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数学学习的关键是学会数学思维，提升理性思维能力.理性思维需要经历观察、猜想、推理、运算和归纳，强调逻辑严谨、思路清晰、语言准确.现在的课堂教学，数学教师越来越关注教师、学生、文本三者之间的对话.学生积极参与活动，从感知数学到感悟数学，在对话体验中发展理性思维.
一、教学案例片段
教学案例：“圆锥曲线的统一定义”（苏教版选修2—1第2.5节）.
1.对话情境，直觉感知
情境：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线，这三种曲线统称为圆锥曲线.圆锥曲线有一些共同特征，比如，方程形式上的统一，都有焦点、对称性等.圆锥曲线还有一些共同的性质等待我们去探究.
问题：在学完椭圆后，根据双曲线和椭圆的定义之间的关系，对双曲线的标准方程、性质等进行类比猜想，然后给予了严格的推理论证.在学完抛物线以后，类比抛物线的定义：椭圆和双曲线可以用这样的形式定义么？如果可以，这三种曲线都应该满足怎样的性质呢？
设计意图：通过情境描述，让学生从直觉上感受这三种曲线之间存在着必然的联系.再通过问题设置，给学生一种具体的数学思维方式.这样降低了学生学习的难度，有利于展开学习.
2.小组对话，激活思维
要求：同伴交流自己对问题的思考.
下面是一个小组合作时的部分摘录.
生1：类比抛物线的定义，要保留一些关键的信息，比如“在平面内”“到一个定点F的距离”“到一条定直线l的距离”.
生2：“相等”要改为“不相等”.
生3：使用“不相等”，原来的等量关系就变成了不等关系，而椭圆、双曲线的定义表示的却是等量关系，如何处理？
生4：课本在第33页第8题这样描述：“设点P到点F（1，0）的距离是到直线x=9的距离的13，试判断点P的轨迹是什么图像.”我们可以借鉴这道题的描述方式.猜想命题为：“在平面内，到一个定点F的距离是到一条定直线的距离的λ倍的点的轨迹是圆锥曲线.”
生5：F∈/l，λ>0.
生6：考虑到数学的简洁性，猜想可以修改为：“平面内，到一个定点F的距离和到一条定直线l（F∈/l）的距离之比为λ的点的轨迹是圆锥曲线.”
设计意图：学生在已有的学习经验的基础之上独立思考，在同伴之间发表见解，相互交流补充，最后在班级集中展示.这能很好地培养学生的独立思考、观察分析能力，也有利于学生借鉴他人的优秀做法，取长补短.
3.演绎推理，理性思考
教师用几何画板演示了大家的猜想，发现当0<λ<1时，轨迹是椭圆；当λ>1时，轨迹是双曲线；当λ=1时，轨迹是抛物线.
师：对于猜想的命题是否正确，不能仅仅通过观察实验结果判断，还要给出严格的逻辑推理论证.
问题：以椭圆为例，如何判断猜想的命题是否正确性？如果正确，这里的定直线与a，b，c有什么关联？常数λ的几何意义是什么？
师生共同分析探讨，得出两种思路.
思路1：从猜想的命题直接出发求证，仿照建立抛物线的标准方程的方法去建立方程.然后将所得的方程与椭圆的标准方程作比较，从而得到证明.
思路2：从椭圆的标准方程的求解过程中去寻找，看求解过程中是否蕴含有符合猜想的表达式，并给出具体的几何解释.
设计意图：猜想是否正确必须要有严格的演绎推理作保证.教师和学生通过共同分析、探讨出两种不同的验证思路，然后交给不同的学习小组继续完成探究.这从不同层面上加深了学生对数学本质的认识，有利于学生数学素养的提高.
4.自主反思，优化结构
思考：设计表格，对比圆锥曲线的第一定义和统一定义，找出区别和联系？并尝试对研究过程进行反思.
设计意图：自主反思是对整个课堂学习的全方位思考，有利于学生接受新知识，并将之纳入原有的知识结构.而对研究过程的反思则要求学生感悟数学知识的发生发展过程.
二、教学后的思考
1.深入研究教材，理清知识网络
数学教材是学生学习数学知识的蓝本，教师在教学时要强化“用教材教”的理念，切忌抛开书本.教师要弄清知识的来龙去脉，深入研究教材、教学要求，对教材中所蕴含的数学思想与方法进行提炼.
2.注重对话体验，发展理性思维
教师可以通过观察、猜想、试验、类比、归纳、反思等手段不断让学生参与数学对话体验，并从中体会数学的思维方式.在对话体验时，要注重让学生从多个角度与文本、同伴、教师进行对话.
（责任编辑 黄桂坚）
一、教学案例片段
教学案例：“圆锥曲线的统一定义”（苏教版选修2—1第2.5节）.
1.对话情境，直觉感知
情境：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线，这三种曲线统称为圆锥曲线.圆锥曲线有一些共同特征，比如，方程形式上的统一，都有焦点、对称性等.圆锥曲线还有一些共同的性质等待我们去探究.
问题：在学完椭圆后，根据双曲线和椭圆的定义之间的关系，对双曲线的标准方程、性质等进行类比猜想，然后给予了严格的推理论证.在学完抛物线以后，类比抛物线的定义：椭圆和双曲线可以用这样的形式定义么？如果可以，这三种曲线都应该满足怎样的性质呢？
设计意图：通过情境描述，让学生从直觉上感受这三种曲线之间存在着必然的联系.再通过问题设置，给学生一种具体的数学思维方式.这样降低了学生学习的难度，有利于展开学习.
2.小组对话，激活思维
要求：同伴交流自己对问题的思考.
下面是一个小组合作时的部分摘录.
生1：类比抛物线的定义，要保留一些关键的信息，比如“在平面内”“到一个定点F的距离”“到一条定直线l的距离”.
生2：“相等”要改为“不相等”.
生3：使用“不相等”，原来的等量关系就变成了不等关系，而椭圆、双曲线的定义表示的却是等量关系，如何处理？
生4：课本在第33页第8题这样描述：“设点P到点F（1，0）的距离是到直线x=9的距离的13，试判断点P的轨迹是什么图像.”我们可以借鉴这道题的描述方式.猜想命题为：“在平面内，到一个定点F的距离是到一条定直线的距离的λ倍的点的轨迹是圆锥曲线.”
生5：F∈/l，λ>0.
生6：考虑到数学的简洁性，猜想可以修改为：“平面内，到一个定点F的距离和到一条定直线l（F∈/l）的距离之比为λ的点的轨迹是圆锥曲线.”
设计意图：学生在已有的学习经验的基础之上独立思考，在同伴之间发表见解，相互交流补充，最后在班级集中展示.这能很好地培养学生的独立思考、观察分析能力，也有利于学生借鉴他人的优秀做法，取长补短.
3.演绎推理，理性思考
教师用几何画板演示了大家的猜想，发现当0<λ<1时，轨迹是椭圆；当λ>1时，轨迹是双曲线；当λ=1时，轨迹是抛物线.
师：对于猜想的命题是否正确，不能仅仅通过观察实验结果判断，还要给出严格的逻辑推理论证.
问题：以椭圆为例，如何判断猜想的命题是否正确性？如果正确，这里的定直线与a，b，c有什么关联？常数λ的几何意义是什么？
师生共同分析探讨，得出两种思路.
思路1：从猜想的命题直接出发求证，仿照建立抛物线的标准方程的方法去建立方程.然后将所得的方程与椭圆的标准方程作比较，从而得到证明.
思路2：从椭圆的标准方程的求解过程中去寻找，看求解过程中是否蕴含有符合猜想的表达式，并给出具体的几何解释.
设计意图：猜想是否正确必须要有严格的演绎推理作保证.教师和学生通过共同分析、探讨出两种不同的验证思路，然后交给不同的学习小组继续完成探究.这从不同层面上加深了学生对数学本质的认识，有利于学生数学素养的提高.
4.自主反思，优化结构
思考：设计表格，对比圆锥曲线的第一定义和统一定义，找出区别和联系？并尝试对研究过程进行反思.
设计意图：自主反思是对整个课堂学习的全方位思考，有利于学生接受新知识，并将之纳入原有的知识结构.而对研究过程的反思则要求学生感悟数学知识的发生发展过程.
二、教学后的思考
1.深入研究教材，理清知识网络
数学教材是学生学习数学知识的蓝本，教师在教学时要强化“用教材教”的理念，切忌抛开书本.教师要弄清知识的来龙去脉，深入研究教材、教学要求，对教材中所蕴含的数学思想与方法进行提炼.
2.注重对话体验，发展理性思维
教师可以通过观察、猜想、试验、类比、归纳、反思等手段不断让学生参与数学对话体验，并从中体会数学的思维方式.在对话体验时，要注重让学生从多个角度与文本、同伴、教师进行对话.
（责任编辑 黄桂坚）