不等式中恒成立问题是高中学习常见的问题,而含参数的不等式“恒成立”问题是各级各类考试中常见的题型之一。由于这类问题难度大,不容易理清头绪,解决这类问题主要是运用化归与转化的数学思想,借助函数不等式的性质予以求解,下面介绍几种求解此类问题的策略。
　　1判别式法
　　若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数,有
　　1) 对 恒成立
　　2) 对恒成立
　　例1.已知函数的定义域为R,求实数的取值范围。
　　解:由题设可将问题转化为不等式对恒成立,即有 解得。
　　所以实数的取值范围为。
　　2最值法
　　将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有或,则恒成立的最大值; 恒成立的最小值。
　　例2.若函数,时恒成立,则实数a的取值
　　范围是________。
　　分析:由于x>0,所以可以将问题转化为对恒成立。
　　令,则只要求g(x)在 上的最小值即可。
　　由可知g(x)在上为减函数,故g(x)在上的最小值为g(4)=0,所以a<0,即a的取值范围为。
　　3分离变量法
　　若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:
　　1) 恒成立
　　2)恒成立
　　例3.已知函数,时恒成立,求实数的取值范围。
　　解:将问题转化对恒成立。
　　令,则
　　由可知在上为减函数,故
　　∴a<0即的取值范围为。
　　注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。
　　4数形结合法
　　数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系:
　　1)函数图象恒在函数图象上方;
　　2)函数图象恒在函数图象下上方。
　　例4:设,,若恒有成立,求实数的取值范围。
　　分析:在同一直角坐标系中作出及的图象
　　如图所示,的图象是半圆
　　的图象是平行的直线系。
　　要使恒成立,
　　则圆心到直线的距离
　　滿足
　　解得(舍去)
　　由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。