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在解决问题教学中，所谓“分析思维”是指为了求索问题的解答，对题中的未知量、已知数据及条件作严谨的逻辑推理的一种思维活动。“分析思维可视化”是指让原来隐晦的思维分析过程外显化，让学生在分析解答问题的过程中有迹可循。本文旨在通过巧设辅助题目，引发认知冲突;拟定解题方案，提炼思考路径;应用变式练习，巩固分析思路等途径，努力使藏在学生思维深处的、隐晦的分析思维外显化、可视化，帮助学生形成分析策略，提高解决问题的能力。
一、巧设辅助题目，引发认知冲突，突破学生解题思维定势
1.理解题意是分析问题的起点
分析问题必须建立在理解题目的基础上。题意理解有三个层次，第一层次：对语言陈述的理解。教师可通过引导学生复述题目的相关陈述检查学生是否达到该层次。第二层次：能指出题目的主要部分。教师可以通过以下的问题引导学生达到该层次的理解：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？第三层次：能多元表征、关联题目的主要部分。如画一幅与该题目有关的图，并标明未知量和已知数据。
在《归一问题》教学中，教师为了引导学生理解题意，在出示题目后问：“谁来读题？”在学生读完题目后，再问：“读完题后，你从题中获得了哪些相关的信息呢？”待学生说出“妈妈买了3个碗，用了18元，如果买8个碗，需要多少钱？”等信息后，教师再追问：“你认为要解决这样的问题，哪些信息显得特别重要？”学生说出了“3个、18元、8个……”。在学生初步理解题意的基础上，最后问：“你能用画图的方式把你对这道题的理解表示出来吗？”学生画图呈现题目的已知数据和未知量。
2.认知冲突是思维定势得以突破的着力点
心理学家皮亚杰在研究人类知识发生、发展过程中提出了“平衡”的概念，认为人类知识发展是一个“平衡——不平衡——平衡”的过程。当新的知识进入人脑时，就会使个体中原来平衡的状态变得不平衡，通过同化和顺应两种心理机制，逐步达到或维持平衡，进而获得新知识。学生在一、二年级所积累到的解决问题的经验是：从问题入手，借助数量关系从两个已知数量中便能求出题目所要求解的问题了。学生慢慢地形成了从条件入手分析求解问题的思维定势，在头脑中形成了一种稳定的平衡状态。而这种平衡状态与新课标解决问题目标中的“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性”的子目标相违背的，严重抑制学生解决问题能力的发展。为了冲破这种思维定势，需引入打破平衡状态的因子，引发认知冲突。
为了认知冲突的形成，教师在学生对题意充分解理的基础上问：那接下来我们应该从哪里入手呢？怎样列式去解答问题呢？学生思考后回答出：从条件入手，先算出1个碗要多少钱，列式18÷3=6（元），再求8个碗共多少钱，列式：6×8=48（元）。通过现场调查发现绝大部分同学都是这样的一种想法。教师点出了学生通常喜欢先从两个已知数量入手去求出所能解答的问题的思维定势，紧接着将原题“妈妈买3个碗用了18元，如果买8个同样的碗，需要多少钱？”改为“妈妈买3个碗用了18元，买5个杯子用了20元。如果买8个同样的杯子，需要多少钱？”问：面对此题目，你还是先列式18÷3=6（元），求出一个碗多少钱吗？学生理解题意后发现，此时不能先求一个碗的价钱。追问：在这为什么不先求一个碗的价钱了？因为一个碗的价钱并非求解原题问题所需要的条件，换言之，“买3个碗用了18元”与问题不匹配，是个多余的条件。追问：此时从哪里开始想会更快地找到有用的信息呢？学生顿时能说出从问题入手，体会到了从问题入手的优越性所在。
二、拟定解题方案，提炼思考路径，突显“分析法”解题思路可视化
在三层次引导对题意的理解的基础上，教师应给予学生足够的时间和空间自主分析解题思路，拟定解题方案。在解题方案拟定的过程中明析解题思路。回顾是“分析法”解题思路可视化及提炼思考路径的主阵地。回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，不仅能巩固知识，还能培养学生的解题能力，更重要的是回顾环节是“分析法”解题思路可视化不可错过的提炼时机。
为了帮助学生获得一个好的解题思路，教师在学生充分理解了题意后，通过问题：那接下来应该从哪里入手呢？该怎样想才能解答题目呢？学生在问题的引导下，深入分析解题思路，拟定了解题方案：根据条件“买3个碗用了18元”，先求出一个碗的价钱，再求8个碗的价钱。
在帮助学生拟定解题方案时，教师在精准预判学情的基础上，坚持“学生先行”原则，给予学生分析解题思路的时间和空间，学生也正按教师的预设拟定了“综合法”解题方案。教者通过变换原题，引发认知冲突，成功引发学生的另一个解题思路：“分析法”解题方案。在两种不同解题方案拟定的过程中，分析思路得以逐渐清晰化。而“分析法”的“问题——条件——未知条件——新的问题”循环往复的分析思路更是揭示了分析解题思路优越性的本质所在。回顾环节，教师带领学生重历“分析法”解决思路，在回顾分析思路的各个步骤过程中，通过同步板书的方式，使得“分析法”的分析思路露出真面目，实现了分析思路可视化。如下图：
三、应用变式练习，巩固分析思路，内化分析思维的可视性
这里的变式练习是指与例题具有相同数学模型、可采取相同的“分析法”解题思路解决问题的练习题目。知识技能的获得需要建立在理解的基础上，一种新的思维方式的习得更是需要理解，而迁移可以有效达成理解。迁移就是能够在新的情境下运用已学的东西。因此，变式练习是实现迁移、检验是否理解的有效载体。
例如：18元可以买3个碗，30元可以买几个同样的碗？教者问：你能用今天所学的思考导航图来分析本题的解题思路吗？学生四人小组讨论后汇报：从问题入手，本题目需要解决的问題是“30元可以买几个同样的碗？”;要解决这个问题需要的条件是“一个碗的价钱”和“买碗的总价”;这两个条件中已知的条件是“买碗的总价”，未知的条件是“一个碗的价钱”;一个碗的价钱未知，那它就变成了一个新的问题。要先解决了这个新问题，我们才可以去解决原题的问题。此时，又回到了刚才分析过程的起点。现在要解决的新问题是“一个碗多少钱”; 要解决这个问题需要的条件是“买碗的总价”和“共买几个碗”; 这两个条件中都是已知的：“买3个碗”和“用了18元”，这样便能求出“一个碗的价钱”， 进而解决“30元可以买几个同样的碗？” 的问题了。
像这样，从“买8个碗需要多少钱”到“30元可以买多少个碗”，只将未知量和已知数据中的一个进行互换，便形成了变式练习。放手让学生自主基于可视化的分析法解题思路进行思路分析，并依照“要求问题——所需条件——未知条件——新的问题”的分析方法表达分析过程，学生不仅能有效巩固分析路径、掌握分析技能，还能体会到这种分析路径具有一般性和优越性，强化了思维的可视性。
综上所述，对于“分析思维”可视化的思考与研究，我们坚持“思考——实践——再思考”的研究思路，力求在不同教学内容的“解决问题”教学中，探寻出一套能让“分析思维”可视化的教学策略。
责任编辑 韦英哲
一、巧设辅助题目，引发认知冲突，突破学生解题思维定势
1.理解题意是分析问题的起点
分析问题必须建立在理解题目的基础上。题意理解有三个层次，第一层次：对语言陈述的理解。教师可通过引导学生复述题目的相关陈述检查学生是否达到该层次。第二层次：能指出题目的主要部分。教师可以通过以下的问题引导学生达到该层次的理解：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？第三层次：能多元表征、关联题目的主要部分。如画一幅与该题目有关的图，并标明未知量和已知数据。
在《归一问题》教学中，教师为了引导学生理解题意，在出示题目后问：“谁来读题？”在学生读完题目后，再问：“读完题后，你从题中获得了哪些相关的信息呢？”待学生说出“妈妈买了3个碗，用了18元，如果买8个碗，需要多少钱？”等信息后，教师再追问：“你认为要解决这样的问题，哪些信息显得特别重要？”学生说出了“3个、18元、8个……”。在学生初步理解题意的基础上，最后问：“你能用画图的方式把你对这道题的理解表示出来吗？”学生画图呈现题目的已知数据和未知量。
2.认知冲突是思维定势得以突破的着力点
心理学家皮亚杰在研究人类知识发生、发展过程中提出了“平衡”的概念，认为人类知识发展是一个“平衡——不平衡——平衡”的过程。当新的知识进入人脑时，就会使个体中原来平衡的状态变得不平衡，通过同化和顺应两种心理机制，逐步达到或维持平衡，进而获得新知识。学生在一、二年级所积累到的解决问题的经验是：从问题入手，借助数量关系从两个已知数量中便能求出题目所要求解的问题了。学生慢慢地形成了从条件入手分析求解问题的思维定势，在头脑中形成了一种稳定的平衡状态。而这种平衡状态与新课标解决问题目标中的“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性”的子目标相违背的，严重抑制学生解决问题能力的发展。为了冲破这种思维定势，需引入打破平衡状态的因子，引发认知冲突。
为了认知冲突的形成，教师在学生对题意充分解理的基础上问：那接下来我们应该从哪里入手呢？怎样列式去解答问题呢？学生思考后回答出：从条件入手，先算出1个碗要多少钱，列式18÷3=6（元），再求8个碗共多少钱，列式：6×8=48（元）。通过现场调查发现绝大部分同学都是这样的一种想法。教师点出了学生通常喜欢先从两个已知数量入手去求出所能解答的问题的思维定势，紧接着将原题“妈妈买3个碗用了18元，如果买8个同样的碗，需要多少钱？”改为“妈妈买3个碗用了18元，买5个杯子用了20元。如果买8个同样的杯子，需要多少钱？”问：面对此题目，你还是先列式18÷3=6（元），求出一个碗多少钱吗？学生理解题意后发现，此时不能先求一个碗的价钱。追问：在这为什么不先求一个碗的价钱了？因为一个碗的价钱并非求解原题问题所需要的条件，换言之，“买3个碗用了18元”与问题不匹配，是个多余的条件。追问：此时从哪里开始想会更快地找到有用的信息呢？学生顿时能说出从问题入手，体会到了从问题入手的优越性所在。
二、拟定解题方案，提炼思考路径，突显“分析法”解题思路可视化
在三层次引导对题意的理解的基础上，教师应给予学生足够的时间和空间自主分析解题思路，拟定解题方案。在解题方案拟定的过程中明析解题思路。回顾是“分析法”解题思路可视化及提炼思考路径的主阵地。回顾完整的解答，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，不仅能巩固知识，还能培养学生的解题能力，更重要的是回顾环节是“分析法”解题思路可视化不可错过的提炼时机。
为了帮助学生获得一个好的解题思路，教师在学生充分理解了题意后，通过问题：那接下来应该从哪里入手呢？该怎样想才能解答题目呢？学生在问题的引导下，深入分析解题思路，拟定了解题方案：根据条件“买3个碗用了18元”，先求出一个碗的价钱，再求8个碗的价钱。
在帮助学生拟定解题方案时，教师在精准预判学情的基础上，坚持“学生先行”原则，给予学生分析解题思路的时间和空间，学生也正按教师的预设拟定了“综合法”解题方案。教者通过变换原题，引发认知冲突，成功引发学生的另一个解题思路：“分析法”解题方案。在两种不同解题方案拟定的过程中，分析思路得以逐渐清晰化。而“分析法”的“问题——条件——未知条件——新的问题”循环往复的分析思路更是揭示了分析解题思路优越性的本质所在。回顾环节，教师带领学生重历“分析法”解决思路，在回顾分析思路的各个步骤过程中，通过同步板书的方式，使得“分析法”的分析思路露出真面目，实现了分析思路可视化。如下图：
三、应用变式练习，巩固分析思路，内化分析思维的可视性
这里的变式练习是指与例题具有相同数学模型、可采取相同的“分析法”解题思路解决问题的练习题目。知识技能的获得需要建立在理解的基础上，一种新的思维方式的习得更是需要理解，而迁移可以有效达成理解。迁移就是能够在新的情境下运用已学的东西。因此，变式练习是实现迁移、检验是否理解的有效载体。
例如：18元可以买3个碗，30元可以买几个同样的碗？教者问：你能用今天所学的思考导航图来分析本题的解题思路吗？学生四人小组讨论后汇报：从问题入手，本题目需要解决的问題是“30元可以买几个同样的碗？”;要解决这个问题需要的条件是“一个碗的价钱”和“买碗的总价”;这两个条件中已知的条件是“买碗的总价”，未知的条件是“一个碗的价钱”;一个碗的价钱未知，那它就变成了一个新的问题。要先解决了这个新问题，我们才可以去解决原题的问题。此时，又回到了刚才分析过程的起点。现在要解决的新问题是“一个碗多少钱”; 要解决这个问题需要的条件是“买碗的总价”和“共买几个碗”; 这两个条件中都是已知的：“买3个碗”和“用了18元”，这样便能求出“一个碗的价钱”， 进而解决“30元可以买几个同样的碗？” 的问题了。
像这样，从“买8个碗需要多少钱”到“30元可以买多少个碗”，只将未知量和已知数据中的一个进行互换，便形成了变式练习。放手让学生自主基于可视化的分析法解题思路进行思路分析，并依照“要求问题——所需条件——未知条件——新的问题”的分析方法表达分析过程，学生不仅能有效巩固分析路径、掌握分析技能，还能体会到这种分析路径具有一般性和优越性，强化了思维的可视性。
综上所述，对于“分析思维”可视化的思考与研究，我们坚持“思考——实践——再思考”的研究思路，力求在不同教学内容的“解决问题”教学中，探寻出一套能让“分析思维”可视化的教学策略。
责任编辑 韦英哲