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结论1 设椭圆方程x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上且∠F1PF2=θ，求证S△F1PF2=b2tanθ2（0＜θ＜π）
证明：由余弦定理：(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cosθ，
4c2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cosθ，|PF1|•|PF2|=2b21+cosθ.所以S△F1PF1=12|PF1|•|PF2|sinθ=12•2b21+cosθ•sinθ=b2tanθ2.（当θ=0时，公式仍然实用）
运用举例
例1 （2000年全国.14）已知：椭圆x29+y24=1上的两个焦点F1，F2，P，点为是椭圆的动点，当∠F1PF2为钝角时，则P点的横坐标的取值范围是 .
分析：当∠F1PF2为钝角时，求P点的横坐标的取值范围，如果我们能找到∠F1PF2为直角时，P点的横坐标，那么就可以由图形确定∠F1PF2为钝角时，P点的横坐标的取值范围.
解：由椭圆方程，得a2=9，b2=4，c=5，若∠F1PF2=90°，由S△F1PF2=b2tanθ2得b2tanθ2=12•2c•|y|，易得|y|=455代入椭圆方程得x29+45524=1，x=±355，所以P点的横坐标的取值范围是-355，355
例2 （2003年北京春.15）已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是 .
分析：当连接PF1时发现，△F1PF2为直角三角形，∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积为23，运用S△F1PF1=b2tanθ2，立刻可以求解.
解：连接PF1，易知∠F1PF2=90°，S△F1PF2=23，由S△F1PF2=b2tanθ2知b2=23
例3 （2004年湖南文.15）.已知：P点为椭圆x28+y24=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，满足PF1•PF2=0的P点的个数为 .
分析：因为∠F1PF2=90°，所以运用S△F1PF2=b2tanθ2解本题比较方便.
解：由PF1•PF2=0得∠F1PF2=90°.由S△F1PF2=b2tanθ2得b2tanθ2=12•2c•|y|
∵ a2=8，b2=4，c2=a2-b2，∴ c=2，∴ |y|=2，y=±2.易知P点个数为2.
例4 (2009上海9) 已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上一点，且PF1⊥PF2,若△F1PF2的面积为9，则b= .
解：∵ PF1⊥PF2，∴ ∠F1PF2=90°.由S△F1PF2=b2tanθ2知b=3
例5 （2009江西理6）过椭圆x2a2+t2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率是 .
解：由题意知：在直角三角形F1PF2中，两直角边F1P=b2a，F1F2=2c，∠F1PF2=60°，由S△F1PF2=b2tanθ2知b2tan30°=12•2c•b2a，e=33.
结论2.设双曲线方程x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且∠F1PF2=θ，求证S△F1PF2=b2cotθ2（0＜θ＜π）
证明：由余弦定理：（2c）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cosθ，
4c2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cosθ，
|PF1|•|PF2|=2b21-cosθ.
所以S△F1PF2=12|PF1|•|PF2|sinθ=12•2b21-cosθ•sinθ=b2cotθ2.（当θ=π时，公式仍然实用）
运用举例
例6 （2001全国、广东、河南，14）双曲线x29-y216=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则P到x轴的距离为 .
分析：因为PF1⊥PF2，所以△F1PF2为直角三角形，求P到x轴的距离，自然想到等面积方法.
解：由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5,∵ PF1⊥PF2 ∴ ∠F1PF2=90°，S△F1PF2=b2cotθ2=12•2c•|y| ∴ 16=12•2c•|y|=5|y|，|y|=165，所以P到x轴的距离为165
例7 (2007全国Ⅱ，11)设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为 .
解：由|AF1|=3|AF2|，知|AF2|=a，|AF1|=3a.又F1AF2=90°，故S△F1PF2=b2cot∠F1PF22=12PF1•PF2. b2=12•a•3a，b2a2=32，e=1+b2a2=102.
例8 （2008陕西理9）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1,F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于轴，则双曲线的离心率为 .
解：易知θ=60°，|MF2|=b2a，所以b2cotθ2=b2cot30°=12•2c•b2a，e=3.
例9 (2008福建理，11) 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围 .
分析：本题虽然不知∠F1PF2是多少，但由|PF1|=2|PF2|和双曲线定义可求出|PF2|、|PF1|的值，再运三角形面积公式S△=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2和S△F1PF2=b2cotθ2，问题得到解决.
解：设∠F1PF2=θ（0＜θ≤π），由|PF1|=2|PF2|得，|PF2|=2a，|PF1|=4a
所以b2cotθ2=12•2a•4a•sinθ，e2-1=8sinθ2，因为0＜θ≤π，所以0＜θ2≤π2
所以e2-1≤8，1＜e≤3.
例10 （2009重庆理，15）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1(-c，0)，F2(-c，0)，若双曲线上存在点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
分析：由例9解法得到启发，本题运用等积法可以解决.
解：∵ sin∠PF1F2sin∠PF2F1=|PF2|PF2(有正弦定理). ∴ |PF2|PF1=ac=1e.∴ |PF1|=e|PF2|.
又∵ |PF1|-|PF2|=2a，∴ |PF2|=2ae-1（e＞1），|PF1|=2eae-1.设∠F1PF2=θ（0＜θ＜π）.
则b2cotθ2=12|PF1||PF2|sinθ. b2cosθ2sinθ2=122eae-1•2ae-1•2sinθ2cosθ2.
4e（e-1）2•cosθ22=b2a2=e2-1.
∵ 0＜θ＜π，
∴ 0＜θ2＜π2，cosθ2＜1.
∴ (e2-1)(e-1)2＜4e，e4-2e3+e2-e2-2e-1＜0
（e2+1）(e2-2e-1)＜0，e2-2e-1＜0，∴ 1＜e＜2+1.
点评：椭圆或双曲线上一点，与椭圆或双曲线的两个焦点，构成的三角形是近几年高考常考的题目.以上十道题从不同角度考查椭圆和双曲线相关性质，但解题的手法，都是运用S△F1PF2=b2tanθ2，S△F1PF2=b2cotθ2来寻找思路和解题方法的，解题方法比较简单，特别是当∠F1PF2为特殊角时，解题更为方便.在近十年全国和各省市高考中，这类题目还有不少，像2005年全国Ⅱ，理6，2004年湖北，理6等等，几乎年年都考，要引起特别重视.
证明：由余弦定理：(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cosθ，
4c2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cosθ，|PF1|•|PF2|=2b21+cosθ.所以S△F1PF1=12|PF1|•|PF2|sinθ=12•2b21+cosθ•sinθ=b2tanθ2.（当θ=0时，公式仍然实用）
运用举例
例1 （2000年全国.14）已知：椭圆x29+y24=1上的两个焦点F1，F2，P，点为是椭圆的动点，当∠F1PF2为钝角时，则P点的横坐标的取值范围是 .
分析：当∠F1PF2为钝角时，求P点的横坐标的取值范围，如果我们能找到∠F1PF2为直角时，P点的横坐标，那么就可以由图形确定∠F1PF2为钝角时，P点的横坐标的取值范围.
解：由椭圆方程，得a2=9，b2=4，c=5，若∠F1PF2=90°，由S△F1PF2=b2tanθ2得b2tanθ2=12•2c•|y|，易得|y|=455代入椭圆方程得x29+45524=1，x=±355，所以P点的横坐标的取值范围是-355，355
例2 （2003年北京春.15）已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是 .
分析：当连接PF1时发现，△F1PF2为直角三角形，∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积为23，运用S△F1PF1=b2tanθ2，立刻可以求解.
解：连接PF1，易知∠F1PF2=90°，S△F1PF2=23，由S△F1PF2=b2tanθ2知b2=23
例3 （2004年湖南文.15）.已知：P点为椭圆x28+y24=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，满足PF1•PF2=0的P点的个数为 .
分析：因为∠F1PF2=90°，所以运用S△F1PF2=b2tanθ2解本题比较方便.
解：由PF1•PF2=0得∠F1PF2=90°.由S△F1PF2=b2tanθ2得b2tanθ2=12•2c•|y|
∵ a2=8，b2=4，c2=a2-b2，∴ c=2，∴ |y|=2，y=±2.易知P点个数为2.
例4 (2009上海9) 已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上一点，且PF1⊥PF2,若△F1PF2的面积为9，则b= .
解：∵ PF1⊥PF2，∴ ∠F1PF2=90°.由S△F1PF2=b2tanθ2知b=3
例5 （2009江西理6）过椭圆x2a2+t2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率是 .
解：由题意知：在直角三角形F1PF2中，两直角边F1P=b2a，F1F2=2c，∠F1PF2=60°，由S△F1PF2=b2tanθ2知b2tan30°=12•2c•b2a，e=33.
结论2.设双曲线方程x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且∠F1PF2=θ，求证S△F1PF2=b2cotθ2（0＜θ＜π）
证明：由余弦定理：（2c）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cosθ，
4c2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cosθ，
|PF1|•|PF2|=2b21-cosθ.
所以S△F1PF2=12|PF1|•|PF2|sinθ=12•2b21-cosθ•sinθ=b2cotθ2.（当θ=π时，公式仍然实用）
运用举例
例6 （2001全国、广东、河南，14）双曲线x29-y216=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则P到x轴的距离为 .
分析：因为PF1⊥PF2，所以△F1PF2为直角三角形，求P到x轴的距离，自然想到等面积方法.
解：由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5,∵ PF1⊥PF2 ∴ ∠F1PF2=90°，S△F1PF2=b2cotθ2=12•2c•|y| ∴ 16=12•2c•|y|=5|y|，|y|=165，所以P到x轴的距离为165
例7 (2007全国Ⅱ，11)设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为 .
解：由|AF1|=3|AF2|，知|AF2|=a，|AF1|=3a.又F1AF2=90°，故S△F1PF2=b2cot∠F1PF22=12PF1•PF2. b2=12•a•3a，b2a2=32，e=1+b2a2=102.
例8 （2008陕西理9）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1,F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于轴，则双曲线的离心率为 .
解：易知θ=60°，|MF2|=b2a，所以b2cotθ2=b2cot30°=12•2c•b2a，e=3.
例9 (2008福建理，11) 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围 .
分析：本题虽然不知∠F1PF2是多少，但由|PF1|=2|PF2|和双曲线定义可求出|PF2|、|PF1|的值，再运三角形面积公式S△=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2和S△F1PF2=b2cotθ2，问题得到解决.
解：设∠F1PF2=θ（0＜θ≤π），由|PF1|=2|PF2|得，|PF2|=2a，|PF1|=4a
所以b2cotθ2=12•2a•4a•sinθ，e2-1=8sinθ2，因为0＜θ≤π，所以0＜θ2≤π2
所以e2-1≤8，1＜e≤3.
例10 （2009重庆理，15）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1(-c，0)，F2(-c，0)，若双曲线上存在点P使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
分析：由例9解法得到启发，本题运用等积法可以解决.
解：∵ sin∠PF1F2sin∠PF2F1=|PF2|PF2(有正弦定理). ∴ |PF2|PF1=ac=1e.∴ |PF1|=e|PF2|.
又∵ |PF1|-|PF2|=2a，∴ |PF2|=2ae-1（e＞1），|PF1|=2eae-1.设∠F1PF2=θ（0＜θ＜π）.
则b2cotθ2=12|PF1||PF2|sinθ. b2cosθ2sinθ2=122eae-1•2ae-1•2sinθ2cosθ2.
4e（e-1）2•cosθ22=b2a2=e2-1.
∵ 0＜θ＜π，
∴ 0＜θ2＜π2，cosθ2＜1.
∴ (e2-1)(e-1)2＜4e，e4-2e3+e2-e2-2e-1＜0
（e2+1）(e2-2e-1)＜0，e2-2e-1＜0，∴ 1＜e＜2+1.
点评：椭圆或双曲线上一点，与椭圆或双曲线的两个焦点，构成的三角形是近几年高考常考的题目.以上十道题从不同角度考查椭圆和双曲线相关性质，但解题的手法，都是运用S△F1PF2=b2tanθ2，S△F1PF2=b2cotθ2来寻找思路和解题方法的，解题方法比较简单，特别是当∠F1PF2为特殊角时，解题更为方便.在近十年全国和各省市高考中，这类题目还有不少，像2005年全国Ⅱ，理6，2004年湖北，理6等等，几乎年年都考，要引起特别重视.