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记M_2（F）为实或复数域F上的二阶矩阵代数。对于给定的正整数k≥1,A与B的k-交换子递推地定义为[A,B]k=[[A,B]k-1,B],其中[A,B]0=A,[A,B]1=[A,B]=AB-BA.设Φ是M_2（F）上值域包含所有一秩矩阵的映射。本文证明了Φ满足[Φ（A）,Φ（B）]k=[A,B]k对任意A∈M_2（F）都成立的充要条件是存在一个泛函h∶M_2（F）→F和1的k＋1次根λ∈F,使得Φ（A）=λA＋h（A）I对任意A∈M_2（F）都成立。