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[摘 要] 从数学的角度欣赏了北宋学者欧阳修的名句“月上柳梢头，人约黄昏后”，并根据天文学的基本知识，建立数学模型，确定了2016年下半年广州地区“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。
[关 键 词] 月亮高度角；天赤道；黄道；白道；黄经
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2016）13-0044-01
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。本文将从数学的角度欣赏该名句，建立数学模型，用数学软件编程，分析2016年下半年广州地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。
一、天文学基本知识
由于本文涉及太阳、月亮的视运动规律，需要对基本的天文学知识有一个初步的了解，并理解其相应的含义。
（一）天赤道
将地球的赤道面无限延伸后和天球相交的大圆称为天赤道（或称为天球赤道、赤道）。
（二）黄道
将地球绕太阳公转的轨道平面与天球相交的大圆称为黄道。
（三）白道
月球绕地球公园的轨道称为白道，白道对黄道的倾角称为黄白交角。
（四）黄纬、黄经、赤纬、赤经之间的关系
黄纬是指天体在黄道坐标系中的纬度；黄经是指天体在黄道坐标系中的经度；赤纬是指天体在赤道坐标系的纬度；赤经是指天体在赤道坐标系中的经度。它们之间的换算公式如下：
sinδ=sinε·cosβ·sinλ+cosε·sinβ（1）
cosδ·cosα=cosβ·cosλ（2）
cosδ·sinα=-sinε·sinβ+cosε·cosβ·sinλ（3）
其中：λ为天体的黄经；β为天体的黄纬；α为天体的赤经；δ为天体的赤纬；ε为黄赤交角。
二、建模与求解
按照人们通常的理解，黄昏是指太阳落山后，且天还没有完全黑之前的一段时间。因为，我们定义黄昏为日落后30分钟。“柳梢头”的高度需要根据柳树自身的高度、人与柳树之间的距离来确定。因此，“柳梢头”定义为一个角度范围会更加合理一些。本文考虑“柳梢头”的月亮高度角在10度～40度之间。
由于黄昏与太阳高度角有关，日落即太阳高度角为零。“月上柳梢头”与月亮高度角有关，为简化计算，我们假定黄白交角为0，并且认为太阳上中天的时刻为正午12时。此时，太阳和月亮可以看成是在黄道上运行，所以太阳黄纬βs、月亮黄纬βm均为0度。则式（1）可以化简成：
太阳赤纬公式：sinδs=sinε·sinλs（4），其中：δs為太阳赤纬，λs为太阳黄经。
月亮赤纬公式：sinδm=sinε·sinλm（5），其中：δm为月亮赤纬，λm为月亮黄经。
记Dv=λm-λs（6）为日月黄经差，假定农历初一0时0分的日月黄经差为0度，那么通过月相我们可以得到日月黄经差的计算公式为：
Dv=360Dm/29.5306（7），其中：Dm为农历的日期。
由于λs为太阳黄经，所以在春分时刻λs=0，因此，它的值可由地球在黄道上的位置得到。因此可得到太阳黄经的计算公式：λs=360（Ds-80）/365.2422（8），其中：Ds为积日。因此，只要知道阳历和农历的日期，由式（6）和式（7），就可以计算出月亮的黄经λm，再由式（5）就可计算出月亮赤纬δm。
由空间几何知识可得，天体高度角公式为：sinh=sinΦ·sinδ+cosΦ·cosδ·cosω（9），其中，h为天体的高度角，Φ为观测者的地理纬度，δ为天体的赤纬，ω表示时角，以上中天时刻定义为0度。天体的出没时刻就是天体的高度角为0的时刻，即h=0。由式（9）得到：
cosω=-tanΦ·tanδ（10）。所以天体的出没时刻为：S=t±ω（11），其中：t为天体的上中天时刻，Sr=t-ω为天体出时刻，Ss=t+ω为天体没时刻。
由式（10）和式（11）就可计算出日落时刻，再加上30分钟就是黄昏时刻，由式（9），再给出月亮的高度角，即给出月上柳梢头的高度角，就可以计算出月上柳梢头的具体时刻了。
三、模型检验
在完成具体的计算之前，需要对模型的误差作检验，检验方法是与已公布的天文学资料[1]作对比。经过检验，发现月亮视黄经与实际理论值（所有理论值都是由文献[1]得到的）大约有6度左右的误差，而较为重要的太阳视赤纬和月亮视赤纬的误差较小；日出、日落时刻的误差也并不大，大约在15分钟以内。而月出、月落时刻的误差稍大，约有20分钟左右。因此前面给出的计算公式是可以使用的。
四、“月上柳梢头”时刻的计算
广州地区为北纬23.13度，东经113.27度，利用天体高度角公式（9），计算出黄昏和柳梢头的时刻如下表所示：
参考文献：
[1]中国科学院紫金山天文台.2010中国天文年历[M].北京：科学出版社，2009.
[2]姜启源.数学模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.
[关 键 词] 月亮高度角；天赤道；黄道；白道；黄经
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2016）13-0044-01
“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。本文将从数学的角度欣赏该名句，建立数学模型，用数学软件编程，分析2016年下半年广州地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。
一、天文学基本知识
由于本文涉及太阳、月亮的视运动规律，需要对基本的天文学知识有一个初步的了解，并理解其相应的含义。
（一）天赤道
将地球的赤道面无限延伸后和天球相交的大圆称为天赤道（或称为天球赤道、赤道）。
（二）黄道
将地球绕太阳公转的轨道平面与天球相交的大圆称为黄道。
（三）白道
月球绕地球公园的轨道称为白道，白道对黄道的倾角称为黄白交角。
（四）黄纬、黄经、赤纬、赤经之间的关系
黄纬是指天体在黄道坐标系中的纬度；黄经是指天体在黄道坐标系中的经度；赤纬是指天体在赤道坐标系的纬度；赤经是指天体在赤道坐标系中的经度。它们之间的换算公式如下：
sinδ=sinε·cosβ·sinλ+cosε·sinβ（1）
cosδ·cosα=cosβ·cosλ（2）
cosδ·sinα=-sinε·sinβ+cosε·cosβ·sinλ（3）
其中：λ为天体的黄经；β为天体的黄纬；α为天体的赤经；δ为天体的赤纬；ε为黄赤交角。
二、建模与求解
按照人们通常的理解，黄昏是指太阳落山后，且天还没有完全黑之前的一段时间。因为，我们定义黄昏为日落后30分钟。“柳梢头”的高度需要根据柳树自身的高度、人与柳树之间的距离来确定。因此，“柳梢头”定义为一个角度范围会更加合理一些。本文考虑“柳梢头”的月亮高度角在10度～40度之间。
由于黄昏与太阳高度角有关，日落即太阳高度角为零。“月上柳梢头”与月亮高度角有关，为简化计算，我们假定黄白交角为0，并且认为太阳上中天的时刻为正午12时。此时，太阳和月亮可以看成是在黄道上运行，所以太阳黄纬βs、月亮黄纬βm均为0度。则式（1）可以化简成：
太阳赤纬公式：sinδs=sinε·sinλs（4），其中：δs為太阳赤纬，λs为太阳黄经。
月亮赤纬公式：sinδm=sinε·sinλm（5），其中：δm为月亮赤纬，λm为月亮黄经。
记Dv=λm-λs（6）为日月黄经差，假定农历初一0时0分的日月黄经差为0度，那么通过月相我们可以得到日月黄经差的计算公式为：
Dv=360Dm/29.5306（7），其中：Dm为农历的日期。
由于λs为太阳黄经，所以在春分时刻λs=0，因此，它的值可由地球在黄道上的位置得到。因此可得到太阳黄经的计算公式：λs=360（Ds-80）/365.2422（8），其中：Ds为积日。因此，只要知道阳历和农历的日期，由式（6）和式（7），就可以计算出月亮的黄经λm，再由式（5）就可计算出月亮赤纬δm。
由空间几何知识可得，天体高度角公式为：sinh=sinΦ·sinδ+cosΦ·cosδ·cosω（9），其中，h为天体的高度角，Φ为观测者的地理纬度，δ为天体的赤纬，ω表示时角，以上中天时刻定义为0度。天体的出没时刻就是天体的高度角为0的时刻，即h=0。由式（9）得到：
cosω=-tanΦ·tanδ（10）。所以天体的出没时刻为：S=t±ω（11），其中：t为天体的上中天时刻，Sr=t-ω为天体出时刻，Ss=t+ω为天体没时刻。
由式（10）和式（11）就可计算出日落时刻，再加上30分钟就是黄昏时刻，由式（9），再给出月亮的高度角，即给出月上柳梢头的高度角，就可以计算出月上柳梢头的具体时刻了。
三、模型检验
在完成具体的计算之前，需要对模型的误差作检验，检验方法是与已公布的天文学资料[1]作对比。经过检验，发现月亮视黄经与实际理论值（所有理论值都是由文献[1]得到的）大约有6度左右的误差，而较为重要的太阳视赤纬和月亮视赤纬的误差较小；日出、日落时刻的误差也并不大，大约在15分钟以内。而月出、月落时刻的误差稍大，约有20分钟左右。因此前面给出的计算公式是可以使用的。
四、“月上柳梢头”时刻的计算
广州地区为北纬23.13度，东经113.27度，利用天体高度角公式（9），计算出黄昏和柳梢头的时刻如下表所示：
参考文献：
[1]中国科学院紫金山天文台.2010中国天文年历[M].北京：科学出版社，2009.
[2]姜启源.数学模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.