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数学元认知是以数学观念为指导，在数学思维过程中表现出来的，对数学认知活动的认识和监控。学生的数学元认知水平对数学学习有很大影响，数学元认知的差异是形成数学思维品质差异的根本原因。因此，提高学生数学学习的元认知水平，对于有效开展数学教学，有针对性地指导学生的数学学习有着十分重要的意义。
一、创设让学生能够一起参与的情境，让学生理解数学，接受数学，实现数学元认知体验
例如：选修2-2中第二章2.1中的问题：合情推理设置，传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环。古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则，把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用。①每次只能移动1个圆环；②较大的圆环不能放在较小的圆环上面。 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了。请你试着推测：把n个圆环从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
课上让学生动手做，因为题设中的种类较多，上课时从1个环、2个环、3个环开始让学生实践，选三位学生分别来完成。学生在实践过程中并非是一次就会成功，鼓励学生多次尝试，当学生成功时，可以问学生是否已经是最简单的方法。学习本身就是一个多次尝试失败再成功的过程，所以要鼓励学生勇于面对失败。最后再增加到4个环、5个环，让学生通过实验找到规律，使学生自主学习，得到结论，感受学习过程，感受发现规律的一般方法，归纳推理。
通过这类题目的设置可以教会学生坦然面对失败，学会正确归因，引导学生明白人生不可能一帆风顺，接受失败，坦然面对是保持健康心态的重要方面。但引导学生在进行失败归因时，要归因于努力与否，同时创造情境，让学生反复体验成功与失败，逐步明白努力对于成功的重要意义。
数学元认知体验是指伴随着数学认知活动而产生的认知体验或情感体验。它包括知的体验也包括不知的体验，包括成功的体验也包括失败的体验以及个体对成功与失败的反思过程的体验。元认知所经历的时间可长可短。在解数学问题时我们可能久思不得其解，长期处于焦虑状态，这种体验学过数学的人都会有。也可能在久思之后突然来了“灵感”，找到了问题的解决办法，这时成功的体验会迅速传遍全身，这种体验会使人终生难忘。
二、设置合适例题，结合学生实际，有易有难，让学生有计划、有目的地学习，提高数学元认知监控的能力
数学元认知监控的能力就是个体在进行数学活动时，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地进行积极、自觉的监视、控制、调节。它包括连贯的四个方面：①在数学认知活动前的计划的制订。在数学认知活动开始前，个体根据认知任务的目的要求、具体的问题情境并结合自己原有的数学认知结构及原有的认知体验，在头脑中构想出各种可能的解决方法，并在头脑中对各种方法进行评价，选择出可能最为有效的方法，制订出切实可行的解决问题的计划。②认知活动过程中的实际监控。这相当于R.加涅的学习的信息加工模式中的执行性控制， v指的是在数学认知活动的进行中及时监视、评价、反馈认知活动进行的各种情况，一旦发现认知活动中存在的不足，立即据此修正、调整认知策略，这个过程的实现无疑是与元认知的体验密切相关的。大量的研究表明，能力差学生在数学学习或解题中不能灵活地转换认知策略，不善于对数学活动进行实际控制。③数学认知活动结束时结果的调查。这实际上是为个人提供一种关于认知活动结果的反馈信息，主要是指个人根据有效性标准评价数学活动中各种认知策略的有效性，根据认知任务的目的要求评价认知活动的结果，正确估计自己是否完成任务，以及完成任务的程度如何。④ 数学认知活动检查后的补救措施。这实际上是指个人根据关于数学认知活动结果的反馈信息，调整自己的行为。个体在对数学认知活动的结果进行检查时，若发现并未很好地完成认知任务，他就会继续反思，看看问题究竟出在哪里。是计划不对还是执行计划不严，或是认知任务不合理，如果发现了问题，他就会采取补救措施去弥补失误。同时，原有的认知结构也得到了修改。
教育实践表明：优秀生的元认知水平较高。在数学学习中，他们有切实可行的计划，会选择适合自己的学习方法，善于分析自己学习过程中的各种问题，能根据题型的不同要求而自觉采取相应的方法和策略，合理安排解题顺序和运算方法。尤其是当认知出现偏差时，能及时地通过对照、复现、反省，找到问题的症结，并及时纠正。能对自己的学习动机、态度和认知水平做出合理的评价，根据各种情况控制、调节自己的学习。而数学能力差的学生则不然，他们的元认知能力很低，没有学习计划，不讲究学习方法，不注意总结学习的成功经验，对自己学习的结果和过程不作分析和评价，在学习过程中不会反思。
总之，只有元认知水平提高了，学生学习的目的性、计划性、灵活性、自控性才会得到提高，才能选择适合自己的学习策略，在学习中表现出更多的自主性、创造性，才会对数学的学习有浓厚的兴趣，才能学好数学。
参考文献：
[1]李玉琪，黄晓学.试析数学认知活动中的元认知[J].数学教育学报，1995，（4）.
[2]向中军.提出问题比解决问题更重要[J].中学数学教学参考，2000，（5）.
（作者单位：浙江省新昌县知新中学）
一、创设让学生能够一起参与的情境，让学生理解数学，接受数学，实现数学元认知体验
例如：选修2-2中第二章2.1中的问题：合情推理设置，传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环。古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则，把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用。①每次只能移动1个圆环；②较大的圆环不能放在较小的圆环上面。 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了。请你试着推测：把n个圆环从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
课上让学生动手做，因为题设中的种类较多，上课时从1个环、2个环、3个环开始让学生实践，选三位学生分别来完成。学生在实践过程中并非是一次就会成功，鼓励学生多次尝试，当学生成功时，可以问学生是否已经是最简单的方法。学习本身就是一个多次尝试失败再成功的过程，所以要鼓励学生勇于面对失败。最后再增加到4个环、5个环，让学生通过实验找到规律，使学生自主学习，得到结论，感受学习过程，感受发现规律的一般方法，归纳推理。
通过这类题目的设置可以教会学生坦然面对失败，学会正确归因，引导学生明白人生不可能一帆风顺，接受失败，坦然面对是保持健康心态的重要方面。但引导学生在进行失败归因时，要归因于努力与否，同时创造情境，让学生反复体验成功与失败，逐步明白努力对于成功的重要意义。
数学元认知体验是指伴随着数学认知活动而产生的认知体验或情感体验。它包括知的体验也包括不知的体验，包括成功的体验也包括失败的体验以及个体对成功与失败的反思过程的体验。元认知所经历的时间可长可短。在解数学问题时我们可能久思不得其解，长期处于焦虑状态，这种体验学过数学的人都会有。也可能在久思之后突然来了“灵感”，找到了问题的解决办法，这时成功的体验会迅速传遍全身，这种体验会使人终生难忘。
二、设置合适例题，结合学生实际，有易有难，让学生有计划、有目的地学习，提高数学元认知监控的能力
数学元认知监控的能力就是个体在进行数学活动时，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地进行积极、自觉的监视、控制、调节。它包括连贯的四个方面：①在数学认知活动前的计划的制订。在数学认知活动开始前，个体根据认知任务的目的要求、具体的问题情境并结合自己原有的数学认知结构及原有的认知体验，在头脑中构想出各种可能的解决方法，并在头脑中对各种方法进行评价，选择出可能最为有效的方法，制订出切实可行的解决问题的计划。②认知活动过程中的实际监控。这相当于R.加涅的学习的信息加工模式中的执行性控制， v指的是在数学认知活动的进行中及时监视、评价、反馈认知活动进行的各种情况，一旦发现认知活动中存在的不足，立即据此修正、调整认知策略，这个过程的实现无疑是与元认知的体验密切相关的。大量的研究表明，能力差学生在数学学习或解题中不能灵活地转换认知策略，不善于对数学活动进行实际控制。③数学认知活动结束时结果的调查。这实际上是为个人提供一种关于认知活动结果的反馈信息，主要是指个人根据有效性标准评价数学活动中各种认知策略的有效性，根据认知任务的目的要求评价认知活动的结果，正确估计自己是否完成任务，以及完成任务的程度如何。④ 数学认知活动检查后的补救措施。这实际上是指个人根据关于数学认知活动结果的反馈信息，调整自己的行为。个体在对数学认知活动的结果进行检查时，若发现并未很好地完成认知任务，他就会继续反思，看看问题究竟出在哪里。是计划不对还是执行计划不严，或是认知任务不合理，如果发现了问题，他就会采取补救措施去弥补失误。同时，原有的认知结构也得到了修改。
教育实践表明：优秀生的元认知水平较高。在数学学习中，他们有切实可行的计划，会选择适合自己的学习方法，善于分析自己学习过程中的各种问题，能根据题型的不同要求而自觉采取相应的方法和策略，合理安排解题顺序和运算方法。尤其是当认知出现偏差时，能及时地通过对照、复现、反省，找到问题的症结，并及时纠正。能对自己的学习动机、态度和认知水平做出合理的评价，根据各种情况控制、调节自己的学习。而数学能力差的学生则不然，他们的元认知能力很低，没有学习计划，不讲究学习方法，不注意总结学习的成功经验，对自己学习的结果和过程不作分析和评价，在学习过程中不会反思。
总之，只有元认知水平提高了，学生学习的目的性、计划性、灵活性、自控性才会得到提高，才能选择适合自己的学习策略，在学习中表现出更多的自主性、创造性，才会对数学的学习有浓厚的兴趣，才能学好数学。
参考文献：
[1]李玉琪，黄晓学.试析数学认知活动中的元认知[J].数学教育学报，1995，（4）.
[2]向中军.提出问题比解决问题更重要[J].中学数学教学参考，2000，（5）.
（作者单位：浙江省新昌县知新中学）