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[摘要]：综合矢量力学和分析力学理论的优点， 给出用分析力学变量表示的位矢、速度加速度以及质点的矢量分析动力学方程， 探讨一种新的处理力学问题的矢量分析力学方法.该方法的主要特点是： 直观、物理图像清晰， 在各种坐标系中有统一的运动学方程和动力学方程， 便于引进分析力学变量， 适宜处理复杂的、多约束力学体系的力学问题.
[关键词]：自由度 分析力学变量 广义加速度 矢量分析运动学 矢量分析动力学
中图分类号：V241.5+21 文献标识码：V 文章编号：1009-914X（2013）01- 0312-01
1、力学体系的自由度
如果受完整约束的力学体系由n 个质点组成，则力学体系在三维空间、二维空间和一维空间内运动时的独立变量个数f 分别为
f = 3n- r （ 1）
f = 2n- r （ 2）
f = n - r （ 3）
式（ 1） ～ （ 3） 中的r 为完整约束的个数， 确定力学体系位置的独立变量也称为广义坐标. 对完整系， 力学体系广义坐标的个数等于其自由度. 因此， 上三式所确定的f 便是力学体系的自由度.对受完整约束的力学体系， 其自由度除了可用上述方法计算外， 还可通过直观方法判断： 观察当最少有几个变量确定时， 力学体系中各质点的位置便可惟一确定； 这几个变量的个数便是力学体系的自由度， 而这几个变量就可作为广义坐标. 当然， 还可选用等量的能确定力学体系位置的其他独立变量作为广义坐标。
2、分析力学理论的特点
在各种坐标系中方程的形式相同， 适宜处理多约束、复杂的力学体系问题， 但物理图像较为模糊. 矢量力学理论的特点是：直观、物理图像清晰， 在直角坐标系中的公式较为简洁， 处理简单问题方便， 但不便于处理复杂的、多约束的力学体系问题.综合矢量力学和分析力学理论的优点， 文中给出用分析力学变量表示的位矢公式、速度公式、加速度公式， 进而给出用分析力学变量表示的质点的矢量分析动力学方程， 探讨一种新的处理力学问题的矢量分析方法。该方法主要特点是：直观，物理图像清晰，在各种坐标系中有统一的运动学方程和动力学方程，便于引进分析力学变量，事宜处理复杂的，多约束力学体系的力学问题。
3、矢量分析力学和矢量力学的等效性
矢量分析力学和矢量力学是等效的， 即它们的运动学公式和动力学方程可以互相推导. 以直角坐标系、极坐标系和柱坐标系中的自由运动质点为例， 论证矢量分析运动学和矢量运动学的等效性
3. 1 直角坐标系中的等效性
若自由质点在三维空间运动， 在直角坐标系中， 自由质点的自由度f = 3， 选x 、y 和z 为广义坐标， 则质点的位矢可表示为r = x i + y j + z k （ 11）
?? 由上述讨论可知， 矢量分析运动学和矢量运动学的运动学公式在直角坐标系中完全等效
3. 2 极坐标系中的等效性
若自由质点P 作平面运动， 则在极坐标系中， 自由质点的自由度f = 2， 选r 和为广义坐标， 设er 和eθ分别为径向和横向的单位矢量， i 和j 分别为直角坐标系的x 轴和y 轴方向的单位矢量，则质点的位矢可表示为
3. 3 柱坐标系中的等效性
若自由质点P 在三维空间运动， 则在柱坐标系中， 自由质点的自由度f = 3， 选r、和z为广义坐标， 设er、eθ和ez 分别为相应三方向上的单位矢量， i、j 和k 分别为直角坐標系的X 轴、Y 轴和Z轴方向的单位矢量。由上述讨论可知， 矢量分析运动学和矢量运动学的运动学公式在柱坐标系中完全等效. 仿照上述讨论还可证明， 矢量分析运动学和矢量运动学的运动学公式在球坐标系和其他坐标系中也完全等效.因此， 矢量分析运动学和矢量运动学是等效的. 又由于矢量运动学与分析运动学等效， 所以， 矢量分析运动学和分析运动学也是等效的. 类似地， 还可证明矢量动力学、分析动力学与矢量分析动力学也是等效的.
4、用矢量分析力学方法解力学问题的步骤
处理力学体系运动学问题和动力学问题， 矢量分析力学方法有其独到之处. 该方法处理问题的一般步骤如下：
1） 建立适当坐标系；
2） 确定研究对象——力学体系及其自由度， 选等量的广义坐标；
3） 将质点所受合力以及表征质点运动学情况的物理量——位矢、速度和加速度表示为分析力学变量的函数；
4） 对运动学问题和动力学问题， 分别由位矢公式、速度公式、加速度公式和质点的矢量分析动力学方程进行求解， 得出结果.
5、用矢量分析力学方法求解力学问题的特点
1） 用矢量分析力学方法处理力学问题需借助于矢量， 因此该理论具有直观和物理图像清晰的特点.
2） 位矢一般是广义坐标和时间的函数， 速度一般是广义坐标、广义速度和时间的函数， 加速度和质点所受的合力则一般是广义坐标、广义速度、广义加速度和时间的函数. 因此， 该方法便于利用分析力学变量处理力学问题.
3） 由式（ 1） ～ （ 3） 可知， 对1 个给定的力学体系， 它所受到的约束越多， 自由度f 就越小. 因此，位矢、速度和加速度公式以及质点的矢量分析动力学方程的表述就越简洁. 可见， 该方法适宜处理复杂的、多约束的力学体系问题.
4） 用分析力学变量表示的位矢、速度和加速度公式以及质点的矢量分析动力学方程不涉及具体的坐标系. 因此， 它们对各种坐标系均成立.
5） 矢量分析动力学方法不但能求解自由力学体系的问题， 还能求解非自由力学体系的问题， 并且还能用非惯性系中的变量作为广义坐标来求解力学体系的复合运动问题. 参考文献：
[ 1 ] 梅凤翔， 刘桂林. 分析力学基础[M] . 西安： 西安交通大学出版社， 1987： 29-34； 79-100.
[ 2 ] 贾利群. 非惯性系静力学的分析力学方法[ J] . 大学物理， 1999， 18（ 11） ： 12-15.
JIA Li qun. Analytical mechanical method of statics in noninertial system [ J] . College Physics， 1999， 18（ 11） ： 12-15 （ in Chinese） .
[ 3 ] 倪泽林， 孙士敏. 处理非惯性系动力学的拉格朗日方法[ J] . 大学物理， 1986， 5（ 6） ： 26-28.
NI Ze lin， SUN Shi min. Lag rang methods for treating non inertia system dynamics [ J] . College Physics， 1986， 5（ 6） ：26-28（ in Chinese） .
[ 4 ] 贾利群. 转动系统的相对论性分析静力学理论[ J] . 物理学报， 2003， 52（ 5） ： 1039-1043.JIA Li qun. A theory of relativistic analytical statics of rotational systems [ J] . Acta Physica Ainica， 2003， 52（5） ： 1039- 1043 （ in Chinese） .
[ 5 ] LUO Shao kai. T he theory of relativistic analytical mechanics of the rotational systems [ J] . Applied Mathematics and Mechanics， 1998， 19（ 1） ： 45-48（ in Chinese） .
[ 6 ] 劉延柱， 杨海兴， 朱本华. 理论力学[ M] . 北京： 高等教育出版社， 2001： 169-179.
[ 7 ] 梅凤翔. 非完整系统力学基础[ M] . 北京： 北京工业学院出版社， 1985： 7-8.
[ 8 ] 周衍柏. 理论力学教程[ M] . 北京： 高等教育出版社， 1986： 105； 264； 365.
作者简介：
崔霄 男（1991-）云南省临沧市 本科 专业：电子信息工程 。
[关键词]：自由度 分析力学变量 广义加速度 矢量分析运动学 矢量分析动力学
中图分类号：V241.5+21 文献标识码：V 文章编号：1009-914X（2013）01- 0312-01
1、力学体系的自由度
如果受完整约束的力学体系由n 个质点组成，则力学体系在三维空间、二维空间和一维空间内运动时的独立变量个数f 分别为
f = 3n- r （ 1）
f = 2n- r （ 2）
f = n - r （ 3）
式（ 1） ～ （ 3） 中的r 为完整约束的个数， 确定力学体系位置的独立变量也称为广义坐标. 对完整系， 力学体系广义坐标的个数等于其自由度. 因此， 上三式所确定的f 便是力学体系的自由度.对受完整约束的力学体系， 其自由度除了可用上述方法计算外， 还可通过直观方法判断： 观察当最少有几个变量确定时， 力学体系中各质点的位置便可惟一确定； 这几个变量的个数便是力学体系的自由度， 而这几个变量就可作为广义坐标. 当然， 还可选用等量的能确定力学体系位置的其他独立变量作为广义坐标。
2、分析力学理论的特点
在各种坐标系中方程的形式相同， 适宜处理多约束、复杂的力学体系问题， 但物理图像较为模糊. 矢量力学理论的特点是：直观、物理图像清晰， 在直角坐标系中的公式较为简洁， 处理简单问题方便， 但不便于处理复杂的、多约束的力学体系问题.综合矢量力学和分析力学理论的优点， 文中给出用分析力学变量表示的位矢公式、速度公式、加速度公式， 进而给出用分析力学变量表示的质点的矢量分析动力学方程， 探讨一种新的处理力学问题的矢量分析方法。该方法主要特点是：直观，物理图像清晰，在各种坐标系中有统一的运动学方程和动力学方程，便于引进分析力学变量，事宜处理复杂的，多约束力学体系的力学问题。
3、矢量分析力学和矢量力学的等效性
矢量分析力学和矢量力学是等效的， 即它们的运动学公式和动力学方程可以互相推导. 以直角坐标系、极坐标系和柱坐标系中的自由运动质点为例， 论证矢量分析运动学和矢量运动学的等效性
3. 1 直角坐标系中的等效性
若自由质点在三维空间运动， 在直角坐标系中， 自由质点的自由度f = 3， 选x 、y 和z 为广义坐标， 则质点的位矢可表示为r = x i + y j + z k （ 11）
?? 由上述讨论可知， 矢量分析运动学和矢量运动学的运动学公式在直角坐标系中完全等效
3. 2 极坐标系中的等效性
若自由质点P 作平面运动， 则在极坐标系中， 自由质点的自由度f = 2， 选r 和为广义坐标， 设er 和eθ分别为径向和横向的单位矢量， i 和j 分别为直角坐标系的x 轴和y 轴方向的单位矢量，则质点的位矢可表示为
3. 3 柱坐标系中的等效性
若自由质点P 在三维空间运动， 则在柱坐标系中， 自由质点的自由度f = 3， 选r、和z为广义坐标， 设er、eθ和ez 分别为相应三方向上的单位矢量， i、j 和k 分别为直角坐標系的X 轴、Y 轴和Z轴方向的单位矢量。由上述讨论可知， 矢量分析运动学和矢量运动学的运动学公式在柱坐标系中完全等效. 仿照上述讨论还可证明， 矢量分析运动学和矢量运动学的运动学公式在球坐标系和其他坐标系中也完全等效.因此， 矢量分析运动学和矢量运动学是等效的. 又由于矢量运动学与分析运动学等效， 所以， 矢量分析运动学和分析运动学也是等效的. 类似地， 还可证明矢量动力学、分析动力学与矢量分析动力学也是等效的.
4、用矢量分析力学方法解力学问题的步骤
处理力学体系运动学问题和动力学问题， 矢量分析力学方法有其独到之处. 该方法处理问题的一般步骤如下：
1） 建立适当坐标系；
2） 确定研究对象——力学体系及其自由度， 选等量的广义坐标；
3） 将质点所受合力以及表征质点运动学情况的物理量——位矢、速度和加速度表示为分析力学变量的函数；
4） 对运动学问题和动力学问题， 分别由位矢公式、速度公式、加速度公式和质点的矢量分析动力学方程进行求解， 得出结果.
5、用矢量分析力学方法求解力学问题的特点
1） 用矢量分析力学方法处理力学问题需借助于矢量， 因此该理论具有直观和物理图像清晰的特点.
2） 位矢一般是广义坐标和时间的函数， 速度一般是广义坐标、广义速度和时间的函数， 加速度和质点所受的合力则一般是广义坐标、广义速度、广义加速度和时间的函数. 因此， 该方法便于利用分析力学变量处理力学问题.
3） 由式（ 1） ～ （ 3） 可知， 对1 个给定的力学体系， 它所受到的约束越多， 自由度f 就越小. 因此，位矢、速度和加速度公式以及质点的矢量分析动力学方程的表述就越简洁. 可见， 该方法适宜处理复杂的、多约束的力学体系问题.
4） 用分析力学变量表示的位矢、速度和加速度公式以及质点的矢量分析动力学方程不涉及具体的坐标系. 因此， 它们对各种坐标系均成立.
5） 矢量分析动力学方法不但能求解自由力学体系的问题， 还能求解非自由力学体系的问题， 并且还能用非惯性系中的变量作为广义坐标来求解力学体系的复合运动问题. 参考文献：
[ 1 ] 梅凤翔， 刘桂林. 分析力学基础[M] . 西安： 西安交通大学出版社， 1987： 29-34； 79-100.
[ 2 ] 贾利群. 非惯性系静力学的分析力学方法[ J] . 大学物理， 1999， 18（ 11） ： 12-15.
JIA Li qun. Analytical mechanical method of statics in noninertial system [ J] . College Physics， 1999， 18（ 11） ： 12-15 （ in Chinese） .
[ 3 ] 倪泽林， 孙士敏. 处理非惯性系动力学的拉格朗日方法[ J] . 大学物理， 1986， 5（ 6） ： 26-28.
NI Ze lin， SUN Shi min. Lag rang methods for treating non inertia system dynamics [ J] . College Physics， 1986， 5（ 6） ：26-28（ in Chinese） .
[ 4 ] 贾利群. 转动系统的相对论性分析静力学理论[ J] . 物理学报， 2003， 52（ 5） ： 1039-1043.JIA Li qun. A theory of relativistic analytical statics of rotational systems [ J] . Acta Physica Ainica， 2003， 52（5） ： 1039- 1043 （ in Chinese） .
[ 5 ] LUO Shao kai. T he theory of relativistic analytical mechanics of the rotational systems [ J] . Applied Mathematics and Mechanics， 1998， 19（ 1） ： 45-48（ in Chinese） .
[ 6 ] 劉延柱， 杨海兴， 朱本华. 理论力学[ M] . 北京： 高等教育出版社， 2001： 169-179.
[ 7 ] 梅凤翔. 非完整系统力学基础[ M] . 北京： 北京工业学院出版社， 1985： 7-8.
[ 8 ] 周衍柏. 理论力学教程[ M] . 北京： 高等教育出版社， 1986： 105； 264； 365.
作者简介：
崔霄 男（1991-）云南省临沧市 本科 专业：电子信息工程 。