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摘 要：随着高中数学教学改革的推进，数学解题思维培养问题也引起了人们的重视。基于这种认识，本文对波利亚解题模型展开了分析，并对模型在高中数学解题教学中的运用展开了探讨，从而提供一个数学解题思维的培养方法。
关键词：波利亚解题模型；解题计划拟定；解题过程回顾
1引言
在高中阶段，教师十分注重学生的解题训练。但就目前来看，高中数学解题教学过于注重解题技巧的掌握，忽视了解题思维的培养。运用波利亚解题模型，则能通过分解解题过程引导学生理清解题思路，从而更好的完成学生解题思维的培养。因此，还应加强对波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析，以便有效提升高中数学教学水平。
2波利亚解题模型概述
所谓的波利亚解题模型，其实就是由理解题目、拟定方案、执行方案、回顾这四个阶段构成的数学解题过程。在波利亚编写的《怎样解题表》中，其将解题四个阶段划分为理解题目、拟定计划、执行计划和回顾。其中，理解问题指的是将问题已知条件、结构特征及求解目标理解清楚。而拟定计划则是根据已知条件间的关系及其与未知内容的逻辑关系确立问题解决思路，并根据思路拟定解题计划。所谓的执行计划，就是按照计划实施解题。最后，通过回顾解题过程，可确认得到的结果是否正确。
3波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用
在高中数学解题教学中应用波利亚解题模型，还要通过解题加强对这一解题程序的应用，以便通过实践探索掌握模型的运用方法。
例1已知ABCD为圆内接四边形，如下图2所示，AB上另有一圆⊙O的圆心，并且该圆与其它三边相切，求证AB=AD+BC。
3.1理解问题
在运用波利亚解题模型解决上述问题时，首先需要理解问题。作为解决问题的第一个步骤，能否正确认识问题直接关系到能否顺利解题。所以，理解问题为模型构建的关键前提，还要加强题目的分析，以便得到题目中的各种条件和结论。在例题中，第一个条件应该为四边形ABCD为圆内接四边形。而第二个条件也比较明显，就是圆⊙O的圆心在四边形的边AB上。此外，第三个条件为圆⊙O与四边形除AB以外的其他三边相切。最后，例题需要得到AB=AD+BC的结论。在这一阶段，教师需要引导学生回忆之前学习有关圆内接四边形的知识点，以便了解问题解答的关键。
3.2拟定方案
在数学解题中，运用波利亚解题模型最重要的就是拟定方案的环节。在这一环节，需要利用已有的知识和经验给出解题思路。想要达成这一目的，不仅要明确已知量间的关系，还要确定未知量与各条件的关系，才能完成解题计划的合理拟定。比如在解答上述例题时，可以从结论入手，即考虑之前是否解答过两条线段长度和为一条线段长度的问题。在解答这类问题时，总是需要连接线段或截断线段，所以可以尝试将AD和BC连接在一起或将AB截成两段。但是，采用该种解题方法需求解三條线段长度，具有一定的难度。而除了从几何角度思考如何解题，也可以从函数的角度解决问题，即不求解三条线段的长度，而是采用三角函数式将三条线段表达式写出，从而得到相等的关系。在学生提出解题思路后，教师需要与学生一同讨论，以便使学生从中获得启发。通过适当点评，教师则能引导学生提出新的解题思路。根据四边形为圆内接四边形的性质可知，对角相加结果为180°。为列出三角函数表达式，还要适当引入辅助因素，即完成如下图3的三个点E、F、G的引入。为将A、B放在三角形中，需利用AO和OB两个线段表示AB，并利用AE和ED表示AD，利用CP和BP表示CB。完成线段划分后可以发现，在直角三角形AOE和OGB中，AO和OB两个边为圆⊙O的半径。从这一角度出发，引入∠A=α，∠B=β这两个元素，可完成三角表示式的书写，从而解答问题。
3.3计划执行
按照波利亚解题模型的第三步，可以执行计划。这一步尽管为解题主体部分，但是按照解题计划可以顺利完成。在教学中，教师还要引导学生根据解题信息认真完成逻辑配置，并加强学生解题耐心的培养。按照上述解题思路，可以得到如下解题过程。
证明：∵AO=R/sinα，BO=R/sinβ
∴线段AE=R·cotα，ED=R·cot（π/2-β/2）
BG=R·cotβ，GC=R·cot（π/2-α/2）
∴AB=R（1/sinα+1/sinβ）
AD+CB=R[cotα+cot（π/2-β/2）+cotβ+cot（π/2-α/2）]=R（1/sinα+1/sinβ）
∴AB=AD+CB
3.4回顾分析
在回顾阶段，还要注重引导学生完成解题过程分析，以便使学生的数学思维从中受到启发。具体来讲，就是要提醒学生从多个角度思考问题的解答方式，不能看到几何图形就局限于采用几何方法解决问题，还要学会利用代数方法解答问题，以加强数形结合思想的运用。比如在解答上述例题的过程中，就可以从利用三角函数书写线段表达式的角度思考问题，以完成问题的轻松解答。
4结论
通过分析可以发现，在高中数学解题中运用波利亚解题模型，教师并非是要求学生掌握某种解题方法，而是要引导学生通过一步步分解解题过程更好的理清解题思路，从而更好的理解和判断问题，并从中获得思维的启发。因此，作为高中数学教师，还要在解题教学中加强这种思想的运用，进而更好的完成学生的培养。
参考文献：
[1]徐慧敏.波利亚解题表在平面几何教学中的应用举例[J].才智，2014.
[2]王杰，高明.借助波利亚解题思想，指导中学数学解题教学[J].亚太教育，2015.
关键词：波利亚解题模型；解题计划拟定；解题过程回顾
1引言
在高中阶段，教师十分注重学生的解题训练。但就目前来看，高中数学解题教学过于注重解题技巧的掌握，忽视了解题思维的培养。运用波利亚解题模型，则能通过分解解题过程引导学生理清解题思路，从而更好的完成学生解题思维的培养。因此，还应加强对波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用分析，以便有效提升高中数学教学水平。
2波利亚解题模型概述
所谓的波利亚解题模型，其实就是由理解题目、拟定方案、执行方案、回顾这四个阶段构成的数学解题过程。在波利亚编写的《怎样解题表》中，其将解题四个阶段划分为理解题目、拟定计划、执行计划和回顾。其中，理解问题指的是将问题已知条件、结构特征及求解目标理解清楚。而拟定计划则是根据已知条件间的关系及其与未知内容的逻辑关系确立问题解决思路，并根据思路拟定解题计划。所谓的执行计划，就是按照计划实施解题。最后，通过回顾解题过程，可确认得到的结果是否正确。
3波利亚解题模型在高中数学解题教学中的运用
在高中数学解题教学中应用波利亚解题模型，还要通过解题加强对这一解题程序的应用，以便通过实践探索掌握模型的运用方法。
例1已知ABCD为圆内接四边形，如下图2所示，AB上另有一圆⊙O的圆心，并且该圆与其它三边相切，求证AB=AD+BC。
3.1理解问题
在运用波利亚解题模型解决上述问题时，首先需要理解问题。作为解决问题的第一个步骤，能否正确认识问题直接关系到能否顺利解题。所以，理解问题为模型构建的关键前提，还要加强题目的分析，以便得到题目中的各种条件和结论。在例题中，第一个条件应该为四边形ABCD为圆内接四边形。而第二个条件也比较明显，就是圆⊙O的圆心在四边形的边AB上。此外，第三个条件为圆⊙O与四边形除AB以外的其他三边相切。最后，例题需要得到AB=AD+BC的结论。在这一阶段，教师需要引导学生回忆之前学习有关圆内接四边形的知识点，以便了解问题解答的关键。
3.2拟定方案
在数学解题中，运用波利亚解题模型最重要的就是拟定方案的环节。在这一环节，需要利用已有的知识和经验给出解题思路。想要达成这一目的，不仅要明确已知量间的关系，还要确定未知量与各条件的关系，才能完成解题计划的合理拟定。比如在解答上述例题时，可以从结论入手，即考虑之前是否解答过两条线段长度和为一条线段长度的问题。在解答这类问题时，总是需要连接线段或截断线段，所以可以尝试将AD和BC连接在一起或将AB截成两段。但是，采用该种解题方法需求解三條线段长度，具有一定的难度。而除了从几何角度思考如何解题，也可以从函数的角度解决问题，即不求解三条线段的长度，而是采用三角函数式将三条线段表达式写出，从而得到相等的关系。在学生提出解题思路后，教师需要与学生一同讨论，以便使学生从中获得启发。通过适当点评，教师则能引导学生提出新的解题思路。根据四边形为圆内接四边形的性质可知，对角相加结果为180°。为列出三角函数表达式，还要适当引入辅助因素，即完成如下图3的三个点E、F、G的引入。为将A、B放在三角形中，需利用AO和OB两个线段表示AB，并利用AE和ED表示AD，利用CP和BP表示CB。完成线段划分后可以发现，在直角三角形AOE和OGB中，AO和OB两个边为圆⊙O的半径。从这一角度出发，引入∠A=α，∠B=β这两个元素，可完成三角表示式的书写，从而解答问题。
3.3计划执行
按照波利亚解题模型的第三步，可以执行计划。这一步尽管为解题主体部分，但是按照解题计划可以顺利完成。在教学中，教师还要引导学生根据解题信息认真完成逻辑配置，并加强学生解题耐心的培养。按照上述解题思路，可以得到如下解题过程。
证明：∵AO=R/sinα，BO=R/sinβ
∴线段AE=R·cotα，ED=R·cot（π/2-β/2）
BG=R·cotβ，GC=R·cot（π/2-α/2）
∴AB=R（1/sinα+1/sinβ）
AD+CB=R[cotα+cot（π/2-β/2）+cotβ+cot（π/2-α/2）]=R（1/sinα+1/sinβ）
∴AB=AD+CB
3.4回顾分析
在回顾阶段，还要注重引导学生完成解题过程分析，以便使学生的数学思维从中受到启发。具体来讲，就是要提醒学生从多个角度思考问题的解答方式，不能看到几何图形就局限于采用几何方法解决问题，还要学会利用代数方法解答问题，以加强数形结合思想的运用。比如在解答上述例题的过程中，就可以从利用三角函数书写线段表达式的角度思考问题，以完成问题的轻松解答。
4结论
通过分析可以发现，在高中数学解题中运用波利亚解题模型，教师并非是要求学生掌握某种解题方法，而是要引导学生通过一步步分解解题过程更好的理清解题思路，从而更好的理解和判断问题，并从中获得思维的启发。因此，作为高中数学教师，还要在解题教学中加强这种思想的运用，进而更好的完成学生的培养。
参考文献：
[1]徐慧敏.波利亚解题表在平面几何教学中的应用举例[J].才智，2014.
[2]王杰，高明.借助波利亚解题思想，指导中学数学解题教学[J].亚太教育，2015.