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摘要：文章在将可转换债券拆解为一份普通债券长头寸、一份以普通债券为标的执行价格为P1的下降敲入看跌期权、一份以普通债券为标的执行价格为K3/K2的上升敲入看跌期权以及1/K2分欧式以对应股票为标的执行价格为看涨期权的基础上，引入静态利率期限结构对可转换债券进行定价研究，并与普通线性分解进行对比。实验数据表明两种方法均存在偏差，但经过比较发现完全拆解法比普通分解定价更为有效。
关键词：利率期限结构；样条估计；完全拆解；衍生证券定价
一、引言
可转换债券是一种同时涉及付息债券、股票和期权（转换权、赎回权和回售权）的复杂混合衍生证券，其定价一直是金融工程领域研究的难点与热点。Merton 基于Black-Scholes的期权定价理论，研究了存在信用风险的公司债券定价问题。Ingersoll和Schwartz首先应用期权定价理论对可转换债券进行定价并提出了经典的单因素模型，并将可转换债券拆分为一个普通债券和一份认股权证的价格。Brennan和Schwartz在Ingersoll研究的基础上放松原有的假设，考虑了存在票息支付和股利支付等条款的情况，并给出了全新的定价模型。Marcelle和Martin从期限结构角度分析了可交换可转债的定价问题等。随后的二十年里，学者放松了许多模型假设寻求更加贴近市场定价模型，取得了许多优秀的成果，例如考虑可转债价格还受到违约风险的影响，提出了更为复杂的三因素模型等等，这些模型为可转债的定价研究提供更广阔的思路。
国内研究起步相对较晚，但到目前为止可转换债券定价成果也较为丰富。张德华、陶融综合考虑了票面利率、可转换债卷转换价格、市场无风险利率、股价及其波动等因素，运用 Black-Scholes 期权定价模型对国内可转换债券进行定价分析；郑小迎、陈金贤基于无风险套利原理，引入标的股价和利率两个因素推导出了双因素定价模型。陈力华、谢春讯在文献的基础上又加入了现金股利因素，并考虑了赎回和回售条款。周其源、吴冲锋、陈湘鹏利用完全拆解法对于付息可赎回可转债拆分得到解析定价。
综上所述，已有文献在固定利率假设下普通拆解定价方面研究比较深入，但是在综合考虑利率期限结构和期权条款的非线性关系方面的研究成果较少，而利率期限结构及期权条款恰恰是可转换债券定价重要内容。因此，本文先尝试构造出适合的无风险利率期限结构模型，把估计到的模型运用到可转换债券的纯债券部定价并验证其适用性；再考虑期权条款的非线性关系，通过完全拆解方法得到期权部分的定价模型，进行模拟定价后与收集到市场交易数据对比。
二、无风险利率三次样条拟合
利率期限结构指某一时点上，不同到期期限与资金的收益率之间的关系，在金融行业中有着非常广泛的应用，是金融产品定价中最基本和重要的工具，通常应用在债券等利率衍生资产的定价上。目前国内外学者对利率期限结构的研究已经非常深入与完善。
在国外历来研究中，探讨利率期限结构的相关理论主要有三种，即完全预期理论、市场分割理论和流动性偏好理论。完全预期理论有两个假设前提：一是人们对未来的短期利率变动有确切的预期或完全预期；二是短期资金市场与长期资金市场的资金移动保持完全自由。因此，长期利率等于现期利率与未来短期利率的算术平均数。Modigliani 等人创建的市场分割理论认为投资者都是风险回避型，有着强烈的期限偏好和期限需求，因此他们不会因为不同期限的收益差别而放弃或改变他们的期限需求。由于人们是风险回避型的，而长期资金的风险大于短期资金风险，因此短期利率会低一些，这就很好地解释了期限结构曲线大都向上的原因。流动性偏好理论是建立在完全预期理论和市场分割理论基础上的，该理论认为正常的收益率曲线是向上倾斜的，反映出随期限和风险的增加，收益也相应增加。
现代金融领域里研究讨论的利率期限结构理论分为两种，以广义均衡理论或者无套利理论为线索，按单因子或多因子模型分类进行研究分析。
而对利率期限结构的实证研究大致可以分为两个方向：一种是基于Cox-Ingersoll-Ross 等均衡理论模型来构造期限结构，另一种方法是利用曲线拟合（样条估计技术、参数估计技术和最大平滑估计技术等）技术来构造期限结构。与前者相比，后者可以通过国债市场的数据拟合得到，拟合结果更加接近市场观察值。
吴丹，谢赤对利率期限结构的样条估计模型及其实证研究表明：三次样条估计利率期限结构较为理想；李熠熠，潘婉彬，缪柏其研究了利率期限结构三次样条估计中估计节点确定问题，同时证明了三次样条函数不仅能拟合利率期限结构的各种形状，而且容易实现。傅曼丽，屠梅曾，董荣杰实证优化分析表明，当样条函数个数设置为4时，拟合误差和曲线平滑性得到兼顾，构造效果较好。因此，本文采用文献中的5节点三次样条函数对无风险利率期限结构进行估计，样条贴现函数表示为：
计算结果显示：国债定价实务中到期期限较长定价相对偏差越大；国债理论价格与市场价格之间偏差均小于0.5元，偏差平方和仅仅为0.827，表明定价误差相对较小；证明了三次样条函数及考虑利率期限结构的定价模型的有效性。
三、可转换债券的价值分析
可转换债券赋予投资者从发行后的某一时刻起至到期前，可以按发行公告中相应条款计算的转换比例进行债券向股票转换的权利。鉴于国内理论和市场发展的成熟性，发行公告中通常还会包含部分修正条款（含除权修正，向下修正条款、赎回条款、回售条款）。修正条款直接对转股价格产生影响，因此无需修改定价模型。而赎回条款和回售条款在可转换债券定价中形成双向障碍，具有期权性质，因此定价模型中需要考虑这两个条款对定价的影响。
对可转换债券的价值组成分析最经典的方法是，将可转换债券拆分为普通债券、多头转股期权、空头赎回期权、多头回售期权四种金融资产价值的和，表示为：
Pcb=Pb+βPc-Pr+Ps（3） 其中： Pb表示普通债券的价值；β为转换率，即单位可转换债券能转换成股票的数目； Pc表示股票转换期权的价值，是一个欧式看涨期权； Pr表示赎回期权的价值，同样也是一个欧式看涨期权； Ps表示回售期权的价值，是一个欧式看跌期权。
以上拆分方法简单易操作，但忽视了期权之间的非线性关系，因此本文采用文献中的拆解方法，将可转换债券拆分为：一份普通债券长头寸、一份以普通期权为标的执行价格为P1的下降敲入看跌期权、一份以普通债券为标的执行价格为K3/K2 的上升敲入看跌期权以及1/K2分欧式以对应股票为标的执行价格为K2（1+r）的看涨期权。为便于理解本文先对参数作如下定义：B，K1，K2，K3，P1，P2，T，r，rf，St 分别表示其面值、回售触发价格、赎回触发价格、转换价格、回售价、赎回价、期限、票面利率、无风险利率和t时刻标的股票的价格。经过数理推导，可转换债券价值可以表示为
四、参数估计与可转换债券定价实证分析
确定式（4）中的参数：
以中国银行可转换债券为例，选取2012年1月2日至2013年8月2日所有交易日的中国银行股票价格的收盘价，根据波动率计算公式
σ=
其中， ui=ln，Si为股票价格的收盘价。
根据中国银行可转换债券发行公告相关条款，得到回售触发价格K1=70% *K3，赎回触发价格K2=130% *K3；无风险利率通过估计到的贴现函数确定，经过计算得到表2数据。
从表2 中数据可以看出，完全拆解法定价比普通线性拆解法定价更为精确，这说明期权性质条款之间的非线性关系是显著的；但无论完全拆解法还是普通线性拆解法得到可转换债券理论价格均小于市场价格，且偏差较大。一方面说明了中国可转换债券市场效率不高，另一方面说明定价模型需要考虑的因素还很多，显然利率期限结构及带有期权性质的条款之间的非线性关系是必须包括在内的。
五、结论
针对目前国内外可转债定价均假设利率恒定、没有考虑利率期限结构的变化以及实证定价中未考虑期权性质条款非线性关系等问题。本文首次基于完全拆解定价方法结合利率结构函数构建了可转换债券估价的一般模型，并对上交所可转债进行实证分析。首先，通过选取上交所交易的国债与可转换债券为样本，利用已经建立的三次样条利率期限结构模型推导出无风险利率期限结构，以此作为定价基础分析国债定价，结果验证了该模型十分有效；然后，利用三次样条估计到利率期限结构对可转债进行定价，对我国可转换债券市场的研究结果表明，完全拆解法相比普通拆解定价误差小，但是无论是用完全拆解法还是用普通拆解都非常大，这一结果表明我国可转换债券定价利率相对较低、发行时溢价过高、转换价格偏高，因此，可转债定价必须考虑自身条款特点。
参考文献：
[1]Marcelle A， Martin L.A. Convertible Bonds： How Much Equity， How Much Debt[J].Financial Analysts Journal，2004（02）.
[2]陈力华，谢春讯.可转换债券双因素定价模型的探讨[J].上海海运学院学报，2003（04）.
[3]李熠熠，潘婉彬，缪柏其.基于三次样条的利率期限结构估计中的节点选择[J].系统工程理论与实践，2009（04）.
[4]傅曼丽，屠梅曾，董荣杰.债券利率期限结构的构造方法与实证检验[J].系统工程理论与实践，2006（05）.
[5]蒋致远，张顺明，李江峰.可回售可赎回可转换债券的定价分析[J].统计与决策，2013（04）.
（作者单位：沈建程，江苏大学管理学院；董洁，江苏大学科技产业处；练丽，江苏大学）
关键词：利率期限结构；样条估计；完全拆解；衍生证券定价
一、引言
可转换债券是一种同时涉及付息债券、股票和期权（转换权、赎回权和回售权）的复杂混合衍生证券，其定价一直是金融工程领域研究的难点与热点。Merton 基于Black-Scholes的期权定价理论，研究了存在信用风险的公司债券定价问题。Ingersoll和Schwartz首先应用期权定价理论对可转换债券进行定价并提出了经典的单因素模型，并将可转换债券拆分为一个普通债券和一份认股权证的价格。Brennan和Schwartz在Ingersoll研究的基础上放松原有的假设，考虑了存在票息支付和股利支付等条款的情况，并给出了全新的定价模型。Marcelle和Martin从期限结构角度分析了可交换可转债的定价问题等。随后的二十年里，学者放松了许多模型假设寻求更加贴近市场定价模型，取得了许多优秀的成果，例如考虑可转债价格还受到违约风险的影响，提出了更为复杂的三因素模型等等，这些模型为可转债的定价研究提供更广阔的思路。
国内研究起步相对较晚，但到目前为止可转换债券定价成果也较为丰富。张德华、陶融综合考虑了票面利率、可转换债卷转换价格、市场无风险利率、股价及其波动等因素，运用 Black-Scholes 期权定价模型对国内可转换债券进行定价分析；郑小迎、陈金贤基于无风险套利原理，引入标的股价和利率两个因素推导出了双因素定价模型。陈力华、谢春讯在文献的基础上又加入了现金股利因素，并考虑了赎回和回售条款。周其源、吴冲锋、陈湘鹏利用完全拆解法对于付息可赎回可转债拆分得到解析定价。
综上所述，已有文献在固定利率假设下普通拆解定价方面研究比较深入，但是在综合考虑利率期限结构和期权条款的非线性关系方面的研究成果较少，而利率期限结构及期权条款恰恰是可转换债券定价重要内容。因此，本文先尝试构造出适合的无风险利率期限结构模型，把估计到的模型运用到可转换债券的纯债券部定价并验证其适用性；再考虑期权条款的非线性关系，通过完全拆解方法得到期权部分的定价模型，进行模拟定价后与收集到市场交易数据对比。
二、无风险利率三次样条拟合
利率期限结构指某一时点上，不同到期期限与资金的收益率之间的关系，在金融行业中有着非常广泛的应用，是金融产品定价中最基本和重要的工具，通常应用在债券等利率衍生资产的定价上。目前国内外学者对利率期限结构的研究已经非常深入与完善。
在国外历来研究中，探讨利率期限结构的相关理论主要有三种，即完全预期理论、市场分割理论和流动性偏好理论。完全预期理论有两个假设前提：一是人们对未来的短期利率变动有确切的预期或完全预期；二是短期资金市场与长期资金市场的资金移动保持完全自由。因此，长期利率等于现期利率与未来短期利率的算术平均数。Modigliani 等人创建的市场分割理论认为投资者都是风险回避型，有着强烈的期限偏好和期限需求，因此他们不会因为不同期限的收益差别而放弃或改变他们的期限需求。由于人们是风险回避型的，而长期资金的风险大于短期资金风险，因此短期利率会低一些，这就很好地解释了期限结构曲线大都向上的原因。流动性偏好理论是建立在完全预期理论和市场分割理论基础上的，该理论认为正常的收益率曲线是向上倾斜的，反映出随期限和风险的增加，收益也相应增加。
现代金融领域里研究讨论的利率期限结构理论分为两种，以广义均衡理论或者无套利理论为线索，按单因子或多因子模型分类进行研究分析。
而对利率期限结构的实证研究大致可以分为两个方向：一种是基于Cox-Ingersoll-Ross 等均衡理论模型来构造期限结构，另一种方法是利用曲线拟合（样条估计技术、参数估计技术和最大平滑估计技术等）技术来构造期限结构。与前者相比，后者可以通过国债市场的数据拟合得到，拟合结果更加接近市场观察值。
吴丹，谢赤对利率期限结构的样条估计模型及其实证研究表明：三次样条估计利率期限结构较为理想；李熠熠，潘婉彬，缪柏其研究了利率期限结构三次样条估计中估计节点确定问题，同时证明了三次样条函数不仅能拟合利率期限结构的各种形状，而且容易实现。傅曼丽，屠梅曾，董荣杰实证优化分析表明，当样条函数个数设置为4时，拟合误差和曲线平滑性得到兼顾，构造效果较好。因此，本文采用文献中的5节点三次样条函数对无风险利率期限结构进行估计，样条贴现函数表示为：
计算结果显示：国债定价实务中到期期限较长定价相对偏差越大；国债理论价格与市场价格之间偏差均小于0.5元，偏差平方和仅仅为0.827，表明定价误差相对较小；证明了三次样条函数及考虑利率期限结构的定价模型的有效性。
三、可转换债券的价值分析
可转换债券赋予投资者从发行后的某一时刻起至到期前，可以按发行公告中相应条款计算的转换比例进行债券向股票转换的权利。鉴于国内理论和市场发展的成熟性，发行公告中通常还会包含部分修正条款（含除权修正，向下修正条款、赎回条款、回售条款）。修正条款直接对转股价格产生影响，因此无需修改定价模型。而赎回条款和回售条款在可转换债券定价中形成双向障碍，具有期权性质，因此定价模型中需要考虑这两个条款对定价的影响。
对可转换债券的价值组成分析最经典的方法是，将可转换债券拆分为普通债券、多头转股期权、空头赎回期权、多头回售期权四种金融资产价值的和，表示为：
Pcb=Pb+βPc-Pr+Ps（3） 其中： Pb表示普通债券的价值；β为转换率，即单位可转换债券能转换成股票的数目； Pc表示股票转换期权的价值，是一个欧式看涨期权； Pr表示赎回期权的价值，同样也是一个欧式看涨期权； Ps表示回售期权的价值，是一个欧式看跌期权。
以上拆分方法简单易操作，但忽视了期权之间的非线性关系，因此本文采用文献中的拆解方法，将可转换债券拆分为：一份普通债券长头寸、一份以普通期权为标的执行价格为P1的下降敲入看跌期权、一份以普通债券为标的执行价格为K3/K2 的上升敲入看跌期权以及1/K2分欧式以对应股票为标的执行价格为K2（1+r）的看涨期权。为便于理解本文先对参数作如下定义：B，K1，K2，K3，P1，P2，T，r，rf，St 分别表示其面值、回售触发价格、赎回触发价格、转换价格、回售价、赎回价、期限、票面利率、无风险利率和t时刻标的股票的价格。经过数理推导，可转换债券价值可以表示为
四、参数估计与可转换债券定价实证分析
确定式（4）中的参数：
以中国银行可转换债券为例，选取2012年1月2日至2013年8月2日所有交易日的中国银行股票价格的收盘价，根据波动率计算公式
σ=
其中， ui=ln，Si为股票价格的收盘价。
根据中国银行可转换债券发行公告相关条款，得到回售触发价格K1=70% *K3，赎回触发价格K2=130% *K3；无风险利率通过估计到的贴现函数确定，经过计算得到表2数据。
从表2 中数据可以看出，完全拆解法定价比普通线性拆解法定价更为精确，这说明期权性质条款之间的非线性关系是显著的；但无论完全拆解法还是普通线性拆解法得到可转换债券理论价格均小于市场价格，且偏差较大。一方面说明了中国可转换债券市场效率不高，另一方面说明定价模型需要考虑的因素还很多，显然利率期限结构及带有期权性质的条款之间的非线性关系是必须包括在内的。
五、结论
针对目前国内外可转债定价均假设利率恒定、没有考虑利率期限结构的变化以及实证定价中未考虑期权性质条款非线性关系等问题。本文首次基于完全拆解定价方法结合利率结构函数构建了可转换债券估价的一般模型，并对上交所可转债进行实证分析。首先，通过选取上交所交易的国债与可转换债券为样本，利用已经建立的三次样条利率期限结构模型推导出无风险利率期限结构，以此作为定价基础分析国债定价，结果验证了该模型十分有效；然后，利用三次样条估计到利率期限结构对可转债进行定价，对我国可转换债券市场的研究结果表明，完全拆解法相比普通拆解定价误差小，但是无论是用完全拆解法还是用普通拆解都非常大，这一结果表明我国可转换债券定价利率相对较低、发行时溢价过高、转换价格偏高，因此，可转债定价必须考虑自身条款特点。
参考文献：
[1]Marcelle A， Martin L.A. Convertible Bonds： How Much Equity， How Much Debt[J].Financial Analysts Journal，2004（02）.
[2]陈力华，谢春讯.可转换债券双因素定价模型的探讨[J].上海海运学院学报，2003（04）.
[3]李熠熠，潘婉彬，缪柏其.基于三次样条的利率期限结构估计中的节点选择[J].系统工程理论与实践，2009（04）.
[4]傅曼丽，屠梅曾，董荣杰.债券利率期限结构的构造方法与实证检验[J].系统工程理论与实践，2006（05）.
[5]蒋致远，张顺明，李江峰.可回售可赎回可转换债券的定价分析[J].统计与决策，2013（04）.
（作者单位：沈建程，江苏大学管理学院；董洁，江苏大学科技产业处；练丽，江苏大学）