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我所讲的数学，与大家学过的、听说过的数学，不太一样。它既不是如何解题，也不是如何计算。这个课程叫做：理解数学。就是如何理解数学和做数学理解的意思。
理解和应用，在数学学习和教学中至关重要，其重要性远远超过了我们意识到的程度。如何理解数学总述，围绕如何理解数学和如何做数学理解（也即数学阅读），针对初等数学，主要包括如何理解数学：即数学是什么、有什么用、如何用；如何理解数：即数字、代数、计算是什么、有什么用、如何用；如何理解形：即图形、几何、证明是什么、有什么用、如何用；如何理解分析：统计、函数、微积分是什么、有什么用、如何用。
数学到底是什么？为什么人们纷纷反映数学难学、难教、难用？
2014年国家公布招生考试方案消息后，在互联网上曾掀起一股热潮：让数学滚出高考。很多人抱怨，学了十几年数学，到头来只有买菜时用得上。
事实上，这些难题一直困扰着我国的数学教育，是我国数学教育中的普遍难题，在数学教育中几乎成了望而却步的高山峻岭。数学学习与教学之难之尴尬，与英语学习与教学之难之尴尬，成为我国基础教育乃至高等教育中的两座困难大山。要拔掉这座困难之山，可能就需要先把这三个问题搞清楚。
是不是所有国家、所有人学习数学和数学教学都这么困难呢？显然不是。看看世界数学史上的那些灿若群星的数学家、看看古希腊时期数学发现等，我们就知道数学与其他学科和技艺一样，并没有什么特殊难度，而且在一定程度上学习的难度要低于语言之外的其他学科。我们再看看欧美主要国家，他们的学生学习数学从来没有像我们的学生学习数学这么困难过，学习数学对美国和欧洲的孩子们而言，比学习其他学科反而容易——这是不是有点意外？超出了我们平时的
常识？
若干年前轰动全国的《素质教育在美国》、《高考在美国》的作者黄全愈博士是我的好友。黄博士不是数学专业，而且似乎数学能力很一般，他的妻子陈彤女士也不是数学专业，然而他们的儿子矿矿刚开始数学虽然不太好，但到了小学三四年级，矿矿开始自学数学，小学毕业前自学完了高中数学。矿矿学习数学的经历曾轰动一时。我曾经仔细问过黄全愈博士，矿矿自学数学困难不？是不是孩子的数学天分高？黄博士说：NO！矿矿的数学天分应该一般；他自学数学快乐得很，而且学得很快，至少比其他学科快得多。黄老师的话我信服，而且我自己就是从小学一路自学数学过来的，我很少听老师的数学课，但看了很多数学方面的书。那么，为何数学教育和数学学习在我国这么困难、在绝大多数学生和教师那里成为学习、教学困难之山呢？
其实这问题也很简单，只要试图回答清楚三个问题，看看回答的过程和结果就知道原因了：什么是数学？组成数学的最基本要素是什么？学习数学有啥用？
我们再回想一下，我们可以经常阅读各种书籍，唯独不阅读数学。而且甚至于一提数学阅读，很多人就说：数学怎么阅读？！数学是阅读的吗？如果再问学数学有啥用？如果大家诚实，就会说：算数、测量用。这显然不是数学的全部吧？
由此，一个基本的事实就暴露出来：我们竟然不了解、不理解、不会用数学。换句话说，我们对数学竟然缺乏基本的认知、理解和应用。数学的存在、意义和价值，我们竟然所知甚少。而我们对除外语和数学之外的其他学科，却不是如此。
数学，对我国绝大多数人而言，实际上就是：算数和图形；换言之，数学就是中国铁器时代之前的算数和画图；数学不是古希腊数学和源自古埃及、古阿拉伯、古希腊的近现代数学，而是中国数学——算术和图形。
数学学习与教学困难的基本原因就暴露出来了。
对学习现代数学而言，我们缺乏最基本的历史和文化、认知和理解。数学，不是中国算术和图形；算术和图形只是组成数学的原始的基本的部分原材料。近现代数学，对我国而言，是舶来品，完全的舶来品，这就如英语一样。换句话说，我们按照中国数学文化和思想来学习现代数学，此路不通。如果按照现代数学本身学习和教学，那我们缺乏必需的基本资源和路径——历史、文化，认知、理解。这里指的是现代数学本身的历史、文化和认知、理解方法，而非中国数学的历史、文化和认知、理解方法。
数学，对我们而言为何那么难以了解和理解？因为我们的数学学习和教学中缺乏最基本的土壤和空气——现代数学的历史、文化和思想；数学，对我们而言为何那么难以学习和应用？因为我们的数学学习和教学中缺乏最基本的营养和氧气——现代数学的思维、方法和实践。我们现在学习、教学的课本、课标等，属于现代数学中的初等数学，而初等数学就是古希腊数学至16世纪的数学。这是西方的数学史，当然也是西方的数学文化。我国的数学教育，非但不教授西方数学史和文化，而且是用中国古代近代数学史和文化来替代。——其恶果不言而喻。
我们学习的数学为何抽象、苦涩、难懂？！脱离了史实和事实的符号世界，岂能不抽象、难懂和苦涩？如何理解数学，从以上文字中，相信大家已有感触：必须拿起古希腊数学史、近现代数学史；重回古希腊、西方近现代文化，尤其是数学文化；找回数学史实和事实。
如何理解和应用数学？让我们重回数学史、文化、思维、方法产生的时空，一步步走到现代文明，建构数学感知、认知、探知的思维和方法。
数学（mathematics），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
数学（汉语拼音：shùxué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μθημα，其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。在中国古代，“数学”叫作算术，又称算学，后改为数学。中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为“数”）。请注意：西方古代数学的原意，是学问、哲学的起点、学问的基础。而中国古代数学则是算术、算学两者，有天壤之别。 数学起源于人类很具体、具象的生存、生活与生产的需求，人类对生存、生活和生产所必须和必需的、有兴趣的、好奇的物和事，需要认知和理解，也需要区分与解释。这是数学产生的根本源头、动力和目的。那么，为什么对物和事的认知和理解以及区分与解释，就产生了数学呢？这取决于人类是如何认知和理解（区分和解释）物（食物、器物等）和事（人与人之间、人与物之间等发生的关系和变化），是人类生存、生活、生产所必须面对和所必需认知、理解及区分、解释的。比如，原始人类活着的每一天，必须面对各种食物、使用各种器物，必须面对各种事务（关系和变化）。面对的同时，首先是必须认知和理解各种食物、器物、事务，还必须面对向同伴或其他人做指示、区分和解释。人类对物和事的认知，首先是辨认“是什么”、“怎么吃或用”等，由此逐渐产生了标记、表示和表达——由“记物、记事”需求造成了文字的产生和发展；其次是辨认“有多少”、“有多大”等，由此逐渐产生了多少、多大等标记、表示和表达由“计物、计事”需求造就了数字和图形的产生和发展。
人类对物和事的理解，首先是区分和数量、测量。区分物和事，是基于对其形状、形式的辨认，由此产生了象形、会意等；而对物和事的准确理解，则导致了进行数量和测量。随着人类接触和使用的事和物范围及深度增大，对物和事的认知和理解逐步扩展和加深，导致“记物、记事”与“计物、计事”开始融合，分类、比较、分拆、组合逐步产生并形成思维方法。由分类、比较的扩展和深化，归纳意识和方法产生并发展；由分拆、组合的扩展和深化，推理意识和方法产生并发展。
随着人类认识和理解，以及表达和解释的发展，由对物、事的“分类 比较”思维逐步产生了定义、概念；由“分类 比较” “分拆 组合”产生了以概念为基础的推理——形式逻辑出现。由对物、事的追求彻底分类、比较，分类法和分类规则的出现，导致归纳法的深度发展。同时，因为对必然和或然的感知积累，也分别导致了对因果律和统计律的追求，这也是出现逻辑和统计（归纳）的原因之一。总之，数学的起源和初始并不抽象；数学的对象、方法、规则等也不抽象。人类的所谓抽象，本质是去形象、形状、形式化，以特征和指代来表征物、事；也是要大量、简洁的标示、表示和表达目的、方法和规则的需要。由此，是因为字系、数系、形系、方法系、规则的发展，导致数学逐步远离了具象（形象、形状、形式），而走向了抽象（特征、指代、指事）等。
乘法与除法，其实质是：基数与序数之间的运算而我国数学不讲这个，只做还原为加减法和格式律，这是有问题的，比如：乘法，实质是：基础×序数，也即，个数与位置之间的关系和加合而除法，实质是分配法：基数分配给序数——个数分配给位置数学，其基本要素就是：数、形、规则。
在数学基础研究上，有三种基本研究——可以视作三种基本规则：直观、逻辑、形式。换句话说，类似“1 1=2”这种，一般而言，必须符合直观、逻辑、形式规则，才能被认同。所谓直观，可以理解成：符合人类的感知和经验；所谓逻辑，也就是形式逻辑了——大前提、小前提、结论；所谓形式，即抽象结构，构造直观就如两点确定一条直线。逻辑也能理解，就是直观难理解。其实直观最好理解。直观，你可以看成是事实或实物或存在。
我们的现状是：很多人学的数学与生活是脱离的。都知道数学的一些统筹方法好，做事效率高。一旦到现实生活中，很少有人用数学思维去思考，用数学习惯去改变我们的生活。作为数学教师，我们任重而道远。
（作者单位：公众教育研究院）
理解和应用，在数学学习和教学中至关重要，其重要性远远超过了我们意识到的程度。如何理解数学总述，围绕如何理解数学和如何做数学理解（也即数学阅读），针对初等数学，主要包括如何理解数学：即数学是什么、有什么用、如何用；如何理解数：即数字、代数、计算是什么、有什么用、如何用；如何理解形：即图形、几何、证明是什么、有什么用、如何用；如何理解分析：统计、函数、微积分是什么、有什么用、如何用。
数学到底是什么？为什么人们纷纷反映数学难学、难教、难用？
2014年国家公布招生考试方案消息后，在互联网上曾掀起一股热潮：让数学滚出高考。很多人抱怨，学了十几年数学，到头来只有买菜时用得上。
事实上，这些难题一直困扰着我国的数学教育，是我国数学教育中的普遍难题，在数学教育中几乎成了望而却步的高山峻岭。数学学习与教学之难之尴尬，与英语学习与教学之难之尴尬，成为我国基础教育乃至高等教育中的两座困难大山。要拔掉这座困难之山，可能就需要先把这三个问题搞清楚。
是不是所有国家、所有人学习数学和数学教学都这么困难呢？显然不是。看看世界数学史上的那些灿若群星的数学家、看看古希腊时期数学发现等，我们就知道数学与其他学科和技艺一样，并没有什么特殊难度，而且在一定程度上学习的难度要低于语言之外的其他学科。我们再看看欧美主要国家，他们的学生学习数学从来没有像我们的学生学习数学这么困难过，学习数学对美国和欧洲的孩子们而言，比学习其他学科反而容易——这是不是有点意外？超出了我们平时的
常识？
若干年前轰动全国的《素质教育在美国》、《高考在美国》的作者黄全愈博士是我的好友。黄博士不是数学专业，而且似乎数学能力很一般，他的妻子陈彤女士也不是数学专业，然而他们的儿子矿矿刚开始数学虽然不太好，但到了小学三四年级，矿矿开始自学数学，小学毕业前自学完了高中数学。矿矿学习数学的经历曾轰动一时。我曾经仔细问过黄全愈博士，矿矿自学数学困难不？是不是孩子的数学天分高？黄博士说：NO！矿矿的数学天分应该一般；他自学数学快乐得很，而且学得很快，至少比其他学科快得多。黄老师的话我信服，而且我自己就是从小学一路自学数学过来的，我很少听老师的数学课，但看了很多数学方面的书。那么，为何数学教育和数学学习在我国这么困难、在绝大多数学生和教师那里成为学习、教学困难之山呢？
其实这问题也很简单，只要试图回答清楚三个问题，看看回答的过程和结果就知道原因了：什么是数学？组成数学的最基本要素是什么？学习数学有啥用？
我们再回想一下，我们可以经常阅读各种书籍，唯独不阅读数学。而且甚至于一提数学阅读，很多人就说：数学怎么阅读？！数学是阅读的吗？如果再问学数学有啥用？如果大家诚实，就会说：算数、测量用。这显然不是数学的全部吧？
由此，一个基本的事实就暴露出来：我们竟然不了解、不理解、不会用数学。换句话说，我们对数学竟然缺乏基本的认知、理解和应用。数学的存在、意义和价值，我们竟然所知甚少。而我们对除外语和数学之外的其他学科，却不是如此。
数学，对我国绝大多数人而言，实际上就是：算数和图形；换言之，数学就是中国铁器时代之前的算数和画图；数学不是古希腊数学和源自古埃及、古阿拉伯、古希腊的近现代数学，而是中国数学——算术和图形。
数学学习与教学困难的基本原因就暴露出来了。
对学习现代数学而言，我们缺乏最基本的历史和文化、认知和理解。数学，不是中国算术和图形；算术和图形只是组成数学的原始的基本的部分原材料。近现代数学，对我国而言，是舶来品，完全的舶来品，这就如英语一样。换句话说，我们按照中国数学文化和思想来学习现代数学，此路不通。如果按照现代数学本身学习和教学，那我们缺乏必需的基本资源和路径——历史、文化，认知、理解。这里指的是现代数学本身的历史、文化和认知、理解方法，而非中国数学的历史、文化和认知、理解方法。
数学，对我们而言为何那么难以了解和理解？因为我们的数学学习和教学中缺乏最基本的土壤和空气——现代数学的历史、文化和思想；数学，对我们而言为何那么难以学习和应用？因为我们的数学学习和教学中缺乏最基本的营养和氧气——现代数学的思维、方法和实践。我们现在学习、教学的课本、课标等，属于现代数学中的初等数学，而初等数学就是古希腊数学至16世纪的数学。这是西方的数学史，当然也是西方的数学文化。我国的数学教育，非但不教授西方数学史和文化，而且是用中国古代近代数学史和文化来替代。——其恶果不言而喻。
我们学习的数学为何抽象、苦涩、难懂？！脱离了史实和事实的符号世界，岂能不抽象、难懂和苦涩？如何理解数学，从以上文字中，相信大家已有感触：必须拿起古希腊数学史、近现代数学史；重回古希腊、西方近现代文化，尤其是数学文化；找回数学史实和事实。
如何理解和应用数学？让我们重回数学史、文化、思维、方法产生的时空，一步步走到现代文明，建构数学感知、认知、探知的思维和方法。
数学（mathematics），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
数学（汉语拼音：shùxué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μθημα，其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。在中国古代，“数学”叫作算术，又称算学，后改为数学。中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为“数”）。请注意：西方古代数学的原意，是学问、哲学的起点、学问的基础。而中国古代数学则是算术、算学两者，有天壤之别。 数学起源于人类很具体、具象的生存、生活与生产的需求，人类对生存、生活和生产所必须和必需的、有兴趣的、好奇的物和事，需要认知和理解，也需要区分与解释。这是数学产生的根本源头、动力和目的。那么，为什么对物和事的认知和理解以及区分与解释，就产生了数学呢？这取决于人类是如何认知和理解（区分和解释）物（食物、器物等）和事（人与人之间、人与物之间等发生的关系和变化），是人类生存、生活、生产所必须面对和所必需认知、理解及区分、解释的。比如，原始人类活着的每一天，必须面对各种食物、使用各种器物，必须面对各种事务（关系和变化）。面对的同时，首先是必须认知和理解各种食物、器物、事务，还必须面对向同伴或其他人做指示、区分和解释。人类对物和事的认知，首先是辨认“是什么”、“怎么吃或用”等，由此逐渐产生了标记、表示和表达——由“记物、记事”需求造成了文字的产生和发展；其次是辨认“有多少”、“有多大”等，由此逐渐产生了多少、多大等标记、表示和表达由“计物、计事”需求造就了数字和图形的产生和发展。
人类对物和事的理解，首先是区分和数量、测量。区分物和事，是基于对其形状、形式的辨认，由此产生了象形、会意等；而对物和事的准确理解，则导致了进行数量和测量。随着人类接触和使用的事和物范围及深度增大，对物和事的认知和理解逐步扩展和加深，导致“记物、记事”与“计物、计事”开始融合，分类、比较、分拆、组合逐步产生并形成思维方法。由分类、比较的扩展和深化，归纳意识和方法产生并发展；由分拆、组合的扩展和深化，推理意识和方法产生并发展。
随着人类认识和理解，以及表达和解释的发展，由对物、事的“分类 比较”思维逐步产生了定义、概念；由“分类 比较” “分拆 组合”产生了以概念为基础的推理——形式逻辑出现。由对物、事的追求彻底分类、比较，分类法和分类规则的出现，导致归纳法的深度发展。同时，因为对必然和或然的感知积累，也分别导致了对因果律和统计律的追求，这也是出现逻辑和统计（归纳）的原因之一。总之，数学的起源和初始并不抽象；数学的对象、方法、规则等也不抽象。人类的所谓抽象，本质是去形象、形状、形式化，以特征和指代来表征物、事；也是要大量、简洁的标示、表示和表达目的、方法和规则的需要。由此，是因为字系、数系、形系、方法系、规则的发展，导致数学逐步远离了具象（形象、形状、形式），而走向了抽象（特征、指代、指事）等。
乘法与除法，其实质是：基数与序数之间的运算而我国数学不讲这个，只做还原为加减法和格式律，这是有问题的，比如：乘法，实质是：基础×序数，也即，个数与位置之间的关系和加合而除法，实质是分配法：基数分配给序数——个数分配给位置数学，其基本要素就是：数、形、规则。
在数学基础研究上，有三种基本研究——可以视作三种基本规则：直观、逻辑、形式。换句话说，类似“1 1=2”这种，一般而言，必须符合直观、逻辑、形式规则，才能被认同。所谓直观，可以理解成：符合人类的感知和经验；所谓逻辑，也就是形式逻辑了——大前提、小前提、结论；所谓形式，即抽象结构，构造直观就如两点确定一条直线。逻辑也能理解，就是直观难理解。其实直观最好理解。直观，你可以看成是事实或实物或存在。
我们的现状是：很多人学的数学与生活是脱离的。都知道数学的一些统筹方法好，做事效率高。一旦到现实生活中，很少有人用数学思维去思考，用数学习惯去改变我们的生活。作为数学教师，我们任重而道远。
（作者单位：公众教育研究院）