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摘要：研究带有de Sitter中心的球对称黑洞在标量场扰动下的拟正则模.几何上来讲，这种黑洞在半径r很大的时候趋近与史瓦西解形式，在r 趋于0 的时候是de Sitter 解形式的.在这里通过变化参数r0 （它与宇宙学常数有关），角量子数l，泛音数n和黑洞质量M 来研究这个黑洞的拟正则模ω .计算结果发现：拟正则模在随r0 的变化出现极大值和极小值，同时对于一定范围的r0，当拟正则模随泛音数n变化时也会出现极值现象，这是值得关注的.
关键词：真空无奇点黑洞； 拟正则模； 6阶WKB近似
中图分类号： P 142.9 文献标志码： A 文章编号： 10005137（2015）02012205
黑洞是爱因斯坦广义相对论的重要预言之一.根据霍金和彭罗斯的黑洞奇点理论[1]，黑洞中不可避免地存在时空奇点.然而，奇点的存在使一切物理定律在这里都失效.因此，怎样避免黑洞中的奇点是非常重要的研究方向.1968 年Bardeen 构造了第一个无奇点黑洞，即存在事件视界的无奇点的黑洞，而且满足弱能量条件[2].尽管Bardeen 黑洞在理论上是自洽的，但它在物理解释上一直不令人满意.原因是爱因斯坦方程在中心处不存在真空解，如果要得到真空解必须引入额外的物质形式或者修改引力.直到AyonBeato 和Garcia[3]把它解释为与某种非线性磁单极子耦合的引力场，Bardeen 黑洞才得到大家的重视.
1992年，Dymnikova根据一个特殊形式的球对称的真空能动张量获得爱因斯坦方程的一个精确解析解，当r 足够大时，它与史瓦西解一致，当r 很小时，它的性质与de Sitter 解类似，但它在任何地方都不存在奇点[4].这个爱因斯坦方程解没有用到电动力学或其他的理论，所以通过对这个黑洞的扰动的拟正则模的研究，将有助于了解对不带电的无奇点黑洞的性质.
众所周知，存在于人们周围的每个物体当它们受到扰动时都产生专属于自己的振动的特征模.当黑洞受到物质场的扰动时，它会以引力波的形式产生辐射，从而产生属于自己的振动特征模.一般情况下只考虑线性微扰，这样扰动的能动张量在黑洞的背景度规中通过最低阶的线性近似才能被忽略不计.引力波在时空中的演化可以恰当地分为3个阶段，引力波的初始爆发阶段，此阶段依赖于扰动的初始条件，持续时间短，因此一般不作为研究对象.拟正则模阶段，属于较长时间的固有振荡的衰减期，它与初始条件无关，是黑洞的内禀振荡.晚期拖尾阶段，这个阶段引力波的衰减受到黑洞远处时空的反向散射，对于渐进平坦黑洞，拟正则模的衰减被幂律形式的衰减代替.
近年来，黑洞（包括非广义相对论中的黑洞）的拟正则模得到了广泛研究比如[5-6]，这方面的详细综述可见[7-8].其原因首先源于实验的兴趣.在不久的将来引力波很可能被LIGO，VIRGO和LISA 等引力探测器探测到.由于拟正则模只与黑洞的物理性质有关，所以这些探测将有助于鉴别黑洞的物理特性.另一方面则由于Ads/CFT 对应.AdS/CFT为应对一些困难的问题提供了新的思考问题的角度，例如黑洞信息不守恒，黑洞奇点的性质和量子引力等[9].在计算拟正则模方面，主要有连分数法，WKB 近似，PoshlTeller 势近似法，半解析的单值法等等，这方面的详细综述可见[10].这里本文作者应用Konoplya 给出的六阶WKB近似公式计算拟正则模[11].
3 结 论
鉴于黑洞在基础物理中的重要性，研究有黑洞的“声音”之称的拟正则模是很有意义的.本文作者研究了真空无奇点黑洞的标量场扰动并用6阶WKB方法计算了拟正则模在各种参数的变化下的数值，同时把结果跟史瓦西黑洞和Bardeen黑洞的拟正则模的相关结果做了比较.
首先，质量M的增大，拟正则模的实部和虚部也同时减小.它们的变换与史瓦西黑洞的情况相同，同时Bardeen 黑洞的拟正则模也是相同的变换趋势.对于n=1，拟正则模的实部随角量子数l的增加呈线性增加，虚部随角量子数l的增加而减小，最终随角量子数l的增大趋于一个稳定值.Bardeen 黑洞的拟正则模也是相同的变换趋势.
从图7和图8可以看出，当2r2o=1时和史瓦西黑洞（M=1）的拟正则模的虚部和实部近似重合，它们的变化可近似看做是线性的.结合图7～10，可以看到真空无奇点黑洞的拟正则模的实部和虚部大概在0<2r2o<1.3之间时变化不大.因此在0<2r2o<1.3 之间时，真空无奇点黑洞与史瓦西黑洞的差别不大，难以区分.之后实部先减小再增大，最后再减小.而虚部则与之相反.因此可以看出虚部和实部随r2o的变化都同时存在一个最大值和一个最小值.再看图7和图8，拟正则模的实部先是随泛音数n 的增大逐渐减小的（2r2o=1.6），然后变为线性的，之后随泛音数n 的增大而增大的（2r2o=2.0，2.3）.虚部随泛音数的变化先是随泛音数n的增大逐渐增大的（2r2o=1.6），然后变为线性的，之后随泛音数n的增大先是增大而后再减小（2r2o=2.0，2.3），此时拟正则模的虚部随泛音数n的变换存在最大值.这些结果表明，真空无奇点黑洞有着普通有奇点黑洞的不同特征，这可能与对引力本质的理解有重要关系，值得再深入研究.
参考文献：
[1] HAWKING S W，PENROSE R.The singularities of gravitational collapse and cosmology[M].London：Proc Roy Soc Lon A，1970.
[2] BARDEEN J M.Proceedings of GR5[M].USSR：Tbilisi，1968.
[3] AYNBEATO E，GARCA A.The Bardeen Model as a Nonlinear Magnetic Monopole[J].Physics Letters B，2000，493（1-2）：149152. [4] DYMNIKOVA I.Vacuum Nonsingular Black Hole[J].Gen Relativ Gravit，1992，24：235-242.
[5] LI X Z，HAO J G，LIU D J.Quasinormal modes of string black hole[J].Phy Lett B，2001，507：312-361.
[6] LIU D J，YANG B，ZHAI Y J，et al.Quasinormal modes for asymptotic safe black holes[J].Class Quantum Gravity，2012，29：145009.
[7] NOLLERT H P.Quasinormal modes：the characteristic ′sound′ of black holes and neutron stars[J].Class Quantum Gravity，1999，16：159-216.
[8] BERTI E，CARDOSO V，STARINETS A O.Quasinormal modes of black holes and black branes[J].Classical Quantum Gravity，2009，26：163001.
[9] HOD S.Bohr′s Correspondence Principle and the Area Spectrum of Quantum Black Holes [J].Phys Rev Lett，1998，81：4293-4296.
[10] KONOPLYA R A，ZHIDENKO A.Quasinormal modes of black holes：From astrophysics to string theory[J].Rev Mod Phys，2011，83（3）：793-836.
[11] KONOPLYA L R A.Quasinormal behavior of the Ddimensional Schwarzschild black hole and the higher order WKB approach[J].Phys Rev D，2003，68：024018.
[12] CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].London：Oxford University Press，1992.
[13] IYER S，WILL C M.Blackhole normal modes：A WKB approach.I.Foundations and application of a higherorder WKB analysis of potentialbarrier scattering[J].Phys Rev D，1987，35（12）：3621-3631.
[14] FERNANDO S，CORREA J.Quasinormal modes of the Bardeen black hole：Scalar perturbations[J].Phys Rev D，2012，86：064039.
Abstract：：In this paper，we investigate quasinormal mode（QNM） of the spherically symmetric BH with de Sitter centre due to scalar perturbations.This BH is，geometrically，asymptotically Schwarzschild for large r and asymptotically de Sitter as r → 0.We analyze the QNM ω by varying the parameter r0 （it is related to cosmological constant），spherical harmonic index l，overtune n and the BH mass M.
According to calculations，we find that the QNM Lhave maximum and minimum with a changing r0，and for some r0 it is worthy to attention that the QNM have extreme with a changing overtune n
Key words：vacuum nonsingular BH； QNM； 6order WKB approximation
（责任编辑：顾浩然）
关键词：真空无奇点黑洞； 拟正则模； 6阶WKB近似
中图分类号： P 142.9 文献标志码： A 文章编号： 10005137（2015）02012205
黑洞是爱因斯坦广义相对论的重要预言之一.根据霍金和彭罗斯的黑洞奇点理论[1]，黑洞中不可避免地存在时空奇点.然而，奇点的存在使一切物理定律在这里都失效.因此，怎样避免黑洞中的奇点是非常重要的研究方向.1968 年Bardeen 构造了第一个无奇点黑洞，即存在事件视界的无奇点的黑洞，而且满足弱能量条件[2].尽管Bardeen 黑洞在理论上是自洽的，但它在物理解释上一直不令人满意.原因是爱因斯坦方程在中心处不存在真空解，如果要得到真空解必须引入额外的物质形式或者修改引力.直到AyonBeato 和Garcia[3]把它解释为与某种非线性磁单极子耦合的引力场，Bardeen 黑洞才得到大家的重视.
1992年，Dymnikova根据一个特殊形式的球对称的真空能动张量获得爱因斯坦方程的一个精确解析解，当r 足够大时，它与史瓦西解一致，当r 很小时，它的性质与de Sitter 解类似，但它在任何地方都不存在奇点[4].这个爱因斯坦方程解没有用到电动力学或其他的理论，所以通过对这个黑洞的扰动的拟正则模的研究，将有助于了解对不带电的无奇点黑洞的性质.
众所周知，存在于人们周围的每个物体当它们受到扰动时都产生专属于自己的振动的特征模.当黑洞受到物质场的扰动时，它会以引力波的形式产生辐射，从而产生属于自己的振动特征模.一般情况下只考虑线性微扰，这样扰动的能动张量在黑洞的背景度规中通过最低阶的线性近似才能被忽略不计.引力波在时空中的演化可以恰当地分为3个阶段，引力波的初始爆发阶段，此阶段依赖于扰动的初始条件，持续时间短，因此一般不作为研究对象.拟正则模阶段，属于较长时间的固有振荡的衰减期，它与初始条件无关，是黑洞的内禀振荡.晚期拖尾阶段，这个阶段引力波的衰减受到黑洞远处时空的反向散射，对于渐进平坦黑洞，拟正则模的衰减被幂律形式的衰减代替.
近年来，黑洞（包括非广义相对论中的黑洞）的拟正则模得到了广泛研究比如[5-6]，这方面的详细综述可见[7-8].其原因首先源于实验的兴趣.在不久的将来引力波很可能被LIGO，VIRGO和LISA 等引力探测器探测到.由于拟正则模只与黑洞的物理性质有关，所以这些探测将有助于鉴别黑洞的物理特性.另一方面则由于Ads/CFT 对应.AdS/CFT为应对一些困难的问题提供了新的思考问题的角度，例如黑洞信息不守恒，黑洞奇点的性质和量子引力等[9].在计算拟正则模方面，主要有连分数法，WKB 近似，PoshlTeller 势近似法，半解析的单值法等等，这方面的详细综述可见[10].这里本文作者应用Konoplya 给出的六阶WKB近似公式计算拟正则模[11].
3 结 论
鉴于黑洞在基础物理中的重要性，研究有黑洞的“声音”之称的拟正则模是很有意义的.本文作者研究了真空无奇点黑洞的标量场扰动并用6阶WKB方法计算了拟正则模在各种参数的变化下的数值，同时把结果跟史瓦西黑洞和Bardeen黑洞的拟正则模的相关结果做了比较.
首先，质量M的增大，拟正则模的实部和虚部也同时减小.它们的变换与史瓦西黑洞的情况相同，同时Bardeen 黑洞的拟正则模也是相同的变换趋势.对于n=1，拟正则模的实部随角量子数l的增加呈线性增加，虚部随角量子数l的增加而减小，最终随角量子数l的增大趋于一个稳定值.Bardeen 黑洞的拟正则模也是相同的变换趋势.
从图7和图8可以看出，当2r2o=1时和史瓦西黑洞（M=1）的拟正则模的虚部和实部近似重合，它们的变化可近似看做是线性的.结合图7～10，可以看到真空无奇点黑洞的拟正则模的实部和虚部大概在0<2r2o<1.3之间时变化不大.因此在0<2r2o<1.3 之间时，真空无奇点黑洞与史瓦西黑洞的差别不大，难以区分.之后实部先减小再增大，最后再减小.而虚部则与之相反.因此可以看出虚部和实部随r2o的变化都同时存在一个最大值和一个最小值.再看图7和图8，拟正则模的实部先是随泛音数n 的增大逐渐减小的（2r2o=1.6），然后变为线性的，之后随泛音数n 的增大而增大的（2r2o=2.0，2.3）.虚部随泛音数的变化先是随泛音数n的增大逐渐增大的（2r2o=1.6），然后变为线性的，之后随泛音数n的增大先是增大而后再减小（2r2o=2.0，2.3），此时拟正则模的虚部随泛音数n的变换存在最大值.这些结果表明，真空无奇点黑洞有着普通有奇点黑洞的不同特征，这可能与对引力本质的理解有重要关系，值得再深入研究.
参考文献：
[1] HAWKING S W，PENROSE R.The singularities of gravitational collapse and cosmology[M].London：Proc Roy Soc Lon A，1970.
[2] BARDEEN J M.Proceedings of GR5[M].USSR：Tbilisi，1968.
[3] AYNBEATO E，GARCA A.The Bardeen Model as a Nonlinear Magnetic Monopole[J].Physics Letters B，2000，493（1-2）：149152. [4] DYMNIKOVA I.Vacuum Nonsingular Black Hole[J].Gen Relativ Gravit，1992，24：235-242.
[5] LI X Z，HAO J G，LIU D J.Quasinormal modes of string black hole[J].Phy Lett B，2001，507：312-361.
[6] LIU D J，YANG B，ZHAI Y J，et al.Quasinormal modes for asymptotic safe black holes[J].Class Quantum Gravity，2012，29：145009.
[7] NOLLERT H P.Quasinormal modes：the characteristic ′sound′ of black holes and neutron stars[J].Class Quantum Gravity，1999，16：159-216.
[8] BERTI E，CARDOSO V，STARINETS A O.Quasinormal modes of black holes and black branes[J].Classical Quantum Gravity，2009，26：163001.
[9] HOD S.Bohr′s Correspondence Principle and the Area Spectrum of Quantum Black Holes [J].Phys Rev Lett，1998，81：4293-4296.
[10] KONOPLYA R A，ZHIDENKO A.Quasinormal modes of black holes：From astrophysics to string theory[J].Rev Mod Phys，2011，83（3）：793-836.
[11] KONOPLYA L R A.Quasinormal behavior of the Ddimensional Schwarzschild black hole and the higher order WKB approach[J].Phys Rev D，2003，68：024018.
[12] CHANDRASEKHAR S.The Mathematical Theory of Black Holes[M].London：Oxford University Press，1992.
[13] IYER S，WILL C M.Blackhole normal modes：A WKB approach.I.Foundations and application of a higherorder WKB analysis of potentialbarrier scattering[J].Phys Rev D，1987，35（12）：3621-3631.
[14] FERNANDO S，CORREA J.Quasinormal modes of the Bardeen black hole：Scalar perturbations[J].Phys Rev D，2012，86：064039.
Abstract：：In this paper，we investigate quasinormal mode（QNM） of the spherically symmetric BH with de Sitter centre due to scalar perturbations.This BH is，geometrically，asymptotically Schwarzschild for large r and asymptotically de Sitter as r → 0.We analyze the QNM ω by varying the parameter r0 （it is related to cosmological constant），spherical harmonic index l，overtune n and the BH mass M.
According to calculations，we find that the QNM Lhave maximum and minimum with a changing r0，and for some r0 it is worthy to attention that the QNM have extreme with a changing overtune n
Key words：vacuum nonsingular BH； QNM； 6order WKB approximation
（责任编辑：顾浩然）