【摘 要】
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高等数学中微分学中的几个中值定理，包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理等，是导数应用的理论基础。本文主要讨论证明结论中含有 f n (x ) = 0这一类型题的证明，此种类型题证明方
【机 构】
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沈阳理工大学,辽宁 沈阳,110168
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高等数学中微分学中的几个中值定理，包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理等，是导数应用的理论基础。本文主要讨论证明结论中含有 f n (x ) = 0这一类型题的证明，此种类型题证明方法有：（1）验证x为f n- 1(x)的最值或极值点，然后用费马定理即可；（2）验证f n- 1(x) 在[a,b]上满足罗尔中值定理，利用一次中值定理证明即可；（3）利用泰勒公式或多次利用罗尔中值定理即可。例 设f (x)在[0,1]上有三阶导数，且f (0) = f (1) = 0 ，又设F(x) = x3 f (x) ，试证：在(0,1)内至少存在一点x ，使F￠￠￠(x ) = 0证明一：由于F(x) = x3 f (x)得F￠(x) = 3x2 f (x) + x3 f ￠(x) F￠￠(x) = 6xf (x) + 6x2 f ￠(x) + x3 f ￠￠(x)所以F(0) = F￠(0) = F￠￠(0) = 0对F(x)在[0,1]上用罗尔定理（由于F(0) = F(1) = 0）存在x1 ? (0,1) ，使F￠(x1 ) = 0．
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