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[摘要]将一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知，旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角叫做旋转角.在教学中，教师可以利用旋转变换的性质对一些几何题进行讲解，帮助学生提高解题能力.
[关键词]图形旋转解题
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020053
将平面图形F1绕平面内的一个定点O按一定的方向旋转一个定角θ，得到平面图形F2，这样的变换称为旋转变换.O叫做旋转中心，θ叫做旋转角.旋转角为180°的旋转变换是中心对称变换.
旋转变换前后的图形具有如下性质.
（1）旋转前后的图形全等（对应线段相等，对应角相等）；
（2）对应点位置的排列次序相同，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ.
图1如图1，把△ABC绕点O逆时针旋转θ，得到△A′B′C′，P与P′为对应点，则△ABC≌△A′B′C′，OP=OP′，∠POP′=θ，BC与B′C′的夹角是θ.
旋转变换在平面几何的证明中有着广泛的应用，特别是在求解、证明有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题中.下面笔者举几个例子，希望大家从中得到启发.
图2【例1】如图2，△ABC是等边三角形，D是△ABC外的一点，且DB=DC，∠BDC=120°，点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，且∠MDN=60°，试探究MB、MN、CN之间的数量关系并证明.
证明：在CN上取CE等于MB，连接DE.（把△DBM绕点D顺时针旋转120°，得到△DCE）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°.
又∵BD=CD，MB=EC，
∴△MBD≌△ECD，
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC.
∵∠BDC=120°，∴∠MDE=120°.
又∵∠MDN=60°，∴∠EDN=60°.
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=EN，
∴CN=CE NE=MB MN.
图3【例2】如图3，在△ABC中，AB=AC，D是AB边上的任意一点，以DC为边作△DCE，且DE=CE，∠DEC=∠BAC，连接AE，求证：AE∥BC.
证明：延长DA到F，使DF=AC，连接EF.（∵∠DEC=∠BAC，∴∠ACE=∠ADE，此过程也就是把△ACE绕点E旋转，得到△FDE）
∵∠DEC=∠BAC，∴∠ADE=∠ACE.
又∵DF=AC，DE=CE，∴△FDE≌△ACE，
∴∠DFE=∠CAE，FE=AE，∠AFE=∠FAE，
∴∠FAE=∠EAC，∴∠FAC=2∠FAE.
∵∠FAC=∠B ∠ACB，∠B=∠ACB，
∴∠FAC=2∠B，∴∠FAE=∠B，∴AE∥BC.
图4【例3】如图4，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a>0），求：（1）∠APB的度数；（2）正方形ABCD的面积.
解：（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBQ.
连接PQ、QC、AC，由旋转的性质得QB=PB=2a，∠PBQ=90°，CQ=AP=a.
利用勾股定理得PQ=22a.
在△PQC中，PQ=22a，CQ=a，PC=3a，
∴PQ2 CQ2=PC2，
∴由勾股定理的逆定理得∠PQC=90°.
又∵∠BPQ=∠BQP=45°，∴∠BQC=135°，
∴∠APB=∠BQC=135°.
（2）∵∠BPQ=45°，∠APB=135°，
∴∠APQ=180°，
∴AQ=AP PQ=a 22a.
∵CQ=a，∠PQC=90°，
∴AC2=AQ2 QC2=（a 22a）2 a2=（10 42）a2，
∴正方形ABCD的面积=12AC2=12（10 42）a2二元函数最值问题解法探讨
元后，再利用正、余弦函数的有界性求最值.
三、利用向量不等式求解
【例3】若x2 y2=1，求3x 2y的最大值.
解：设a=（x，y），b=（3，2）.因为a·b≤|a|·|b|，
所以a·b=3x 2y≤x2 y2·13=13.
所以3x 2y的最大值是13.
点评：向量法的难点是在向量的构造上，解题时要仔细审题，结合向量的内积和不等式构造出向量，答案即可求出.
四、利用基本不等式求解
【例4】若实数x，y满足x2 y2 xy=1，则求x y，xy的最大值.
解：①由x2 y2 xy=1，得（x y）2-xy=1，
即xy=（x y）2-1≤（x y）24，
所以34（x y）2≤1，
故-233≤x y≤233，
当且仅当x=y时，不等式的“=”成立，所以x y的最大值为233.
②由x2 y2 xy=1，得x2 y2=1-xy， 即x2 y2=1-xy≥2xy，所以1≥3xy，
故xy≤13，
当且仅当x=y时，不等式的“=”成立，所以xy的最大值为13.
点评：仔细分析题目的条件，观察二元函数的结构，不难看出，此题使用基本不等式比较合适.基本不等式（x2 y22≥x y2≥xy）主要反映x2 y2，x y，xy三者在的不等关系.凡是遇到条件、结论和这三者在结构上类似的，并求其范围、最值的题目，我们都应当尝试使用基本不等式求解，但求解过程中，千万不要忘记验证基本不等式的三个条件.
五、利用线性规划求解
【例5】已知x，y满足条件7x-5y-23≤0
x 7y-11≤0
4x y 10≥0，求4x-3y的最大值和最小值.
解：不等式组7x-5y-23≤0
x 7y-11≤0
4x y 10≥0表示的区域如图1所示.图1可观察出4x-3y在A点取到最大值，在B点取到最小值.
解方程组7x-5y-23=0
4x y 10=0，得x=-1
y=-6，则A（-1，-6）.
解方程组x 7y-11=0
4x y 10=0，得x=-3
y=2，则B（-3，2）.
因此，4x-3y的最大值和最小值分别为14，-18.
点评：线性规划问题的特征是比较明显的，比如约束条件（不等式组）和目标函数（线性函数、比值型函数和距离型函数）等都是此类题目的特征.所以，学生在解题中，遇到约束条件、目标函数这些特征信息时，可以直入正题，使用线性规划的方法求解.当然，线性规划也有几种不同的类型，解题时一定要分清类型、对号入座.
六、利用数形结合求解
【例6】已知点（x，y）在曲线y=3-4x-x2上，求x-y的最值.
图2解：由y=3-4x-x2化简得（x-2）2 （y-3）2=4（y≤3），所以曲线为半圆.曲线图像如图2所示.
令x-y=0平移可知，x-y在A点处取得最小值，在B点处取得最大值.
设b=x-y，因为点A的坐标为（0，3），∴bmin=-3.
根据直线b=x-y与曲线（x-2）2 （y-3）2=4（y≤3）相切，得d=|2-3-b|12 （-1）2=2，
解得b=22-1或b=-22-1（舍），
∴bmax=22-1.
点评：在二元函数问题中，求解f（x，y）=x-y的最值很像线性规划最值问题的类型，由此可能想到令函数x-y=0平移找最值，但与线性规划不同的是，它没有不等式组，没有可行域.实际并非如此，此题是用曲线y=3-4x-x2代替了可行域，对曲线方程化简可知，其函数图像是半圆，半圆上的点即为可行域，按照线性规划的方法便可求出最值.此题是线性规划的延伸，也是线性规划题型的能力提升，由于需要识别函数和画出函数图像，并利用函数图像解题，笔者把该方法归纳为数形结合.
二元函数涉及的内容多，运用的解题方法多，既是高中数学重要数学思想的体现，又是高考重点考查的内容之一.上述六种方法已基本概括了二元函数的最值问题的解法，请学生务必掌握.遇到此类题型时，只要认真审题、分清类型、对题入座，解题时便可游刃有余、胸有成竹.
（责任编辑钟伟芳）
[关键词]图形旋转解题
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020053
将平面图形F1绕平面内的一个定点O按一定的方向旋转一个定角θ，得到平面图形F2，这样的变换称为旋转变换.O叫做旋转中心，θ叫做旋转角.旋转角为180°的旋转变换是中心对称变换.
旋转变换前后的图形具有如下性质.
（1）旋转前后的图形全等（对应线段相等，对应角相等）；
（2）对应点位置的排列次序相同，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ.
图1如图1，把△ABC绕点O逆时针旋转θ，得到△A′B′C′，P与P′为对应点，则△ABC≌△A′B′C′，OP=OP′，∠POP′=θ，BC与B′C′的夹角是θ.
旋转变换在平面几何的证明中有着广泛的应用，特别是在求解、证明有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题中.下面笔者举几个例子，希望大家从中得到启发.
图2【例1】如图2，△ABC是等边三角形，D是△ABC外的一点，且DB=DC，∠BDC=120°，点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，且∠MDN=60°，试探究MB、MN、CN之间的数量关系并证明.
证明：在CN上取CE等于MB，连接DE.（把△DBM绕点D顺时针旋转120°，得到△DCE）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵DB=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°.
又∵BD=CD，MB=EC，
∴△MBD≌△ECD，
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC.
∵∠BDC=120°，∴∠MDE=120°.
又∵∠MDN=60°，∴∠EDN=60°.
∴△MDN≌△EDN，
∴MN=EN，
∴CN=CE NE=MB MN.
图3【例2】如图3，在△ABC中，AB=AC，D是AB边上的任意一点，以DC为边作△DCE，且DE=CE，∠DEC=∠BAC，连接AE，求证：AE∥BC.
证明：延长DA到F，使DF=AC，连接EF.（∵∠DEC=∠BAC，∴∠ACE=∠ADE，此过程也就是把△ACE绕点E旋转，得到△FDE）
∵∠DEC=∠BAC，∴∠ADE=∠ACE.
又∵DF=AC，DE=CE，∴△FDE≌△ACE，
∴∠DFE=∠CAE，FE=AE，∠AFE=∠FAE，
∴∠FAE=∠EAC，∴∠FAC=2∠FAE.
∵∠FAC=∠B ∠ACB，∠B=∠ACB，
∴∠FAC=2∠B，∴∠FAE=∠B，∴AE∥BC.
图4【例3】如图4，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a>0），求：（1）∠APB的度数；（2）正方形ABCD的面积.
解：（1）将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得△CBQ.
连接PQ、QC、AC，由旋转的性质得QB=PB=2a，∠PBQ=90°，CQ=AP=a.
利用勾股定理得PQ=22a.
在△PQC中，PQ=22a，CQ=a，PC=3a，
∴PQ2 CQ2=PC2，
∴由勾股定理的逆定理得∠PQC=90°.
又∵∠BPQ=∠BQP=45°，∴∠BQC=135°，
∴∠APB=∠BQC=135°.
（2）∵∠BPQ=45°，∠APB=135°，
∴∠APQ=180°，
∴AQ=AP PQ=a 22a.
∵CQ=a，∠PQC=90°，
∴AC2=AQ2 QC2=（a 22a）2 a2=（10 42）a2，
∴正方形ABCD的面积=12AC2=12（10 42）a2二元函数最值问题解法探讨
元后，再利用正、余弦函数的有界性求最值.
三、利用向量不等式求解
【例3】若x2 y2=1，求3x 2y的最大值.
解：设a=（x，y），b=（3，2）.因为a·b≤|a|·|b|，
所以a·b=3x 2y≤x2 y2·13=13.
所以3x 2y的最大值是13.
点评：向量法的难点是在向量的构造上，解题时要仔细审题，结合向量的内积和不等式构造出向量，答案即可求出.
四、利用基本不等式求解
【例4】若实数x，y满足x2 y2 xy=1，则求x y，xy的最大值.
解：①由x2 y2 xy=1，得（x y）2-xy=1，
即xy=（x y）2-1≤（x y）24，
所以34（x y）2≤1，
故-233≤x y≤233，
当且仅当x=y时，不等式的“=”成立，所以x y的最大值为233.
②由x2 y2 xy=1，得x2 y2=1-xy， 即x2 y2=1-xy≥2xy，所以1≥3xy，
故xy≤13，
当且仅当x=y时，不等式的“=”成立，所以xy的最大值为13.
点评：仔细分析题目的条件，观察二元函数的结构，不难看出，此题使用基本不等式比较合适.基本不等式（x2 y22≥x y2≥xy）主要反映x2 y2，x y，xy三者在的不等关系.凡是遇到条件、结论和这三者在结构上类似的，并求其范围、最值的题目，我们都应当尝试使用基本不等式求解，但求解过程中，千万不要忘记验证基本不等式的三个条件.
五、利用线性规划求解
【例5】已知x，y满足条件7x-5y-23≤0
x 7y-11≤0
4x y 10≥0，求4x-3y的最大值和最小值.
解：不等式组7x-5y-23≤0
x 7y-11≤0
4x y 10≥0表示的区域如图1所示.图1可观察出4x-3y在A点取到最大值，在B点取到最小值.
解方程组7x-5y-23=0
4x y 10=0，得x=-1
y=-6，则A（-1，-6）.
解方程组x 7y-11=0
4x y 10=0，得x=-3
y=2，则B（-3，2）.
因此，4x-3y的最大值和最小值分别为14，-18.
点评：线性规划问题的特征是比较明显的，比如约束条件（不等式组）和目标函数（线性函数、比值型函数和距离型函数）等都是此类题目的特征.所以，学生在解题中，遇到约束条件、目标函数这些特征信息时，可以直入正题，使用线性规划的方法求解.当然，线性规划也有几种不同的类型，解题时一定要分清类型、对号入座.
六、利用数形结合求解
【例6】已知点（x，y）在曲线y=3-4x-x2上，求x-y的最值.
图2解：由y=3-4x-x2化简得（x-2）2 （y-3）2=4（y≤3），所以曲线为半圆.曲线图像如图2所示.
令x-y=0平移可知，x-y在A点处取得最小值，在B点处取得最大值.
设b=x-y，因为点A的坐标为（0，3），∴bmin=-3.
根据直线b=x-y与曲线（x-2）2 （y-3）2=4（y≤3）相切，得d=|2-3-b|12 （-1）2=2，
解得b=22-1或b=-22-1（舍），
∴bmax=22-1.
点评：在二元函数问题中，求解f（x，y）=x-y的最值很像线性规划最值问题的类型，由此可能想到令函数x-y=0平移找最值，但与线性规划不同的是，它没有不等式组，没有可行域.实际并非如此，此题是用曲线y=3-4x-x2代替了可行域，对曲线方程化简可知，其函数图像是半圆，半圆上的点即为可行域，按照线性规划的方法便可求出最值.此题是线性规划的延伸，也是线性规划题型的能力提升，由于需要识别函数和画出函数图像，并利用函数图像解题，笔者把该方法归纳为数形结合.
二元函数涉及的内容多，运用的解题方法多，既是高中数学重要数学思想的体现，又是高考重点考查的内容之一.上述六种方法已基本概括了二元函数的最值问题的解法，请学生务必掌握.遇到此类题型时，只要认真审题、分清类型、对题入座，解题时便可游刃有余、胸有成竹.
（责任编辑钟伟芳）