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摘 要：七巧板是中国人很早就发明出来的一种益智游戏，它巧妙地将几何图形融入游戏中，体现了中国古人的智慧。将数学史融入数学教学，让学生通过对七巧板数学史知识的重构，了解“七巧板拼图”体现的古人“出入相补”“数形结合”的思想，并且融入“分类讨论”的方法，使得“七巧板”中的教学手段更加丰富，更加具有数学的味道——“巧中生变，巧中取智”。
关键词：数学史;七巧板;HPM;出入相补;数形结合;分类讨论
一、 引言
七巧板是中国人很早就发明出来的一种益智游戏，它巧妙地将几何图形融入游戏中，体现了中国古人的智慧。沪教版初中数学七年级下册的探究活动一中就有“七巧板问题”探究内容，目的是将数学史融入数学教学中，不仅提升学生的兴趣，而且使学生对“出入相补”原理有初步认识。但由于受到教材编排的顺序以及教材的侧重点、学生空间想象思维的限制，初中学生对“出入相补”原理并不是很熟悉。笔者通过教材“七巧板问题”探究活动的内容，以趣味性、科学性、可学性、有效性和新颖性五项原则为指导，对历史材料进行了选择和重构加工，开设了一节拓展课。这节课力求使学生了解“七巧板中的拼图问题”不仅是各种有趣的拼图，而且还体现古人“出入相补”原理以及“数形结合”的思想，并融入“分类讨论”的方法，使得“七巧板”中的教学手段更加丰富，更加具有数学的味道，从而发展学生的思维能力。
二、历史素材的选择与重构
七巧图的起源尚无定说，它的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中就有3人拼成三角形的记载。七巧板在国外被称为“唐图”（Tangram），意思是来自中国的拼图。宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。可以确信的是，七巧图及与它类似的游戏燕几图、蝶几图或益智图，在明清两代曾于民间广为流行。清道光咸丰年间陆以濄（1801—1865年）在《冷泸杂记》中记载：“宋黄伯思燕几圃，以方几七，长短相参。衍为二十五体， 变为六十八名。明俨征蝶几冈，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅。其式三，其式六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余。近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。体物肖形，随手变幻。盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜之。”
这基本说明了其渊源，即宋代的燕几图到明代发展为蝶几图，到清初再演变成七巧图。清康熙年间刘献庭在《广阳鸡记》中记述，他看到十三只拼板图所拼成的图形颇似蝶几图，但其记述十三块板或长方，或半长方，或锐角，或钝角，则又不似蝶几，然而这已是类似于七巧板（见图1）的拼板游戏了。明末清初，皇宫中的人还经常用它来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板，苏州拙政园中还保留着七巧板图案的清代家具。
七巧板后来传往欧洲，至今风靡不衰。1978年荷兰人Joosf Elffers编写了一本有关七巧板的书，1818年德国和美国都出版了关于七巧板的书，意大利出版的书中还介绍了中国七巧板的历史。
实际上欧洲早就有了比七巧板更为复杂的拼图游戏——阿基米德的十四巧板（见图2）。古希腊人阿基米德最为珍贵的是两篇著作，即《方法论》和《十四巧板》，这是1998年在“阿基米德羊皮书”中整理发现的。据研究，十四巧板共有536种不同的拼成正方形的拼法，也有一说是17152种不同拼法。
这些历史素材使得七巧板的整个脉络清晰起来，可以引发学生的兴趣，但是课堂教学毕竟时间有限，无法详细阐述，而且有些素材与本节课的主旨——研究“出入相补”和“数形结合”思想并不十分契合。因此在选材的时候重点考虑本节课的教学目标来加以取舍，以达到更好的效果：
1.通过探究活动，认识到拼图问题实质是需要分清、剖析组成图形的边、角、周长及面积要素之间的关系;
2.知道古人是如何通过七巧板甚至十四巧板将几何融入游戏、融入生活的，体会“出入相补”原理和“数形结合”思想;
3.在探究中結合分类讨论的思想，提升学生分析问题、解决问题的能力。
因此，最后重构时决定录制一个2分钟左右的短视频——“七巧板的来历”，介绍七巧板最初的燕几图、后续发展的蝶几图、拙政园的清代七巧板家具、变化多端的七巧板拼图以及阿基米德的十四巧板等内容。
三、教学设计与实施
1教材与学情分析
单纯用七巧板拼出不同的图案，只是小学数学对学生直观感受出图形与几何的关系、感受几何图形的变化和美感的要求。而到了初中阶段，就要求学生具有“数形结合”的能力，要求学生能根据“出入相补”的原理来解释和进一步理解乘法公式的内涵。
本节内容是沪教版七年级第二学期第十四章《三角形》中的探究活动一，是在学生学习了三角形有关概念和性质的基础上的探究活动。教材以活动课的形式设计，引导学生通过对七巧板中蕴含的各种不同的图形构造，进行各种拼图游戏，充分调动学生学习的积极性，发挥学生丰富的空间想象力，倡导合作交流的学习气氛。
（1）七年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的时期，在学习了六年级的代数式、方程（组）、不等式（组）以及七年级上学期整式的乘法公式之后，学生已经初步具备用字母表示数的观念和能力，也初步具有运用“出入相补”原理来解释整式的乘法公式的能力。
（2） 沪教版七年级上学期教材第九章拓展活动一的设计过程中强调问题情境创设的直观性以及情境的趣味性，借助七巧板拼摆可以引发这个时期学生对几何学习的积极性，并深入思考其中图形的内在联系。
（3）七年级学生的抽象思维能力还较弱，空间观念有待发展。教师在进行七巧板的拼摆及教学活动时，应让学生在充分观察实物模型的基础上感知图形，并多提供机会，让他们在主动参与、勤于动手中自主创造、交互学习，从而乐于探究。 2新课引入
设问1：七巧板由几个图形组成？分别是什么样的图形呢？
通过观察，学生能很快地正确回答。教师引导大家观察两个最小块，它们形状和大小完全一致，这与我们目前学习的“全等三角形”知识点联系了起来。
设问2：“七巧板”的七个图形各个内角分别是多少度？假设“七巧板”中最小一块直角三角形的直角边长为1，那么它的斜边与直角边有何关系？
关于边长和角度，七巧板中的角度只有三种，分别为45°、90°、135°，这可以把最小的两块等腰直角三角形用不同的拼接方式得到，通过两种不同的重叠直角边和一种重叠斜边而形成了三种不同的图形：等腰直角三角形、正方形、平行四边形。同时引导学生观察两组图形中的面积刚好是2倍的关系，这样可为后面研究等腰直角三角形的斜边和直角边的关系奠定很好的基础。通过后续调查，以前玩过七巧板的很多学生并没有细想七巧板中图形的边与角的关系，只是凭直觉想象进行拼图。而通过这两个问题的提问，以及对“七巧板”中图形的观察和探究，学生认识到，几何拼图需要分清图形之间的边、角、面积等要素的关系，而且初步意识到可以从面积的角度来分析“七巧板拼图问题”。
3问题探究
（1）拼大号三角形
问题1：在一套“七巧板”中中号图形能由小号图形组合得到，那么大号图形可以吗？
针对这个问题，有些学生从直观的想象中，比较容易地回答出其中的两种（见图3），却遗漏了第三种拼法（见图4）。这时，教师通过引入部分面积的铺垫，引导大家思考：
假如最小的等腰直角三角形的直角边为1，则其面积为12，因此中号的三角形、正方形、平行四边形的面积则为1，大号等腰直角三角形就是2了。那么我们发现图3中的拼法从面积角度就是12+12+1=2，其中两个面积为12的小三角形都用了，面积为1的中号图形中分别用了等腰直角三角形和正方形，那么这两个图形可以用另一个面积为1的平行四边形来代替吗？
经过尝试发现，学生很快地拼出了图4的拼法，而且考虑到大号三角形的面积为2的拆分，以及一套七巧板的限制，只有这三种构成大号三角形的方法了。因此，很自然地将7块七巧板按照面积分成三类：面积是12的两小块小号等腰直角三角形，面积是1的三块中号图形（分别为等腰直角三角形、正方形、平行四边形），面积为2的两块大号等腰直角三角形。
（2）4块巧板拼正方形
问题2：你能用七巧板中的4块拼出正方形吗？你是如何分类的？也就是分类的标准是什么？
有了上述面积的数和拆分以及分类的基础，接下来学生明显不是盲目地拼图，而是有意识地考虑：
4块的正方形的面积应该是4，一是因为4是平方数，这时它的边长为2;二是因为7块七巧板的面积总和为8，不会再出现其他的类型。因此考虑数和4的拆分，拆成4个数（可从2个2，3个1，2个12中选择）相加，于是比较顺利地得出4=2+1+12+12的唯一拆分方法，而其中的面积为1的图形同样如问题1中那样，可以分别用三种不同的图形去尝试，最后得出三种拼图（见图5）。
同时结合以上分析得出分类标准：从面积的角度考虑，用数和的拆分来分类讨论，而在标准制订好之后，分类讨论的要求不重复、不遗漏。
（3）5块巧板、7块巧板拼正方形
问题3：你能用七巧板中的5块拼出正方形吗？能用所有7块拼出正方形吗？在以上拼图过程中运用到什么原理？
用5块巧板拼出正方形是比较有难度的，让人意想不到的是，由于前面关于面积的数和拆分的分类讨论的讲解，课堂上很快就有学生能拼出来，回答也非常准确：由于5块拼出正方形，面积应该还是4，边长为2，考虑数和5的拆分，只可能是将问题2中的4=2+1+12+12拆分中的2再拆成两个1相加，即4=1+1+1+12+12，也就是3块中号图形和2块小号三角形都要用上，考虑到边和角的拼接，最后拼出了图形（见图6）。由于小时候都接触过七巧板，加上本节课的介绍，用7块七巧板也顺利拼出正方形（见图7）。
像上面的將几个图形经过拼接形成新的图形的方法，称为割补法。在课堂上，许多学生对这个概念都有印象，但是它实际上是运用到“出入相补”的原理，这个说法学生却显得有点陌生。虽然“出入相补”原理在七年级上学期整式的乘法和乘法公式中已经有过介绍和应用，但学生对它的印象却并不深刻，在课后的学生问卷调查中，其中有一个问题是“本节课蕴含了哪些数学思想？”在全部47份问卷中只有4位学生回答了“出入相补”原理。
针对这种缺失，笔者在课堂针对性地设计“七巧板的拼图问题”教学，渗透“出入相补”原理于教学中，继续探究下面几个问题。
（4）七巧板拼平方差公式
问题4：我们学习过平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）。你能用七巧板中的几块拼出这个公式吗？
教师刚开始提出这个问题时大家有点懵：“七巧板还能表示平方差公式？”大多数学生之前都没有考虑过。教师适当地指出，可以用问题3中5块巧板拼出的正方形来试一试的时候，再结合图形的面积考虑，大家的思路一下子就开阔了。
生：我们可以把a2-b2看作是两个边长为a和b的正方形的面积之差，就如问题3中，把那块小的边长为b的正方形去掉，再重新组合成一个长方形，这个长方形的长是a+b，宽是a-b，这样就可以说明平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）（见图8）。
生：也可以把剩下的两个直角梯形的高重叠在一起，构成一个等腰梯形，上底是2a，下底是2b，高是a-b，也能得到平方差公式。
生：还可以把它转一下，仍然是重叠高，但是得到的是平行四边形，底和高分别是a+b与a-b，还是得到平方差公式。
经过学生热烈的发言，笔者进一步指明，图8的第三种方法就是三国时期的赵爽用来说明平方差公式的方法，我们的想法和古人的想法是如此相似，并且创新出更多的方案。 （5）七巧板拼完全平方公式
问题5：我们学习过完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。 你能利用两套七巧板中的几块拼出这个公式吗？
对于完全平方公式的拼法，由于涉及要在大正方形中分出一个小正方形、一个中正方形以及两个全等的长方形，因此用一套七巧板是不夠的。而利用两套七巧板时，还是要注意到面积，由于7块巧板的面积之和是8，而9是平方数，可以作为边长为3的正方形的面积，这样只要再加上两块面积是12的小三角形，就可以用图9的方式表达出来。
（6）七巧板拼等腰梯形和直角梯形
问题6是一道思考题：你能用7块七巧板拼出一个等腰梯形吗？或是直角梯形呢？这样拼图的原理是什么？
原理还是“出入相补”，同时考虑到面积的数和拆分。七块图形的总面积为8，并且考虑到七巧板的各个图形的内角只有3种：45°，90°，135°。因此等腰梯形可以考虑S=（2+6）×2÷2=8;直角梯形可以考虑S=（3+5）×2÷2=8（见图10）。
学生通过体会“出入相补”的原理，并且动手实践，拼出各种符合要求的图形，不仅提升了兴趣，更进一步挖掘了“七巧板拼图问题”中所包含的“数形结合”“分类讨论”思想，提升其总结和归纳的能力。
四、数学史融入数学教学的学生评价
1教学体现数学知识之谐、方法之美
从知识技能来说，数学史融入数学教学（HPM）有助于学生理解数学符号、术语、计算方法、表征方式、数学语言的演进过程，体现HPM的知识之谐、方法之美，从而更好地理解数学。
课前，教师对全班47名学生进行了前测调查，其中有一个问题：“我们学习过平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b），你能用图形的割补来表示这个公式吗？请画出你知道的方式（有几种画几种）。”结果不尽如人意：只有一人画出三种方式，35人只能画出图8中第三种拼图方式，没有人画出图8中的第二种拼图方式。
本节课后，教师对学生做了后测，其中的问题4“本节课你学会了哪些平方差公式的几何图形表示？请画出（有几种画几种）”。有16人能正确画出三种表示方式，有4人能画出两种方式，还有16人能准确地画出一种方式。这说明学生对本节课利用图形的方式表示乘法公式的印象非常深刻，并对运用“出入相补”原理来构造平方差等乘法公式有了更好的理解。
本节课“分类讨论”和“数形结合”的数学思想的渗透也十分有效。在后测的问题“简要介绍一下七巧板的组成以及它们之间的面积关系”中，大多数学生能正确说出七巧板的组成以及按照面积进行分类。对于问题“用4块拼正方形，有几种拼法，为什么？”大多数学生都正确地说出用面积来进行数和的拆分，即4=2+1+12+12，因此用4块巧板可以有3种方法来拼出正方形。在“本节课蕴含了哪些数学思想”问题中，大多数学生回答了“分类讨论”“数形结合”，有少数学生还回答出“出入相补”“等积变形”“探究与实践”“复制、平移、翻折等图形运动”等，这说明学生对“分类讨论”和“数形结合”思想有了更深入的理解。
2教学促进了思考，体现探究之乐
从过程和方法来看，HPM教学不仅为学生提供了探究机会，更多的是经过古今对比，拓宽了思维，促进了思考，体现了HPM的探究之乐。
对于后测的问题：“用5块拼正方形，你是如何考虑的？随意尝试还是用面积关系？”学生大都回答从面积的角度来考虑：“一开始是随便尝试，后来学会了用面积来进行数和的拆分。”
问题“小学或者幼儿园时，你玩过七巧板吗？你觉得本节课中你对七巧板有哪些新的认识？”只有8位学生表示没有玩过，而通过本节课的学习，学生对七巧板这种游戏也有了新的认识：
学会了通过七巧板的面积来解决代数问题;
将数与形结合起来研究问题;
七巧板不仅可以用来玩，还可以用来解决数学题，用另一种思考方式来解决问题;
在拼的过程中，其中蕴含许多数学原理;
七巧板是古人智慧的结晶;
了解了七巧板的历史以及运用;
不只是拼小人，还可以用来推演几何;
原来七巧板问题如此复杂多样，可能性很多;
七巧板不只是瞎拼乱凑;
七巧板以前对我而言是拼出花鸟鱼虫的玩具，现在我发现它也是一种解释说明数学公式的好方法。
3教学能激发学习兴趣，体现文化之魅、德育之效
在情感、态度和价值观上，HPM教学经过教师的加工重构后，使得学生能重新经历数学史中知识的发展迁移过程，从新角度来审视过程中的合理性，不断提出新的问题，分析问题，解决问题，从而激发学生的学习兴趣，也体现了HPM的文化之魅和德育之效。
在“谈谈你对本节课的感想”中，学生的回答就能说明HPM的有效性：
学习方法十分新颖，运用不同的视角学习数学;
寓教于乐，有动手的机会;
运用图形具象化题目是很好的方法，让我获益匪浅;
懂得了七巧板的奥秘，了解了中国古人的智慧;
老师讲得有声有色，我学会了不少新知识，其实笛卡尔应该是数形结合的始祖，能运用图形解释公式真的十分奥妙;
巧妙地用七巧板勾起了学生对数学的兴趣;
生活中蕴含着许多数学原理，我们需要去发现它们;
有趣，有互动，浅显易懂，方法新;
增强了我的思维能力，能用不同的标准来分类讨论;
学会了很多教材上没有的知识。
结合本节课，学生对“分类讨论”的思想和用图形来表示公式的“出入相补”原理都有更深的理解，达成了“知识与技能”的目标;而“过程与方法”则更是在深入思考的前提下给予学生动手实践的机会，不仅让学生体会到七巧板中古人的智慧，更是从另一个角度来重构七巧板的功能，培养学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力; 本节课中对七巧板的全新解构，让学生认识到数学来源于生活，与生活息息相关，而不是一些冰冷的符号、公式、运算，使得数学更具有亲和力，让学生逐步喜欢上数学，这些都是“情感态度与价值观”目标实现的标志。 总之，在HPM教学设计中，教师可以充分挖掘和拓展教材，对数学史的材料进行重构，使得数学史知识、数学史教育在课堂上发挥更大的价值。
参考文献：
[1] 汪晓勤.HPM 的若干研究与展望[J].中学数学月刊，2012，（2）.
[2] 李玲，顾海萍.“平方差公式”：以多种方式融入数学史[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014，（11）.
[3] 李溢.“有趣的七巧板”教学案例[J].数学教学， 2015，（2）.
[4] 赵锋.“有趣的七巧板”教学设计[J]. 初中数学教与学，2012，（7）.
[5] 汪晓勤.数学史与数学教育[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014，（1）.
[6] 汪晓勤，张安静.平方差公式的历史[J].中学数学教学参考（中旬），2010，（11）.
[7] 赵爽.《周髀算经》郭书春注[A].中国科学技术典籍通汇·数学卷（一）[C].郑 州：河南教育出版社，1994.
[8] 汪晓勤. HPM：数学史与数学教育 [M].北京：科学出版社，2017.
[9] 汪晓勤. 数学文化透视[M].上海：上海科学技术出版社，2013.
关键词：数学史;七巧板;HPM;出入相补;数形结合;分类讨论
一、 引言
七巧板是中国人很早就发明出来的一种益智游戏，它巧妙地将几何图形融入游戏中，体现了中国古人的智慧。沪教版初中数学七年级下册的探究活动一中就有“七巧板问题”探究内容，目的是将数学史融入数学教学中，不仅提升学生的兴趣，而且使学生对“出入相补”原理有初步认识。但由于受到教材编排的顺序以及教材的侧重点、学生空间想象思维的限制，初中学生对“出入相补”原理并不是很熟悉。笔者通过教材“七巧板问题”探究活动的内容，以趣味性、科学性、可学性、有效性和新颖性五项原则为指导，对历史材料进行了选择和重构加工，开设了一节拓展课。这节课力求使学生了解“七巧板中的拼图问题”不仅是各种有趣的拼图，而且还体现古人“出入相补”原理以及“数形结合”的思想，并融入“分类讨论”的方法，使得“七巧板”中的教学手段更加丰富，更加具有数学的味道，从而发展学生的思维能力。
二、历史素材的选择与重构
七巧图的起源尚无定说，它的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中就有3人拼成三角形的记载。七巧板在国外被称为“唐图”（Tangram），意思是来自中国的拼图。宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。可以确信的是，七巧图及与它类似的游戏燕几图、蝶几图或益智图，在明清两代曾于民间广为流行。清道光咸丰年间陆以濄（1801—1865年）在《冷泸杂记》中记载：“宋黄伯思燕几圃，以方几七，长短相参。衍为二十五体， 变为六十八名。明俨征蝶几冈，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅。其式三，其式六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余。近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余。体物肖形，随手变幻。盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜之。”
这基本说明了其渊源，即宋代的燕几图到明代发展为蝶几图，到清初再演变成七巧图。清康熙年间刘献庭在《广阳鸡记》中记述，他看到十三只拼板图所拼成的图形颇似蝶几图，但其记述十三块板或长方，或半长方，或锐角，或钝角，则又不似蝶几，然而这已是类似于七巧板（见图1）的拼板游戏了。明末清初，皇宫中的人还经常用它来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板，苏州拙政园中还保留着七巧板图案的清代家具。
七巧板后来传往欧洲，至今风靡不衰。1978年荷兰人Joosf Elffers编写了一本有关七巧板的书，1818年德国和美国都出版了关于七巧板的书，意大利出版的书中还介绍了中国七巧板的历史。
实际上欧洲早就有了比七巧板更为复杂的拼图游戏——阿基米德的十四巧板（见图2）。古希腊人阿基米德最为珍贵的是两篇著作，即《方法论》和《十四巧板》，这是1998年在“阿基米德羊皮书”中整理发现的。据研究，十四巧板共有536种不同的拼成正方形的拼法，也有一说是17152种不同拼法。
这些历史素材使得七巧板的整个脉络清晰起来，可以引发学生的兴趣，但是课堂教学毕竟时间有限，无法详细阐述，而且有些素材与本节课的主旨——研究“出入相补”和“数形结合”思想并不十分契合。因此在选材的时候重点考虑本节课的教学目标来加以取舍，以达到更好的效果：
1.通过探究活动，认识到拼图问题实质是需要分清、剖析组成图形的边、角、周长及面积要素之间的关系;
2.知道古人是如何通过七巧板甚至十四巧板将几何融入游戏、融入生活的，体会“出入相补”原理和“数形结合”思想;
3.在探究中結合分类讨论的思想，提升学生分析问题、解决问题的能力。
因此，最后重构时决定录制一个2分钟左右的短视频——“七巧板的来历”，介绍七巧板最初的燕几图、后续发展的蝶几图、拙政园的清代七巧板家具、变化多端的七巧板拼图以及阿基米德的十四巧板等内容。
三、教学设计与实施
1教材与学情分析
单纯用七巧板拼出不同的图案，只是小学数学对学生直观感受出图形与几何的关系、感受几何图形的变化和美感的要求。而到了初中阶段，就要求学生具有“数形结合”的能力，要求学生能根据“出入相补”的原理来解释和进一步理解乘法公式的内涵。
本节内容是沪教版七年级第二学期第十四章《三角形》中的探究活动一，是在学生学习了三角形有关概念和性质的基础上的探究活动。教材以活动课的形式设计，引导学生通过对七巧板中蕴含的各种不同的图形构造，进行各种拼图游戏，充分调动学生学习的积极性，发挥学生丰富的空间想象力，倡导合作交流的学习气氛。
（1）七年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的时期，在学习了六年级的代数式、方程（组）、不等式（组）以及七年级上学期整式的乘法公式之后，学生已经初步具备用字母表示数的观念和能力，也初步具有运用“出入相补”原理来解释整式的乘法公式的能力。
（2） 沪教版七年级上学期教材第九章拓展活动一的设计过程中强调问题情境创设的直观性以及情境的趣味性，借助七巧板拼摆可以引发这个时期学生对几何学习的积极性，并深入思考其中图形的内在联系。
（3）七年级学生的抽象思维能力还较弱，空间观念有待发展。教师在进行七巧板的拼摆及教学活动时，应让学生在充分观察实物模型的基础上感知图形，并多提供机会，让他们在主动参与、勤于动手中自主创造、交互学习，从而乐于探究。 2新课引入
设问1：七巧板由几个图形组成？分别是什么样的图形呢？
通过观察，学生能很快地正确回答。教师引导大家观察两个最小块，它们形状和大小完全一致，这与我们目前学习的“全等三角形”知识点联系了起来。
设问2：“七巧板”的七个图形各个内角分别是多少度？假设“七巧板”中最小一块直角三角形的直角边长为1，那么它的斜边与直角边有何关系？
关于边长和角度，七巧板中的角度只有三种，分别为45°、90°、135°，这可以把最小的两块等腰直角三角形用不同的拼接方式得到，通过两种不同的重叠直角边和一种重叠斜边而形成了三种不同的图形：等腰直角三角形、正方形、平行四边形。同时引导学生观察两组图形中的面积刚好是2倍的关系，这样可为后面研究等腰直角三角形的斜边和直角边的关系奠定很好的基础。通过后续调查，以前玩过七巧板的很多学生并没有细想七巧板中图形的边与角的关系，只是凭直觉想象进行拼图。而通过这两个问题的提问，以及对“七巧板”中图形的观察和探究，学生认识到，几何拼图需要分清图形之间的边、角、面积等要素的关系，而且初步意识到可以从面积的角度来分析“七巧板拼图问题”。
3问题探究
（1）拼大号三角形
问题1：在一套“七巧板”中中号图形能由小号图形组合得到，那么大号图形可以吗？
针对这个问题，有些学生从直观的想象中，比较容易地回答出其中的两种（见图3），却遗漏了第三种拼法（见图4）。这时，教师通过引入部分面积的铺垫，引导大家思考：
假如最小的等腰直角三角形的直角边为1，则其面积为12，因此中号的三角形、正方形、平行四边形的面积则为1，大号等腰直角三角形就是2了。那么我们发现图3中的拼法从面积角度就是12+12+1=2，其中两个面积为12的小三角形都用了，面积为1的中号图形中分别用了等腰直角三角形和正方形，那么这两个图形可以用另一个面积为1的平行四边形来代替吗？
经过尝试发现，学生很快地拼出了图4的拼法，而且考虑到大号三角形的面积为2的拆分，以及一套七巧板的限制，只有这三种构成大号三角形的方法了。因此，很自然地将7块七巧板按照面积分成三类：面积是12的两小块小号等腰直角三角形，面积是1的三块中号图形（分别为等腰直角三角形、正方形、平行四边形），面积为2的两块大号等腰直角三角形。
（2）4块巧板拼正方形
问题2：你能用七巧板中的4块拼出正方形吗？你是如何分类的？也就是分类的标准是什么？
有了上述面积的数和拆分以及分类的基础，接下来学生明显不是盲目地拼图，而是有意识地考虑：
4块的正方形的面积应该是4，一是因为4是平方数，这时它的边长为2;二是因为7块七巧板的面积总和为8，不会再出现其他的类型。因此考虑数和4的拆分，拆成4个数（可从2个2，3个1，2个12中选择）相加，于是比较顺利地得出4=2+1+12+12的唯一拆分方法，而其中的面积为1的图形同样如问题1中那样，可以分别用三种不同的图形去尝试，最后得出三种拼图（见图5）。
同时结合以上分析得出分类标准：从面积的角度考虑，用数和的拆分来分类讨论，而在标准制订好之后，分类讨论的要求不重复、不遗漏。
（3）5块巧板、7块巧板拼正方形
问题3：你能用七巧板中的5块拼出正方形吗？能用所有7块拼出正方形吗？在以上拼图过程中运用到什么原理？
用5块巧板拼出正方形是比较有难度的，让人意想不到的是，由于前面关于面积的数和拆分的分类讨论的讲解，课堂上很快就有学生能拼出来，回答也非常准确：由于5块拼出正方形，面积应该还是4，边长为2，考虑数和5的拆分，只可能是将问题2中的4=2+1+12+12拆分中的2再拆成两个1相加，即4=1+1+1+12+12，也就是3块中号图形和2块小号三角形都要用上，考虑到边和角的拼接，最后拼出了图形（见图6）。由于小时候都接触过七巧板，加上本节课的介绍，用7块七巧板也顺利拼出正方形（见图7）。
像上面的將几个图形经过拼接形成新的图形的方法，称为割补法。在课堂上，许多学生对这个概念都有印象，但是它实际上是运用到“出入相补”的原理，这个说法学生却显得有点陌生。虽然“出入相补”原理在七年级上学期整式的乘法和乘法公式中已经有过介绍和应用，但学生对它的印象却并不深刻，在课后的学生问卷调查中，其中有一个问题是“本节课蕴含了哪些数学思想？”在全部47份问卷中只有4位学生回答了“出入相补”原理。
针对这种缺失，笔者在课堂针对性地设计“七巧板的拼图问题”教学，渗透“出入相补”原理于教学中，继续探究下面几个问题。
（4）七巧板拼平方差公式
问题4：我们学习过平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）。你能用七巧板中的几块拼出这个公式吗？
教师刚开始提出这个问题时大家有点懵：“七巧板还能表示平方差公式？”大多数学生之前都没有考虑过。教师适当地指出，可以用问题3中5块巧板拼出的正方形来试一试的时候，再结合图形的面积考虑，大家的思路一下子就开阔了。
生：我们可以把a2-b2看作是两个边长为a和b的正方形的面积之差，就如问题3中，把那块小的边长为b的正方形去掉，再重新组合成一个长方形，这个长方形的长是a+b，宽是a-b，这样就可以说明平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b）（见图8）。
生：也可以把剩下的两个直角梯形的高重叠在一起，构成一个等腰梯形，上底是2a，下底是2b，高是a-b，也能得到平方差公式。
生：还可以把它转一下，仍然是重叠高，但是得到的是平行四边形，底和高分别是a+b与a-b，还是得到平方差公式。
经过学生热烈的发言，笔者进一步指明，图8的第三种方法就是三国时期的赵爽用来说明平方差公式的方法，我们的想法和古人的想法是如此相似，并且创新出更多的方案。 （5）七巧板拼完全平方公式
问题5：我们学习过完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。 你能利用两套七巧板中的几块拼出这个公式吗？
对于完全平方公式的拼法，由于涉及要在大正方形中分出一个小正方形、一个中正方形以及两个全等的长方形，因此用一套七巧板是不夠的。而利用两套七巧板时，还是要注意到面积，由于7块巧板的面积之和是8，而9是平方数，可以作为边长为3的正方形的面积，这样只要再加上两块面积是12的小三角形，就可以用图9的方式表达出来。
（6）七巧板拼等腰梯形和直角梯形
问题6是一道思考题：你能用7块七巧板拼出一个等腰梯形吗？或是直角梯形呢？这样拼图的原理是什么？
原理还是“出入相补”，同时考虑到面积的数和拆分。七块图形的总面积为8，并且考虑到七巧板的各个图形的内角只有3种：45°，90°，135°。因此等腰梯形可以考虑S=（2+6）×2÷2=8;直角梯形可以考虑S=（3+5）×2÷2=8（见图10）。
学生通过体会“出入相补”的原理，并且动手实践，拼出各种符合要求的图形，不仅提升了兴趣，更进一步挖掘了“七巧板拼图问题”中所包含的“数形结合”“分类讨论”思想，提升其总结和归纳的能力。
四、数学史融入数学教学的学生评价
1教学体现数学知识之谐、方法之美
从知识技能来说，数学史融入数学教学（HPM）有助于学生理解数学符号、术语、计算方法、表征方式、数学语言的演进过程，体现HPM的知识之谐、方法之美，从而更好地理解数学。
课前，教师对全班47名学生进行了前测调查，其中有一个问题：“我们学习过平方差公式：a2-b2=（a-b）（a+b），你能用图形的割补来表示这个公式吗？请画出你知道的方式（有几种画几种）。”结果不尽如人意：只有一人画出三种方式，35人只能画出图8中第三种拼图方式，没有人画出图8中的第二种拼图方式。
本节课后，教师对学生做了后测，其中的问题4“本节课你学会了哪些平方差公式的几何图形表示？请画出（有几种画几种）”。有16人能正确画出三种表示方式，有4人能画出两种方式，还有16人能准确地画出一种方式。这说明学生对本节课利用图形的方式表示乘法公式的印象非常深刻，并对运用“出入相补”原理来构造平方差等乘法公式有了更好的理解。
本节课“分类讨论”和“数形结合”的数学思想的渗透也十分有效。在后测的问题“简要介绍一下七巧板的组成以及它们之间的面积关系”中，大多数学生能正确说出七巧板的组成以及按照面积进行分类。对于问题“用4块拼正方形，有几种拼法，为什么？”大多数学生都正确地说出用面积来进行数和的拆分，即4=2+1+12+12，因此用4块巧板可以有3种方法来拼出正方形。在“本节课蕴含了哪些数学思想”问题中，大多数学生回答了“分类讨论”“数形结合”，有少数学生还回答出“出入相补”“等积变形”“探究与实践”“复制、平移、翻折等图形运动”等，这说明学生对“分类讨论”和“数形结合”思想有了更深入的理解。
2教学促进了思考，体现探究之乐
从过程和方法来看，HPM教学不仅为学生提供了探究机会，更多的是经过古今对比，拓宽了思维，促进了思考，体现了HPM的探究之乐。
对于后测的问题：“用5块拼正方形，你是如何考虑的？随意尝试还是用面积关系？”学生大都回答从面积的角度来考虑：“一开始是随便尝试，后来学会了用面积来进行数和的拆分。”
问题“小学或者幼儿园时，你玩过七巧板吗？你觉得本节课中你对七巧板有哪些新的认识？”只有8位学生表示没有玩过，而通过本节课的学习，学生对七巧板这种游戏也有了新的认识：
学会了通过七巧板的面积来解决代数问题;
将数与形结合起来研究问题;
七巧板不仅可以用来玩，还可以用来解决数学题，用另一种思考方式来解决问题;
在拼的过程中，其中蕴含许多数学原理;
七巧板是古人智慧的结晶;
了解了七巧板的历史以及运用;
不只是拼小人，还可以用来推演几何;
原来七巧板问题如此复杂多样，可能性很多;
七巧板不只是瞎拼乱凑;
七巧板以前对我而言是拼出花鸟鱼虫的玩具，现在我发现它也是一种解释说明数学公式的好方法。
3教学能激发学习兴趣，体现文化之魅、德育之效
在情感、态度和价值观上，HPM教学经过教师的加工重构后，使得学生能重新经历数学史中知识的发展迁移过程，从新角度来审视过程中的合理性，不断提出新的问题，分析问题，解决问题，从而激发学生的学习兴趣，也体现了HPM的文化之魅和德育之效。
在“谈谈你对本节课的感想”中，学生的回答就能说明HPM的有效性：
学习方法十分新颖，运用不同的视角学习数学;
寓教于乐，有动手的机会;
运用图形具象化题目是很好的方法，让我获益匪浅;
懂得了七巧板的奥秘，了解了中国古人的智慧;
老师讲得有声有色，我学会了不少新知识，其实笛卡尔应该是数形结合的始祖，能运用图形解释公式真的十分奥妙;
巧妙地用七巧板勾起了学生对数学的兴趣;
生活中蕴含着许多数学原理，我们需要去发现它们;
有趣，有互动，浅显易懂，方法新;
增强了我的思维能力，能用不同的标准来分类讨论;
学会了很多教材上没有的知识。
结合本节课，学生对“分类讨论”的思想和用图形来表示公式的“出入相补”原理都有更深的理解，达成了“知识与技能”的目标;而“过程与方法”则更是在深入思考的前提下给予学生动手实践的机会，不仅让学生体会到七巧板中古人的智慧，更是从另一个角度来重构七巧板的功能，培养学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力; 本节课中对七巧板的全新解构，让学生认识到数学来源于生活，与生活息息相关，而不是一些冰冷的符号、公式、运算，使得数学更具有亲和力，让学生逐步喜欢上数学，这些都是“情感态度与价值观”目标实现的标志。 总之，在HPM教学设计中，教师可以充分挖掘和拓展教材，对数学史的材料进行重构，使得数学史知识、数学史教育在课堂上发挥更大的价值。
参考文献：
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[2] 李玲，顾海萍.“平方差公式”：以多种方式融入数学史[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014，（11）.
[3] 李溢.“有趣的七巧板”教学案例[J].数学教学， 2015，（2）.
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[5] 汪晓勤.数学史与数学教育[J].教育研究与评论（中学教育教学），2014，（1）.
[6] 汪晓勤，张安静.平方差公式的历史[J].中学数学教学参考（中旬），2010，（11）.
[7] 赵爽.《周髀算经》郭书春注[A].中国科学技术典籍通汇·数学卷（一）[C].郑 州：河南教育出版社，1994.
[8] 汪晓勤. HPM：数学史与数学教育 [M].北京：科学出版社，2017.
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