试题，考生首先要正确理解半等角点的概念：这个点出现在凸四边形内，该点与四边形的四个顶点相连，构成的四个角中，分成两组相等的角，（如图1），且α+β=180°,而且一个凸四边形内的半等角点不只一个;同时,由图1得,点A,P,C在同一直线上，把△ADC沿AC翻折180度后，点D一定落在PB上（或PB的延长线上），也就是说点D关于直线AC的对称点一定落在射线PB上.考生只有理解了这个概念，才能着手把生疏的问题转化为熟悉的问题.其实问题（1）是一个辅助性的我们所熟悉的问题，也是命题者希望考生能从问题（1）的解答中能进一步受到启发，进一步挖掘半等角点的深层次含义.从而为解决生疏的问题（2）、（3）寻找解决的思路.问题（1）虽然难度不大，但考生如果忽视问题（1）的解决思路，可能就无法解决（2）、（3）这样的生疏问题.
简解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点就可以了.
（2）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，点P即为所求作的点.
（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D和P2B，根据题意，
∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，
所以∠AP1B+∠BP1C=180°，
故P1在AC上，同理，P2也在AC上，在△DP1P2和△BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，
所以△DP1P2≌△BP1P2，
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是D，B关于AC对称.
设P是P1P2上任一点，连接PD，PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以点P是四边形的半等角点，从而知线段P1P2上的任一点都是半等角点.
二、抽象问题转化为具体问题
抽象问题是指试题中出现的不确定的量 n 或图形依照某规律无限地画下去等.考生遇到这类抽象问题时，首先要正确理解题意，然后把抽象问题想办法转化为具体问题，以便寻找解题的思路.
例2 （2007年山东省中考题）已知：如图5，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB•AD.
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值；
（3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造的图形中，有尽可能多的等腰三角形（标明各角的度数）.
分析：本题的第（3）小题属于题中出现不确定的量的试题（只是构造出尽可能多的等腰三角形），考生解决第（3）小题必须在具体的第（1）小题的基础上进行思考，因为只是要求构造出尽可能多的等腰三角形，尽可能多是一个抽象的概念，但又最多只有8个等腰三角形可构造，所以可思考画图，从图中具体的三角形中进行分析研究，把抽象问题转化为具体的问题.
简解：（1）在△ABC中，AC=BC，
所以∠B=∠A=36°，∠ACB=108°，
在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°，
因为AC2=AB•AD，
所以ACAD=ABAC=ABBC，
所以△ABC∽△CAD，
所以∠ACD=∠A=36°，
所以∠CDB=72°，∠DCB=72°，
所以△ACD和△BDC都是等腰三角形.
（2）设AC=x，则 x2=1×（1-x），
即 x2+x-1=0.
解得 x=-1±52，所以AC=5-12（负根舍去）.
(3)因为是尽可能多地构造出等腰三角形，而最多又只有8个可构造，所以假设可以构造出8个等腰三角形，即图中出现的三角形都是等腰三角形，如图6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD交于点O，当AB=AD时，设∠CAD=α，则∠ADO=∠ABD=∠DBC=∠BCA=∠ACD=α．得∠AOB=∠DOC=2α，由∠ABC=2α，△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=2α(当∠BAC=α时，AB=BC，四边形ABCD不是等腰梯形了)，同理，∠BDC=2α，因为3α+2α+2α+3α=360°(四边形内角和是360°)．得α=36°，符合题意．
综上分析可得，符合题意的等腰三角形最多可构造出8个来，所以假设成立.
三、复杂问题转化为简单问题
复杂问题是指试题中出现的图形复杂，计算复杂，已知量和未知量之间的关系复杂或题中的文字数偏多，考生读题时往往是读到后面忘记前面.考生遇到这类复杂问题时，首先要有良好的心态，不慌不急，因为许多复杂问题都是由一些简单问题构成的，所以要想方设法把复杂问题转化为简单问题.
例3 (2007年广东省中考题)已知等边△OAB的边长为 a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.
(1)求线段OA2的长；
(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如图7)，求△OA6B6的周长.
分析：本题属于图形复杂，且计算看似复杂的试题.考生首先要知道图中出现的一系列△OAnBn都是等边三角形，所以这些三角形都与△OAB相似，然后根据相似三角形的性质——周长之比等于相似比、对应高的比等于相似比，就使复杂的问题转化为简单的问题.
简解：（1)由等边三角形的性质及勾股定理或三角函数可求得：
OA1=32a,OA2=(32)2a=34a.
(2)由(1)知OA1=32a,OA2=(32)2a,
则OA7=(32)7a.
因为△OAB∽△OA6B6,
所以L△OA6B6L△OAB=OA7OA1,所以 l△OA6B6=8164a.
四、一般问题转化为特殊问题
一般情况往往很难推出结论，给我们的解题带来很大的困难，而特殊情况恰恰是问题解决的突破口.点运动到某一个位置，图形变换到某一个特殊位置，众多情况中考虑到某一种特殊情况等，都是解题时转化的思路.
例4 (2006年甘肃省中考题)如图8是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦并与小半圆相切，且AB=24，问：能求出阴影部分的面积吗?若能，求出此面积；若不能，试说明理由.
分析：本题的关键是求出两半圆半径的平方差，如图两半圆的位置关系是一般的位置关系，由于阴影部分的面积与两圆的位置关系无关.正因为如此，我们考虑两圆的特殊位置关系(圆心重合)(如图9)，这一特殊的位置关系，给我们的解题带来了思路.
简解：能求出阴影部分的面积.设大圆与小圆的半径分别为R、r，平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合(如图9).作OH⊥AB于H，则
OH=r,AH=BH=12,
所以R2-r2=122,
所以S阴影=S半圆环=12π(R2-r2)
=72π.
五、未知的问题转化为已知的问题
未知问题是指题中要解决的问题，要求的量，要选的答案，但有时从已知条件出发很难解决未知问题.考生遇到这类未知问题时，首先要认真、仔细地分析已知问题，尽量从已知问题中寻找要解决的未知问题的思路、方法，即把未知问题转化为已知的问题.
例5 (2007年济南市中考题)世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是( )1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 1617 142 1105 1140 1105 142 17……
(A) 1132 (B) 1360 (C) 1495 (D) 1660
分析：本题的解决关键是从已知的一组数据的排列中寻找、挖掘出排列的规律，然后从规律中寻找要解决的未知问题，所以本题解决的思路是把未知转化为已知.
简解：由已知条件可知：1=12+12,12=13+16,14=15+120,15=16+130,16=17+142…，同样处理三角形中间的一些数也有同样的规律，即某数是其正下方的左右两个数的和.依次规律，第八行前4个数分别是18，156,1168，1280，第9行前4个数分别是19,172,1288，1504,第十行前3个数是110,190,1360.
所以第10行左边数第3个数是1360，故选(B).
六、顺向思维转化为逆向思维
由已知条件求未知元素的思维通常称为顺向思维，反过来就是常说的逆向思维.有的中考试题如果用顺向思维的方法，可能要考虑多种情况，导致问题的复杂化，但是如果利用逆向思维的方法可能会使问题迎刃而解，这恰恰是我们的学生平时所忽视的.
例6 (2006年呼和浩特市中考题)y=ax2+bx 与 y=ax+b 在同一平面直角坐标系中的图象(如图10)大致是( )
分析：本题若利用顺向思维的方法，要分 a>0，b≥0；a>0，b≤0 和 a<0，b≥0；a<0，b≤0的四种情况，然后把每一种情况的两图象在同一坐标系中画出来，再作出选择，显得有点复杂.但是若利用逆向思维的方法，选择的答案马上能确定下来，所谓利用逆向思维的方法．就是由已经画出的图象来判断 a，b 的取值情况，看 a，b 的取值两个函数的情况是否一致，若一致就是正确答案，否则排除掉.
简解：(A)图象中的二次函数 a>0,b=0，一次函数 a>0，b>0，不一致，排除；(B)图象中的二次函数 a>0，b>0，(用对称轴方程判)，但图象没有过原点,也排除；（C）图象中的二次函数 a>0,b<0,且图象过原点，一次函数的 a>0,b<0，两个函数关系式中的 a，b 取值一致，故（C）正确，（D）就不用考虑了.
（初三）
下面举例说明转化思想在中考题中的应用.
一、生疏问题转化为熟悉问题
生疏问题是指试题中出现的新定义的概念，新定义的运算，新出现的图形等.考生遇到这类生疏问题时，首先要理解题目，然后把这类生疏问题转化为我们自己所熟悉的问题，只有这样问题解决才有希望.
例1 （2006年安徽省中考题）如图1，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
（1）在图3正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β.
（2）在图4四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需要写出画法）.
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图2），证明成段P1P2上任意一点也是它的半等角点.
分析：本题属于新定义的概念类试题，考生首先要正确理解半等角点的概念：这个点出现在凸四边形内，该点与四边形的四个顶点相连，构成的四个角中，分成两组相等的角，（如图1），且α+β=180°,而且一个凸四边形内的半等角点不只一个;同时,由图1得,点A,P,C在同一直线上，把△ADC沿AC翻折180度后，点D一定落在PB上（或PB的延长线上），也就是说点D关于直线AC的对称点一定落在射线PB上.考生只有理解了这个概念，才能着手把生疏的问题转化为熟悉的问题.其实问题（1）是一个辅助性的我们所熟悉的问题，也是命题者希望考生能从问题（1）的解答中能进一步受到启发，进一步挖掘半等角点的深层次含义.从而为解决生疏的问题（2）、（3）寻找解决的思路.问题（1）虽然难度不大，但考生如果忽视问题（1）的解决思路，可能就无法解决（2）、（3）这样的生疏问题.
简解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点就可以了.
（2）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，点P即为所求作的点.
（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D和P2B，根据题意，
∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，
所以∠AP1B+∠BP1C=180°，
故P1在AC上，同理，P2也在AC上，在△DP1P2和△BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，
所以△DP1P2≌△BP1P2，
所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是D，B关于AC对称.
设P是P1P2上任一点，连接PD，PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以点P是四边形的半等角点，从而知线段P1P2上的任一点都是半等角点.
二、抽象问题转化为具体问题
抽象问题是指试题中出现的不确定的量 n 或图形依照某规律无限地画下去等.考生遇到这类抽象问题时，首先要正确理解题意，然后把抽象问题想办法转化为具体问题，以便寻找解题的思路.
例2 （2007年山东省中考题）已知：如图5，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB•AD.
（1）试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形；
（2）若AB=1，求AC的值；
（3）试构造一个等腰梯形，该梯形连同它的两条对角线，得到了8个三角形，要求构造的图形中，有尽可能多的等腰三角形（标明各角的度数）.
分析：本题的第（3）小题属于题中出现不确定的量的试题（只是构造出尽可能多的等腰三角形），考生解决第（3）小题必须在具体的第（1）小题的基础上进行思考，因为只是要求构造出尽可能多的等腰三角形，尽可能多是一个抽象的概念，但又最多只有8个等腰三角形可构造，所以可思考画图，从图中具体的三角形中进行分析研究，把抽象问题转化为具体的问题.
简解：（1）在△ABC中，AC=BC，
所以∠B=∠A=36°，∠ACB=108°，
在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°，
因为AC2=AB•AD，
所以ACAD=ABAC=ABBC，
所以△ABC∽△CAD，
所以∠ACD=∠A=36°，
所以∠CDB=72°，∠DCB=72°，
所以△ACD和△BDC都是等腰三角形.
（2）设AC=x，则 x2=1×（1-x），
即 x2+x-1=0.
解得 x=-1±52，所以AC=5-12（负根舍去）.
(3)因为是尽可能多地构造出等腰三角形，而最多又只有8个可构造，所以假设可以构造出8个等腰三角形，即图中出现的三角形都是等腰三角形，如图6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD交于点O，当AB=AD时，设∠CAD=α，则∠ADO=∠ABD=∠DBC=∠BCA=∠ACD=α．得∠AOB=∠DOC=2α，由∠ABC=2α，△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=2α(当∠BAC=α时，AB=BC，四边形ABCD不是等腰梯形了)，同理，∠BDC=2α，因为3α+2α+2α+3α=360°(四边形内角和是360°)．得α=36°，符合题意．
综上分析可得，符合题意的等腰三角形最多可构造出8个来，所以假设成立.
三、复杂问题转化为简单问题
复杂问题是指试题中出现的图形复杂，计算复杂，已知量和未知量之间的关系复杂或题中的文字数偏多，考生读题时往往是读到后面忘记前面.考生遇到这类复杂问题时，首先要有良好的心态，不慌不急，因为许多复杂问题都是由一些简单问题构成的，所以要想方设法把复杂问题转化为简单问题.
例3 (2007年广东省中考题)已知等边△OAB的边长为 a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.
(1)求线段OA2的长；
(2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如图7)，求△OA6B6的周长.
分析：本题属于图形复杂，且计算看似复杂的试题.考生首先要知道图中出现的一系列△OAnBn都是等边三角形，所以这些三角形都与△OAB相似，然后根据相似三角形的性质——周长之比等于相似比、对应高的比等于相似比，就使复杂的问题转化为简单的问题.
简解：（1)由等边三角形的性质及勾股定理或三角函数可求得：
OA1=32a,OA2=(32)2a=34a.
(2)由(1)知OA1=32a,OA2=(32)2a,
则OA7=(32)7a.
因为△OAB∽△OA6B6,
所以L△OA6B6L△OAB=OA7OA1,所以 l△OA6B6=8164a.
四、一般问题转化为特殊问题
一般情况往往很难推出结论，给我们的解题带来很大的困难，而特殊情况恰恰是问题解决的突破口.点运动到某一个位置，图形变换到某一个特殊位置，众多情况中考虑到某一种特殊情况等，都是解题时转化的思路.
例4 (2006年甘肃省中考题)如图8是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦并与小半圆相切，且AB=24，问：能求出阴影部分的面积吗?若能，求出此面积；若不能，试说明理由.
分析：本题的关键是求出两半圆半径的平方差，如图两半圆的位置关系是一般的位置关系，由于阴影部分的面积与两圆的位置关系无关.正因为如此，我们考虑两圆的特殊位置关系(圆心重合)(如图9)，这一特殊的位置关系，给我们的解题带来了思路.
简解：能求出阴影部分的面积.设大圆与小圆的半径分别为R、r，平移小半圆使它的圆心与大半圆的圆心O重合(如图9).作OH⊥AB于H，则
OH=r,AH=BH=12,
所以R2-r2=122,
所以S阴影=S半圆环=12π(R2-r2)
=72π.
五、未知的问题转化为已知的问题
未知问题是指题中要解决的问题，要求的量，要选的答案，但有时从已知条件出发很难解决未知问题.考生遇到这类未知问题时，首先要认真、仔细地分析已知问题，尽量从已知问题中寻找要解决的未知问题的思路、方法，即把未知问题转化为已知的问题.
例5 (2007年济南市中考题)世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是( )1112 1213 16 1314 112 112 1415 120 130 120 1516 130 160 160 130 1617 142 1105 1140 1105 142 17……
(A) 1132 (B) 1360 (C) 1495 (D) 1660
分析：本题的解决关键是从已知的一组数据的排列中寻找、挖掘出排列的规律，然后从规律中寻找要解决的未知问题，所以本题解决的思路是把未知转化为已知.
简解：由已知条件可知：1=12+12,12=13+16,14=15+120,15=16+130,16=17+142…，同样处理三角形中间的一些数也有同样的规律，即某数是其正下方的左右两个数的和.依次规律，第八行前4个数分别是18，156,1168，1280，第9行前4个数分别是19,172,1288，1504,第十行前3个数是110,190,1360.
所以第10行左边数第3个数是1360，故选(B).
六、顺向思维转化为逆向思维
由已知条件求未知元素的思维通常称为顺向思维，反过来就是常说的逆向思维.有的中考试题如果用顺向思维的方法，可能要考虑多种情况，导致问题的复杂化，但是如果利用逆向思维的方法可能会使问题迎刃而解，这恰恰是我们的学生平时所忽视的.
例6 (2006年呼和浩特市中考题)y=ax2+bx 与 y=ax+b 在同一平面直角坐标系中的图象(如图10)大致是( )
分析：本题若利用顺向思维的方法，要分 a>0，b≥0；a>0，b≤0 和 a<0，b≥0；a<0，b≤0的四种情况，然后把每一种情况的两图象在同一坐标系中画出来，再作出选择，显得有点复杂.但是若利用逆向思维的方法，选择的答案马上能确定下来，所谓利用逆向思维的方法．就是由已经画出的图象来判断 a，b 的取值情况，看 a，b 的取值两个函数的情况是否一致，若一致就是正确答案，否则排除掉.
简解：(A)图象中的二次函数 a>0,b=0，一次函数 a>0，b>0，不一致，排除；(B)图象中的二次函数 a>0，b>0，(用对称轴方程判)，但图象没有过原点,也排除；（C）图象中的二次函数 a>0,b<0,且图象过原点，一次函数的 a>0,b<0，两个函数关系式中的 a，b 取值一致，故（C）正确，（D）就不用考虑了.
（初三）