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摘要：本文讨论了抽象代数课程中等价关系的教学内容，对其教学方法予以研究。
关键词：等价关系；等价类；商集
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）32-0167-02
等价关系是集合分划的另一种表述方式，是抽象代数学基本而重要的概念。在此部分内容的学习中，等价关系对子集的影响经常会成为困扰学生的潜在因素，本文对此教学内容及教学方法予以研究。因为商群、商环、商模、拓扑商空间等结构都是等价关系产生的商集，所以等价关系一般作为预备知识出现在高等代数、抽象代数、拓扑学、离散数学等课程中（参见[1-8]）。教材主要是通过等价关系引出分划和商集的概念。但在实际应用中，学生对商集的子集及相关性质认识是比较模糊的，从而妨碍对商群、商环、商模、拓扑商空间等结构的理解。本文将针对这一教学内容予以研究。
我们先回顾一下等价关系的基本概念和性质。等价关系即满足自身性、对称性和传递性的关系。设～是非空集合A上的等价关系，对于a∈A，称
S■=b∈A|b～a
为a的等价类。那么，对于a∈A，有a∈S■；对于a，b∈A，或者S■=S■，或者S■∩S■=φ。从而
A=■S■，
进而存在A的子集T，使得
A=■S■ （*）
是无交并，即对任意t■≠t■∈T，有S■∩S■=φ。（*）称为A的一个分划，称
A/～={S■|t∈T}
为A的一个商集。
既然等价关系可产生集合的分划，那么为什么不直接用分划来表述，而是用等价关系的语言呢？为此，我们需要先理清等价关系与分划的关系——等价关系与分划是等同的。
定理1 非空集合的等价关系与分划一一对应。
这个定理可解释为：每个等价关系都产生一个分划；不同的等价关系产生不同的分划；每个分划都是由某个等价关系产生的。这个定理虽然在有些教材中未被提及，但教师会在讲授时予以说明，并引导学生自己完成证明。这样分划和等价关系本质上是同一个数学过程的不同表述。貌似等价关系把简单问题复杂化了，但随着学习的深入，学生就会发现等价关系语言的方便之处。
等价关系对子集的影响是很多学生困惑的地方，为了将问题说清楚，我们需要引入新的概念。
定义1 设～是非空集合A上的等价关系，任给A的非空子集B，～诱导出B上的关系：对于b■，b■∈B，定义关系■如下
b■■b■？圳b■～b■.
易见■是B上的等价关系，在不致引起混淆的情况下，也用～表示■。对于b∈B，记
■■=c∈B|c■b。
称b∈B是B的～闭元，如果S■？哿B。称B是～闭子集，如果B中每个元素都是～闭元.
注记2 上述定义1中的概念满足如下性质：
（1）■■=S■∩B；
（2）b∈B是B的～闭元？圳当且仅当■■=S■.
命题3 若干～闭子集的交和并都是～闭子集；两个～闭子集的差是～闭子集，特别地，～闭子集的补集是～闭子集。
定义4 设～是非空集合A上的等价关系，任给A的非空子集B，称A的含B的所有～闭子集的交为B的 ～闭包，记为■.
注记4 ■=■S■.
证明：设a∈■。断言存在b∈B，使得a～b。否则S■∩B=φ，那么S■的补集是A的含B的～闭子集，从而a？埸■，矛盾。那么a∈S■，从而a∈■S■。反之，设a∈■S■，即存在b∈B，使得a∈S■，从而A的含B的每个～闭子集都含
S■，因而含a，即a∈■.
需要注意的是对于A的子集B，B/～未必是A/～的子集。
例5 设A= 是整数集，定义关系～如下：对于a，b∈A，a～b？圳3|（a-b）。那么～是等價关系，且A/～={A■，A■，A■}，其中A■是被3除余i的所有整数的集合。令B={1，2，3，4，5}，那么B/～={3}，{1，4}，{2，5}。从而B/～不是A/～的子集.
命题6 B/～是A/～的子集当且仅当B是～闭子集.
证明：设B/～是A/～的子集。对任意b∈B，往证b是 ～闭元。因■■是B/～中的一个元素，从而它是A/～中的一个元素，即存在a∈A，使得S■=■■=S■∩B。若S■∩S■=φ，则S■∩■■=φ，从而S■≠■■，矛盾.因此S■=S■=■■，即S■？哿B，b是～闭元.反之，设B是～闭子集.那么B/～中元素都形如■■（=S■∩B），其中b∈B.由于B/～是～闭子集，故■■=S■.因此B/～中的元素都是A/～中的元素.这就证明了B/～是A/～的子集.
推论7 A/～的子集与A的～闭子集一一对应.
命题8 商映射f：A→A/～把A的子集B映为■/～.特别地，f■f（B）=■.
例9 设H是G的子群，那么
（1）若～是H诱导的左关系，则对于x∈G，有S■=xH；对于B？哿G，有■=BH；
（2）若～是H诱导的右关系，则对于x∈G，有S■=Hx；对于B？哿G，有■=HB；
（3）若H是G的正规子群，则H诱导的左关系等同于它诱导的右关系，此时，对于x∈G，有S■=Hx=xH；对于B？哿G，有■=HB=BH；
（4）设K是G的子群，则K是～闭子集当且仅当K含H，这里～是H诱导的左关系或右关系.
上述结论为我们设计教学方法打下了理论基础，我们仅选择其中的几个给出了证明，其余没给出证明的都比较简单，有兴趣的读者可自己完成.
在上述准备工作的基础上，我们可以对等价关系的教学做如下设计：（1）在讲述等价关系时，将～闭子集的概念引入，并将其基本性质讲述清楚；（2）在讲述商群时，主要利用～闭子集的概念和性质将上述例9中的（4）讲清楚，这样学生就会把商群G/N的子群与G的子群建立起联系，从而可以准确地把握群同态基本定理。
现对此教学方法予以分析：学生在学习商群时最大的疑惑是同态定理中为什么商群G/N的子群与G的含N的（不变）子群一一对应，利用～闭子集的概念可以将这个内容彻底讲清楚。因此～闭子集的概念是有必要引入的。但该方法也有一些缺点，～闭子集的概念及性质比较抽象，会使初学者难于理解，但可以通过一些例子来辅助理解，消除了抽象性的障碍，即可以作为备选的教学方法。
参考文献：
[1]杜现昆，原永久，牛凤文.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]阿克斯勒著，杜现昆.线性代数应该这样学[M].第2版.马晶，译.人民邮电出版社，2009.
[3]姚幕生.抽象代数学[M].第2版.上海：复旦大学出版社，2016.
[4]赵春来，徐明曜.抽象代数I[M].北京：北京大学出版社，2008.
[5]朱培勇，雷银彬.拓扑学导论[M].北京：科学出版社，2009.
[6]熊金城.点集拓扑讲义[M].第2版.北京：高等教育出版社，1998.
[7]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：北京大学出版社，2002.
[8]王湘浩，管纪文，刘叙华.离散数学[M].北京：高等教育出版社，1983.
关键词：等价关系；等价类；商集
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）32-0167-02
等价关系是集合分划的另一种表述方式，是抽象代数学基本而重要的概念。在此部分内容的学习中，等价关系对子集的影响经常会成为困扰学生的潜在因素，本文对此教学内容及教学方法予以研究。因为商群、商环、商模、拓扑商空间等结构都是等价关系产生的商集，所以等价关系一般作为预备知识出现在高等代数、抽象代数、拓扑学、离散数学等课程中（参见[1-8]）。教材主要是通过等价关系引出分划和商集的概念。但在实际应用中，学生对商集的子集及相关性质认识是比较模糊的，从而妨碍对商群、商环、商模、拓扑商空间等结构的理解。本文将针对这一教学内容予以研究。
我们先回顾一下等价关系的基本概念和性质。等价关系即满足自身性、对称性和传递性的关系。设～是非空集合A上的等价关系，对于a∈A，称
S■=b∈A|b～a
为a的等价类。那么，对于a∈A，有a∈S■；对于a，b∈A，或者S■=S■，或者S■∩S■=φ。从而
A=■S■，
进而存在A的子集T，使得
A=■S■ （*）
是无交并，即对任意t■≠t■∈T，有S■∩S■=φ。（*）称为A的一个分划，称
A/～={S■|t∈T}
为A的一个商集。
既然等价关系可产生集合的分划，那么为什么不直接用分划来表述，而是用等价关系的语言呢？为此，我们需要先理清等价关系与分划的关系——等价关系与分划是等同的。
定理1 非空集合的等价关系与分划一一对应。
这个定理可解释为：每个等价关系都产生一个分划；不同的等价关系产生不同的分划；每个分划都是由某个等价关系产生的。这个定理虽然在有些教材中未被提及，但教师会在讲授时予以说明，并引导学生自己完成证明。这样分划和等价关系本质上是同一个数学过程的不同表述。貌似等价关系把简单问题复杂化了，但随着学习的深入，学生就会发现等价关系语言的方便之处。
等价关系对子集的影响是很多学生困惑的地方，为了将问题说清楚，我们需要引入新的概念。
定义1 设～是非空集合A上的等价关系，任给A的非空子集B，～诱导出B上的关系：对于b■，b■∈B，定义关系■如下
b■■b■？圳b■～b■.
易见■是B上的等价关系，在不致引起混淆的情况下，也用～表示■。对于b∈B，记
■■=c∈B|c■b。
称b∈B是B的～闭元，如果S■？哿B。称B是～闭子集，如果B中每个元素都是～闭元.
注记2 上述定义1中的概念满足如下性质：
（1）■■=S■∩B；
（2）b∈B是B的～闭元？圳当且仅当■■=S■.
命题3 若干～闭子集的交和并都是～闭子集；两个～闭子集的差是～闭子集，特别地，～闭子集的补集是～闭子集。
定义4 设～是非空集合A上的等价关系，任给A的非空子集B，称A的含B的所有～闭子集的交为B的 ～闭包，记为■.
注记4 ■=■S■.
证明：设a∈■。断言存在b∈B，使得a～b。否则S■∩B=φ，那么S■的补集是A的含B的～闭子集，从而a？埸■，矛盾。那么a∈S■，从而a∈■S■。反之，设a∈■S■，即存在b∈B，使得a∈S■，从而A的含B的每个～闭子集都含
S■，因而含a，即a∈■.
需要注意的是对于A的子集B，B/～未必是A/～的子集。
例5 设A= 是整数集，定义关系～如下：对于a，b∈A，a～b？圳3|（a-b）。那么～是等價关系，且A/～={A■，A■，A■}，其中A■是被3除余i的所有整数的集合。令B={1，2，3，4，5}，那么B/～={3}，{1，4}，{2，5}。从而B/～不是A/～的子集.
命题6 B/～是A/～的子集当且仅当B是～闭子集.
证明：设B/～是A/～的子集。对任意b∈B，往证b是 ～闭元。因■■是B/～中的一个元素，从而它是A/～中的一个元素，即存在a∈A，使得S■=■■=S■∩B。若S■∩S■=φ，则S■∩■■=φ，从而S■≠■■，矛盾.因此S■=S■=■■，即S■？哿B，b是～闭元.反之，设B是～闭子集.那么B/～中元素都形如■■（=S■∩B），其中b∈B.由于B/～是～闭子集，故■■=S■.因此B/～中的元素都是A/～中的元素.这就证明了B/～是A/～的子集.
推论7 A/～的子集与A的～闭子集一一对应.
命题8 商映射f：A→A/～把A的子集B映为■/～.特别地，f■f（B）=■.
例9 设H是G的子群，那么
（1）若～是H诱导的左关系，则对于x∈G，有S■=xH；对于B？哿G，有■=BH；
（2）若～是H诱导的右关系，则对于x∈G，有S■=Hx；对于B？哿G，有■=HB；
（3）若H是G的正规子群，则H诱导的左关系等同于它诱导的右关系，此时，对于x∈G，有S■=Hx=xH；对于B？哿G，有■=HB=BH；
（4）设K是G的子群，则K是～闭子集当且仅当K含H，这里～是H诱导的左关系或右关系.
上述结论为我们设计教学方法打下了理论基础，我们仅选择其中的几个给出了证明，其余没给出证明的都比较简单，有兴趣的读者可自己完成.
在上述准备工作的基础上，我们可以对等价关系的教学做如下设计：（1）在讲述等价关系时，将～闭子集的概念引入，并将其基本性质讲述清楚；（2）在讲述商群时，主要利用～闭子集的概念和性质将上述例9中的（4）讲清楚，这样学生就会把商群G/N的子群与G的子群建立起联系，从而可以准确地把握群同态基本定理。
现对此教学方法予以分析：学生在学习商群时最大的疑惑是同态定理中为什么商群G/N的子群与G的含N的（不变）子群一一对应，利用～闭子集的概念可以将这个内容彻底讲清楚。因此～闭子集的概念是有必要引入的。但该方法也有一些缺点，～闭子集的概念及性质比较抽象，会使初学者难于理解，但可以通过一些例子来辅助理解，消除了抽象性的障碍，即可以作为备选的教学方法。
参考文献：
[1]杜现昆，原永久，牛凤文.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]阿克斯勒著，杜现昆.线性代数应该这样学[M].第2版.马晶，译.人民邮电出版社，2009.
[3]姚幕生.抽象代数学[M].第2版.上海：复旦大学出版社，2016.
[4]赵春来，徐明曜.抽象代数I[M].北京：北京大学出版社，2008.
[5]朱培勇，雷银彬.拓扑学导论[M].北京：科学出版社，2009.
[6]熊金城.点集拓扑讲义[M].第2版.北京：高等教育出版社，1998.
[7]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：北京大学出版社，2002.
[8]王湘浩，管纪文，刘叙华.离散数学[M].北京：高等教育出版社，1983.