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作为一种数学工具，导数在研究函数的单调性、最值和切线方程等问题时极为方便. 在解题过程中，同学们常常会因混淆一些基本概念而导致错误，本文就利用导数研究函数的过程中常见的错误进行分类解析.
1. 在某点处的切线与过某点的切线
导数的几何意义是曲线在相应点处切线的斜率，由此可以求切线的方程. 在处理求曲线的切线方程这类问题时，应先看该点是否在曲线上，即区分是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”. 函数在某点处的切线是指过该点且以该点为切点的切线，从而该点也必须是曲线上的点；过某点的切线则不一定要以该点为切点，该点也不一定在曲线上，因此所求切线可能不止一条. 若该点不是切点，则应另设切点，利用切点既在切线上又在曲线上建立方程组进行求解.
例1 已知曲线[y=13x3]上一点[P2,83]，求：
（1）在点[P]处的切线方程；
（2）过点[P]的切线方程.
解 （1）由于[f ′x=x2]，所以[f ′2=4]，所以在点[P]处的切线方程为[l1:y-83=4x-2]，即[12x-3y-16][=0].
（2）当点[P]不是切点时，如下图，设切点坐标为[Mx0,y0]，则[y0=13x03，y0-83x0-2=x02，]
解得[x0=-1,y0=-13].
此时，过点[P]的切线方程为[l2:y-83=x-2,]即[3x-3y+2=0.]
当点[P]是切点时，切线为[l1].
综上，过点[P]的切线方程有[l1:12x-3y-16=0]和[l2:3x-3y+2=0]两条.
2. 函数的单调性与导数的取值符号
若函数在某个区间上满足[f ′x>0]（或[f ′x<0)]，则函数单调递增（或单调递减）；若函数在某个区间上
恒满足[f ′x=0,]则函数为常数函数. 若函数[y=fx]在某区间上是增函数（或是减函数），则函数[y=fx]在该区间上满足[f ′x≥0(或f ′x≤0)]. 函数的导数在该区间内有限个点处取到零，函数的单调性保持不变，因此导数值大于零（或小于零）是该函数单调递增（或单调递减）的充分不必要条件.
例2 已知函数[fx=2x-ax2+2(x∈R)]在区间[-1,1]上是增函数，求实数[a]的值所组成的集合[A].
解 [f ′x=-2x2-ax-2x2+22]，由函数[fx=][2x-ax2+2][(x∈R)]在区间[-1,1]上是增函数，知[f ′x≥0]对一切[x∈-1,1]恒成立，即不等式[x2-ax-2≤0]对一切[x∈-1,1]恒成立.
记[gx=x2-ax-2]，由以上分析，结合[gx]的图象得到[g1=1-a-2≤0,g-1=1+a-2≤0.]解得[-1≤a≤1].
验证：当[a=-1]时，只有[x=1]满足[f ′x=0]；当[a=1]时，只有[x=-1]满足[f ′x=0]. 所以[A=a|-1≤a≤1.]
3. [x0]为极值点与[f ′x0=0]的等价关系
在函数可导的条件下，[f ′x0=0]是[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要不充分条件，只有当[f ′x]在[x=x0]左、右两侧的值为异号时，[x0]才能成为极值点；反过来，当[y=fx]在[x=x0]处有极值时，只有在该函数可导的条件下才有[f ′x0=0]，值得注意的是，也会有函数在[x=x0]处不可导，即[f ′x0]的值不存在的情况. 例如函数[y=x3]在[x=0]处导数等于零，但结合其图象知[x=0]不是极值点，其原因是左右导数都大于零（不异号）. 当函数不可导时则应另当别论，例如函数[y=x]在[x=0]处取最小值，但[f ′0]不存在.
例3 已知函数[fx=x3+ax2+bx+a2]在[x=1]处取极值10，求[fx].
解 依题意知，[f ′x=3x2+2ax+b]，所以有[f ′1=3+2a+b=0,f1=1+a+b+a2=10.]解得[a=4,b=-11与a=-3,b=3.]
验证：当[a=-3,b=3]时，[f ′x=3x2-6x+3][=3x-12≥0]，故[fx]在R上为增函数，所以[fx]在[x=1]处没有极值，应舍去.
综上可知[fx=x3+4x2-11x+16].
4. 函数的极值与最值
函数[y=fx]在[x=x0]处取得极大值（极小值）的条件是：该函数在[x=x0]处及其附近有定义，且对[x=x0]附近的所有[x]都有[fxf(x0)]. 可见，函数在[x=x0]处取极值，指的是函数在[x=x0]“附近”具有的最大（小）性，它是一个局部概念；而最值在“定义域”内具有最大（小）性，是一个整体概念. 理解时注意以下几点：（1）极值可能不唯一，即极大值与极小值可能有多个，而最大值和最小值若存在，则分别只有一个. （2）最大值一定不小于最小值，但极大值可能小于极小值. （3）函数的最值可能在极值点、导数不存在的点或端点处取到.
5. 函数的图象与其导函数的图象
解题过程中要分清函数的图象和导函数的图象，还要明确二者之间的关系：导数的正负号决定函数的单调性，导数的大小决定函数值增减的快慢，与函数值本身的大小无关；导数等于零的点可能成为极值点.
例4 下图是函数[y=fx]的导函数[y=f ′x]的图象，给出下列判断：
（1）函数[y=fx]的单调递增区间有[x1,x3,x5,b]；
（2）函数[y=fx]的单调递减区间有[x2,x4,x6,x7,x8,b]；
（3）函数[y=fx]在[x=x4,x=x7]处取到极小值；
（4）函数[y=fx]只在[x=x3]处取到极大值；
（5）函数[y=fx]在[x=a]处取得最小值[fa]，在[x=x6]处取得最大值[fx6]；
（6）函数[y=fx]在[x=x6]处有最快的增长率，即函数在该点处的切线斜率最大.
上述判断正确的是： .
解 判断正确的为（1）（4）（6）. 若将该图象看作是原函数的图象，很容易得出（2）（3）（5）也正确的错误结论.
6. 函数在区间[a,b]上具有单调性与函数的单调区间为[a,b]
函数在区间[a,b]上具有单调性表示区间[a,b]是该函数的单调区间的一个子集，在[y=fx]可导的条件下，该函数的导函数在区间[a,b]上的导数值[f ′x≥0(或f ′x≤0)]恒成立；而函数的单调区间为[a,b]表示[f ′x≥0(或f ′x≤0)]的解集为[a,b]，并且[x=a,x=b]是方程[f ′x=0]的两个根.
例5 （1）已知函数[y=x3-ax+2]的一个单调递增区间为[1,+∞]，求[a]的值；
（2）已知函数[y=x3-ax+2]在[1,+∞]上是增函数，求[a]的值.
解 [f ′x=3x2-a.]
（1）由该函数的一个单调递增区间为[1,+∞]可知，区间[1,+∞]是不等式[f ′x=3x2-a>0]的解集，且[x=1]是方程[3x2-a=0]的一个根，代入解得[a=3].
（2）由该函数在区间[1,+∞]上是增函数得，不等式[f ′x=3x2-a≥0]在[x∈1,+∞]上恒成立，进而解得[a≤3].
【练习】
1. 已知[a]为实数，若函数[f(x)=(x2+1)(x+a)]的图象有与[x]轴平行的切线，则[a]的取值范围为 .
2. 设[a∈R,]若函数[y=eax+3x][(x∈R)]有大于零的极值点，则（ ）
A. [a>-3] B. [a<-3]
C. [a>-13] D. [a<-13]
3. 若函数[f(x)=lnx-12ax2-2x]存在单调递减区间，则[a]的取值范围是 .
4. 设函数[fx=ax3-3x+1x∈R]，若对于任意的[x∈-1,1]都有[fx≥0]成立，则实数[a]的值为 .
5. 已知函数[fx=-x3+3x2+9x+m]，[gx=][x3-3a2x-2a]，函数[fx]在区间[-2,2]上的最大值为20.
（1）求实数[m]的值；
（2）是否存在实数[a]，使得对于任意的[x1∈-2,2]，总存在[x0∈0,1]，满足[gx0=fx1]？若存在，求出实数[a]的取值范围；若不存在，说明理由.
【参考答案】
1. [a∈-∞,-3⋃3,+∞]
2. B
3. [a∈-1,+∞]
4. [a=4]
5. （1）[m=-2] （2）不存在这样的实数[a].
1. 在某点处的切线与过某点的切线
导数的几何意义是曲线在相应点处切线的斜率，由此可以求切线的方程. 在处理求曲线的切线方程这类问题时，应先看该点是否在曲线上，即区分是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”. 函数在某点处的切线是指过该点且以该点为切点的切线，从而该点也必须是曲线上的点；过某点的切线则不一定要以该点为切点，该点也不一定在曲线上，因此所求切线可能不止一条. 若该点不是切点，则应另设切点，利用切点既在切线上又在曲线上建立方程组进行求解.
例1 已知曲线[y=13x3]上一点[P2,83]，求：
（1）在点[P]处的切线方程；
（2）过点[P]的切线方程.
解 （1）由于[f ′x=x2]，所以[f ′2=4]，所以在点[P]处的切线方程为[l1:y-83=4x-2]，即[12x-3y-16][=0].
（2）当点[P]不是切点时，如下图，设切点坐标为[Mx0,y0]，则[y0=13x03，y0-83x0-2=x02，]
解得[x0=-1,y0=-13].
此时，过点[P]的切线方程为[l2:y-83=x-2,]即[3x-3y+2=0.]
当点[P]是切点时，切线为[l1].
综上，过点[P]的切线方程有[l1:12x-3y-16=0]和[l2:3x-3y+2=0]两条.
2. 函数的单调性与导数的取值符号
若函数在某个区间上满足[f ′x>0]（或[f ′x<0)]，则函数单调递增（或单调递减）；若函数在某个区间上
恒满足[f ′x=0,]则函数为常数函数. 若函数[y=fx]在某区间上是增函数（或是减函数），则函数[y=fx]在该区间上满足[f ′x≥0(或f ′x≤0)]. 函数的导数在该区间内有限个点处取到零，函数的单调性保持不变，因此导数值大于零（或小于零）是该函数单调递增（或单调递减）的充分不必要条件.
例2 已知函数[fx=2x-ax2+2(x∈R)]在区间[-1,1]上是增函数，求实数[a]的值所组成的集合[A].
解 [f ′x=-2x2-ax-2x2+22]，由函数[fx=][2x-ax2+2][(x∈R)]在区间[-1,1]上是增函数，知[f ′x≥0]对一切[x∈-1,1]恒成立，即不等式[x2-ax-2≤0]对一切[x∈-1,1]恒成立.
记[gx=x2-ax-2]，由以上分析，结合[gx]的图象得到[g1=1-a-2≤0,g-1=1+a-2≤0.]解得[-1≤a≤1].
验证：当[a=-1]时，只有[x=1]满足[f ′x=0]；当[a=1]时，只有[x=-1]满足[f ′x=0]. 所以[A=a|-1≤a≤1.]
3. [x0]为极值点与[f ′x0=0]的等价关系
在函数可导的条件下，[f ′x0=0]是[y=fx]在[x=x0]处有极值的必要不充分条件，只有当[f ′x]在[x=x0]左、右两侧的值为异号时，[x0]才能成为极值点；反过来，当[y=fx]在[x=x0]处有极值时，只有在该函数可导的条件下才有[f ′x0=0]，值得注意的是，也会有函数在[x=x0]处不可导，即[f ′x0]的值不存在的情况. 例如函数[y=x3]在[x=0]处导数等于零，但结合其图象知[x=0]不是极值点，其原因是左右导数都大于零（不异号）. 当函数不可导时则应另当别论，例如函数[y=x]在[x=0]处取最小值，但[f ′0]不存在.
例3 已知函数[fx=x3+ax2+bx+a2]在[x=1]处取极值10，求[fx].
解 依题意知，[f ′x=3x2+2ax+b]，所以有[f ′1=3+2a+b=0,f1=1+a+b+a2=10.]解得[a=4,b=-11与a=-3,b=3.]
验证：当[a=-3,b=3]时，[f ′x=3x2-6x+3][=3x-12≥0]，故[fx]在R上为增函数，所以[fx]在[x=1]处没有极值，应舍去.
综上可知[fx=x3+4x2-11x+16].
4. 函数的极值与最值
函数[y=fx]在[x=x0]处取得极大值（极小值）的条件是：该函数在[x=x0]处及其附近有定义，且对[x=x0]附近的所有[x]都有[fx
5. 函数的图象与其导函数的图象
解题过程中要分清函数的图象和导函数的图象，还要明确二者之间的关系：导数的正负号决定函数的单调性，导数的大小决定函数值增减的快慢，与函数值本身的大小无关；导数等于零的点可能成为极值点.
例4 下图是函数[y=fx]的导函数[y=f ′x]的图象，给出下列判断：
（1）函数[y=fx]的单调递增区间有[x1,x3,x5,b]；
（2）函数[y=fx]的单调递减区间有[x2,x4,x6,x7,x8,b]；
（3）函数[y=fx]在[x=x4,x=x7]处取到极小值；
（4）函数[y=fx]只在[x=x3]处取到极大值；
（5）函数[y=fx]在[x=a]处取得最小值[fa]，在[x=x6]处取得最大值[fx6]；
（6）函数[y=fx]在[x=x6]处有最快的增长率，即函数在该点处的切线斜率最大.
上述判断正确的是： .
解 判断正确的为（1）（4）（6）. 若将该图象看作是原函数的图象，很容易得出（2）（3）（5）也正确的错误结论.
6. 函数在区间[a,b]上具有单调性与函数的单调区间为[a,b]
函数在区间[a,b]上具有单调性表示区间[a,b]是该函数的单调区间的一个子集，在[y=fx]可导的条件下，该函数的导函数在区间[a,b]上的导数值[f ′x≥0(或f ′x≤0)]恒成立；而函数的单调区间为[a,b]表示[f ′x≥0(或f ′x≤0)]的解集为[a,b]，并且[x=a,x=b]是方程[f ′x=0]的两个根.
例5 （1）已知函数[y=x3-ax+2]的一个单调递增区间为[1,+∞]，求[a]的值；
（2）已知函数[y=x3-ax+2]在[1,+∞]上是增函数，求[a]的值.
解 [f ′x=3x2-a.]
（1）由该函数的一个单调递增区间为[1,+∞]可知，区间[1,+∞]是不等式[f ′x=3x2-a>0]的解集，且[x=1]是方程[3x2-a=0]的一个根，代入解得[a=3].
（2）由该函数在区间[1,+∞]上是增函数得，不等式[f ′x=3x2-a≥0]在[x∈1,+∞]上恒成立，进而解得[a≤3].
【练习】
1. 已知[a]为实数，若函数[f(x)=(x2+1)(x+a)]的图象有与[x]轴平行的切线，则[a]的取值范围为 .
2. 设[a∈R,]若函数[y=eax+3x][(x∈R)]有大于零的极值点，则（ ）
A. [a>-3] B. [a<-3]
C. [a>-13] D. [a<-13]
3. 若函数[f(x)=lnx-12ax2-2x]存在单调递减区间，则[a]的取值范围是 .
4. 设函数[fx=ax3-3x+1x∈R]，若对于任意的[x∈-1,1]都有[fx≥0]成立，则实数[a]的值为 .
5. 已知函数[fx=-x3+3x2+9x+m]，[gx=][x3-3a2x-2a]，函数[fx]在区间[-2,2]上的最大值为20.
（1）求实数[m]的值；
（2）是否存在实数[a]，使得对于任意的[x1∈-2,2]，总存在[x0∈0,1]，满足[gx0=fx1]？若存在，求出实数[a]的取值范围；若不存在，说明理由.
【参考答案】
1. [a∈-∞,-3⋃3,+∞]
2. B
3. [a∈-1,+∞]
4. [a=4]
5. （1）[m=-2] （2）不存在这样的实数[a].