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【摘 要】运算技能依赖于具体的方法而存在，不同的运算方法体现了不同的特点，如“凑十法”具有明显的心智技能特点，摆小棒、掰手指等具有明显的动作技能特点，而利用树形图显示运算过程则兼具二者的特点。部分教师过分强调探究体验和对目标算法的快速掌握，忽视不同算法之间的联系，无法打通学生原有算法与目标算法之间的通道。基于动作技能与心智技能之间的联系，引导学生自主构建运算技能可尝试从以下方面入手：逐步抽象，从实物操作转向概念操作；注重简缩，从原生操作走向简约操作；关注结构，从操作行为转向思维关系。
【关键词】运算技能 概念操作 动作技能 心智技能
运算的学习几乎贯穿于小学数学学习的全过程，诸如周长、面积、体积公式的推导和应用都离不开运算，简易方程、比例和统计图表等知识与计算的联系更加密切。运算技能教学，不仅要使学生理解运算意义，掌握运算的法则和方法，了解运算的定律、性质，学会简便运算、估算，注意运算方法的合理性和灵活性，而且要促使学生提升“自主发现问题—分析原因—解决问题”等构建算法、理解算理、形成技能的自主学习能力。然而，部分教师过分强调方法多样化，过分强调探究体验和对目标算法的快速掌握，看似让学生经历了“自主建构”的过程，却割裂了学生原有算法与目标算法之间的联系。现以“9 几”的教学为例来谈谈对类似现象的思考以及改进建议。
教学“9 几”时，多数教师按以下思路进行：教学“9 4”时，让学生自主探究算法，充分表达自己的见解，教师并不特别强调某种算法。接着，让学生“用自己喜欢的算法”独立计算“9 5”“9 7”，然后组织学生交流汇报各自的算法，并重点让做对且计算很快的学生“介绍经验”，引导全体学生聚焦“凑十法”——计算比较快。最后，教师请采用“凑十法”计算的学生教一教摆小棒、掰手指、数图片的同学，使全班学生都理解、接受、掌握“凑十法”。通过或明显或隐性的“比较”“竞赛”等形式，让采用摆小棒等方法的学生“输”后自愿放弃原来的算法并接受“凑十法”，这样的优化处理方式具有代表性和普遍性，也常常被认为体现了生本理念：教师并没有直接讲授“凑十法”，而是通过创设情境，引导学生在比较中发现更有效的方法——“凑十法”，达到“由学生自主优化算法”的效果。
然而，我们仍然有必要思考：（1）以学生的“讲”代替教师的“讲”的实质还是“传授”，还是让“算法不好”的学生被动地接受“目标算法”——“凑十法”。学生发现自己的计算速度较慢后放弃了自己的算法，改而接受别的同学的算法，这并非真正意义上的知识建构，更不是自主建构。真正意义上的知识建构应该是学生自己原有知识或经验的“生长”，而非简单地放弃自己原有的方法，认同进而接受他人的思路。（2）如果学生坚持摆小棒或者掰手指，教师该怎么办？目前多数教师采用的是类似案例中的方法，即通过比较让这些学生放弃自己的方法。也有教师以“‘凑十法’是将来学习的重要方法”为由，诱导学生接受新方法。这样做虽然达到了教学的目的，但是仍然没有解决深层的问题。（3）这些不同方法之间是否存在某种隐性的内在联系，是否可以通过有效沟通使这些方法最终具有一致性的知识指向？如果不存在，前述教学无可非议，但是，如果存在这种可能，则前述教学还有待改进，因为打通这些看似割裂的方法间的通道，能真正体现学生算法的自主建构。
虽然有人认为运算技能属于纯心智动作技能，但是笔者认为运算技能依赖于具体的方法而存在，不同的方法体现了不同的特点，如“凑十法”具有明显的心智技能特点，摆小棒、掰手指具有明显的动作技能特点，而利用树形图显示运算过程则兼具二者的特点。虽然动作技能与心智技能特点不同、形成过程也不同，但动作和心智之间有着天然的联系——动作是内部思维外显和物化的表达，是心智形成的基础，这两者之间存在转化的可能。现在仍以“9 几”的教学为例来谈谈引导学生基于自身原有算法自主构建运算技能的尝试和思考。
一、逐步抽象，从实物操作转向概念操作
动作技能的操作对象是具体的实物和可视化的图形等，具有现实存在性；而心智技能的操作对象是人脑中的主观印象，具有内隐性、观念性。动作技能和心智技能操作对象不同，但是二者并非割裂的，而是可以借助逐步抽象的手段，架设起两者之间的桥梁。具体而言，可以使操作对象从实物先过渡到图式，再过渡到符号，逐步使操作对象从实物向观念转化，从外显向内隐转化。如教学“9 几”时，教师可以引导学生经历三个层次的操作。
（一）直接操作实物
这时，学生可以用摆小棒的方法计算“9 4”，也可以用掰手指的方法计算“9 4”，还可以数花瓣、牙签等。此时，学生算出的“13”与具体的实物紧密相连，操作对象非常具体，不具备抽象性，更不具备观念性。
（二）操作抽象实物
此时，学生的操作对象仍然具体、可触摸，但是已经具备一定的代表性。如教师可以引导学生利用纸片，借助摆的方法计算出“9 5”，并告诉学生一张纸片不仅可以代表具体的纸片，而且可以代表特定的实物，如一个人、一个苹果、一只小猫。当然，教师也可以让学生用牙签等替换纸片。
需要特别强调的是，这一阶段的操作对象要具有适度的抽象性，而不能太特殊。如可以让学生操作牙签、小棒、纸片，但不宜让学生数牛羊、花朵、人物、飞机等特征非常明显的对象。
此阶段的教学重点是让学生意识到某些看起来具体的实物或者图形，还可以代表不同的对象。为了使学生充分体验抽象实物的抽象性，教师还可以让学生脱离具体的实物说说如何进行操作，或者在头脑中想象如何操作。
（三）操作抽象符号
在这一阶段，教师应该将具体的操作对象多少提炼為抽象的数学符号——数字，将操作过程中的合并提炼成为运算符号——“ ”，将具体的操作过程内化为思维活动。
这三个阶段的操作对象具有以下特点。
[阶 段 操作对象 特 点 操作具体实物 具体实物 操作对象只代表本身；一切可数的对象都可以操作 操作抽象实物 抽象实物 操作对象既可以代表自身，也可以代表其他实物；有些实物不适合作为操作对象 操作抽象符号 抽象观念 操作对象是抽象的符号，具有高度的概括，几乎可以代表一切对象 ] 二、注重简缩，从原生操作走向简约操作
动作技能主要借助肢体语言表征，而心智技能主要借助内部思维活动完成，依赖于某些抽象的概念表象和思维记忆。从动作技能走向心智技能需要将动作表征变成图式表征，因此教师在教学过程中应该引导学生加强整体记忆，简缩操作过程，从原生态的操作走向简约性操作。
低年级学生在计算时习惯借助数数（数小棒、掰手指、数花朵等）完成，并且常常逐一数数，其思维层次较低。教师要有意识地引导学生在数数的过程中对数数过程形成整体记忆，引导学生将局部的数数过程简约为一个抽象的数。如学习“9 5”时，学生在数小棒或掰手指的过程中，可能从1数到9，接着数5个数。此时，教师可以引导学生将1数到9的这一过程省略，直接记住9。此外，在学习数的分解时，教师要引导学生整体表示，强化数数结果的整体性和观念性。如表示9可以分解成3和6时，引导学生直接伸出3个手指和6个手指，而不是逐一伸出手指，直到伸出3个或6个手指，数小棒、数花朵时，亦同样如此。
加强对数数过程中“几个”的整体表征和记忆，有助于动作技能向心智技能转化。经过此种训练的学生，在计算“9 几”时，就会压缩掉从1数到9的过程，直接将9作为一个数数的结果参与运算，从而让操作活动从原生态走向简约态。
三、关注结构，从操作行为转向思维关系
动作技能和心智技能具有内在的联系，只要教师引导得法，就可将动作技能提升到心智技能的層面，而其中的关键是抓住结构——将学生原生态的操作结构化，并使这种结构与心智技能存在某种逻辑上的联系或对应。当然，在关注操作结构的同时必须完成对操作对象的逐步抽象和对操作过程的逐步简约。
如前所述“凑十法”具有明显的心智技能特点，摆小棒、掰手指具有明显的动作技能特点，而利用树形图显示运算过程则兼具二者的特点。现在结合“9 几”的教学，来谈谈如何从关注操作行为向关注思维关系转变。
第一步，引导学生清晰地完成原生态的操作，如计算“9 4”时先数9根小棒再数4根小棒，得到13根小棒。在这一阶段，教师要引导学生操作多种不同的实物对象，并且使操作过程流畅，思路清晰。
第二步，引导学生进行简约操作。如计算“9 5”时，先记住9，再数小棒。在这一阶段，主要引导学生将某些局部的操作过程压缩，只作为一个结果整体考虑。
第三步，引导学生关注数数的结构。在9后数5个数，学生一般会一个接一个地数，即数10，11，12，13，14。教师可以示范数数，先数一个，即数到10，然后停下来，问学生“老师数了几个数”“为什么只数了一个数就停下来”，引导学生关注与“凑十法”有关的信息。接着，问“如果老师用数小棒的方法计算‘8 6’，应该数几个停一下，为什么”。掰手指、数小棒等操作活动，都可以通过这种停顿、发问的方式引导学生将原生态的操作过程进行结构化处理，并且从关注操作活动转向关注动作的结构，提升操作活动的思维含量。
第四步，沟通动作技能与心智技能间的关系。教师可以这样引导摆小棒、掰手指的学生：计算“9 5”时，先把9根小棒记在心里（在图中写“9”），再考虑5根小棒（在下图中写“5”），然后数1根小棒（板书①），和前面的9根小棒合起来共10根小棒（板书②），此时还剩4根小棒（板书③），再和前面的10根小棒加起来，一共有14根小棒（板书④）。
“9 5”算法分解图
学生初步掌握“凑十法”后，教师还需要引导学生脱离具体的操作，进行纯粹的心智操作。如教师可以这样引导：“现在不要摆小棒，在头脑中想一想9 7应该怎样计算？8 7呢？”这样就能借助动态想象和思维表象，引导学生将外显的操作活动转化为内部的想象活动，即具有心智技能的特征。
这样的教学，不是以“凑十法”算得“又对又快”为理由诱导学生放弃自己原有的算法，而是立足于学生原有的认知基础和操作经验，通过智慧引导，通过对学生连续数数的行为进行结构化处理（先数1个再数4个），沟通了摆小棒与“凑十”“数的分解”等知识的联系，从而使“凑十法”成为学生原有算法的升华和优化。这样的教学，才是真正基于学生认知基础和思维现实的自主建构。
简言之，运算技能既具有层次性，也具有多样性，教师通过恰当的引导和智慧点拨，将动作技能的算法引向心智技能是完全可以实现的。
参考文献：
[1] 钟建林.小学数学运算技能教学策略研究[D].福州：福建师范大学，2017：12-13.
[2] 钟建林.小学数学专题式教学导引[M].福州：福建人民出版社，2012：228-230.
[3] 伍尔福克.教育心理学[M].何先友，等译.北京：中国轻工业出版社，2014：263.
[4] Bruner J.Towards a Theory of Instruction[M].Cambridge：Harvard University Press， 1966：22.
[5] 钟建林.小学数学主流话题、疑难问题透析[M].北京：教育科学出版社，2011：185-186.
（江苏省扬州大学教育科学学院 225009）
【关键词】运算技能 概念操作 动作技能 心智技能
运算的学习几乎贯穿于小学数学学习的全过程，诸如周长、面积、体积公式的推导和应用都离不开运算，简易方程、比例和统计图表等知识与计算的联系更加密切。运算技能教学，不仅要使学生理解运算意义，掌握运算的法则和方法，了解运算的定律、性质，学会简便运算、估算，注意运算方法的合理性和灵活性，而且要促使学生提升“自主发现问题—分析原因—解决问题”等构建算法、理解算理、形成技能的自主学习能力。然而，部分教师过分强调方法多样化，过分强调探究体验和对目标算法的快速掌握，看似让学生经历了“自主建构”的过程，却割裂了学生原有算法与目标算法之间的联系。现以“9 几”的教学为例来谈谈对类似现象的思考以及改进建议。
教学“9 几”时，多数教师按以下思路进行：教学“9 4”时，让学生自主探究算法，充分表达自己的见解，教师并不特别强调某种算法。接着，让学生“用自己喜欢的算法”独立计算“9 5”“9 7”，然后组织学生交流汇报各自的算法，并重点让做对且计算很快的学生“介绍经验”，引导全体学生聚焦“凑十法”——计算比较快。最后，教师请采用“凑十法”计算的学生教一教摆小棒、掰手指、数图片的同学，使全班学生都理解、接受、掌握“凑十法”。通过或明显或隐性的“比较”“竞赛”等形式，让采用摆小棒等方法的学生“输”后自愿放弃原来的算法并接受“凑十法”，这样的优化处理方式具有代表性和普遍性，也常常被认为体现了生本理念：教师并没有直接讲授“凑十法”，而是通过创设情境，引导学生在比较中发现更有效的方法——“凑十法”，达到“由学生自主优化算法”的效果。
然而，我们仍然有必要思考：（1）以学生的“讲”代替教师的“讲”的实质还是“传授”，还是让“算法不好”的学生被动地接受“目标算法”——“凑十法”。学生发现自己的计算速度较慢后放弃了自己的算法，改而接受别的同学的算法，这并非真正意义上的知识建构，更不是自主建构。真正意义上的知识建构应该是学生自己原有知识或经验的“生长”，而非简单地放弃自己原有的方法，认同进而接受他人的思路。（2）如果学生坚持摆小棒或者掰手指，教师该怎么办？目前多数教师采用的是类似案例中的方法，即通过比较让这些学生放弃自己的方法。也有教师以“‘凑十法’是将来学习的重要方法”为由，诱导学生接受新方法。这样做虽然达到了教学的目的，但是仍然没有解决深层的问题。（3）这些不同方法之间是否存在某种隐性的内在联系，是否可以通过有效沟通使这些方法最终具有一致性的知识指向？如果不存在，前述教学无可非议，但是，如果存在这种可能，则前述教学还有待改进，因为打通这些看似割裂的方法间的通道，能真正体现学生算法的自主建构。
虽然有人认为运算技能属于纯心智动作技能，但是笔者认为运算技能依赖于具体的方法而存在，不同的方法体现了不同的特点，如“凑十法”具有明显的心智技能特点，摆小棒、掰手指具有明显的动作技能特点，而利用树形图显示运算过程则兼具二者的特点。虽然动作技能与心智技能特点不同、形成过程也不同，但动作和心智之间有着天然的联系——动作是内部思维外显和物化的表达，是心智形成的基础，这两者之间存在转化的可能。现在仍以“9 几”的教学为例来谈谈引导学生基于自身原有算法自主构建运算技能的尝试和思考。
一、逐步抽象，从实物操作转向概念操作
动作技能的操作对象是具体的实物和可视化的图形等，具有现实存在性；而心智技能的操作对象是人脑中的主观印象，具有内隐性、观念性。动作技能和心智技能操作对象不同，但是二者并非割裂的，而是可以借助逐步抽象的手段，架设起两者之间的桥梁。具体而言，可以使操作对象从实物先过渡到图式，再过渡到符号，逐步使操作对象从实物向观念转化，从外显向内隐转化。如教学“9 几”时，教师可以引导学生经历三个层次的操作。
（一）直接操作实物
这时，学生可以用摆小棒的方法计算“9 4”，也可以用掰手指的方法计算“9 4”，还可以数花瓣、牙签等。此时，学生算出的“13”与具体的实物紧密相连，操作对象非常具体，不具备抽象性，更不具备观念性。
（二）操作抽象实物
此时，学生的操作对象仍然具体、可触摸，但是已经具备一定的代表性。如教师可以引导学生利用纸片，借助摆的方法计算出“9 5”，并告诉学生一张纸片不仅可以代表具体的纸片，而且可以代表特定的实物，如一个人、一个苹果、一只小猫。当然，教师也可以让学生用牙签等替换纸片。
需要特别强调的是，这一阶段的操作对象要具有适度的抽象性，而不能太特殊。如可以让学生操作牙签、小棒、纸片，但不宜让学生数牛羊、花朵、人物、飞机等特征非常明显的对象。
此阶段的教学重点是让学生意识到某些看起来具体的实物或者图形，还可以代表不同的对象。为了使学生充分体验抽象实物的抽象性，教师还可以让学生脱离具体的实物说说如何进行操作，或者在头脑中想象如何操作。
（三）操作抽象符号
在这一阶段，教师应该将具体的操作对象多少提炼為抽象的数学符号——数字，将操作过程中的合并提炼成为运算符号——“ ”，将具体的操作过程内化为思维活动。
这三个阶段的操作对象具有以下特点。
[阶 段 操作对象 特 点 操作具体实物 具体实物 操作对象只代表本身；一切可数的对象都可以操作 操作抽象实物 抽象实物 操作对象既可以代表自身，也可以代表其他实物；有些实物不适合作为操作对象 操作抽象符号 抽象观念 操作对象是抽象的符号，具有高度的概括，几乎可以代表一切对象 ] 二、注重简缩，从原生操作走向简约操作
动作技能主要借助肢体语言表征，而心智技能主要借助内部思维活动完成，依赖于某些抽象的概念表象和思维记忆。从动作技能走向心智技能需要将动作表征变成图式表征，因此教师在教学过程中应该引导学生加强整体记忆，简缩操作过程，从原生态的操作走向简约性操作。
低年级学生在计算时习惯借助数数（数小棒、掰手指、数花朵等）完成，并且常常逐一数数，其思维层次较低。教师要有意识地引导学生在数数的过程中对数数过程形成整体记忆，引导学生将局部的数数过程简约为一个抽象的数。如学习“9 5”时，学生在数小棒或掰手指的过程中，可能从1数到9，接着数5个数。此时，教师可以引导学生将1数到9的这一过程省略，直接记住9。此外，在学习数的分解时，教师要引导学生整体表示，强化数数结果的整体性和观念性。如表示9可以分解成3和6时，引导学生直接伸出3个手指和6个手指，而不是逐一伸出手指，直到伸出3个或6个手指，数小棒、数花朵时，亦同样如此。
加强对数数过程中“几个”的整体表征和记忆，有助于动作技能向心智技能转化。经过此种训练的学生，在计算“9 几”时，就会压缩掉从1数到9的过程，直接将9作为一个数数的结果参与运算，从而让操作活动从原生态走向简约态。
三、关注结构，从操作行为转向思维关系
动作技能和心智技能具有内在的联系，只要教师引导得法，就可将动作技能提升到心智技能的層面，而其中的关键是抓住结构——将学生原生态的操作结构化，并使这种结构与心智技能存在某种逻辑上的联系或对应。当然，在关注操作结构的同时必须完成对操作对象的逐步抽象和对操作过程的逐步简约。
如前所述“凑十法”具有明显的心智技能特点，摆小棒、掰手指具有明显的动作技能特点，而利用树形图显示运算过程则兼具二者的特点。现在结合“9 几”的教学，来谈谈如何从关注操作行为向关注思维关系转变。
第一步，引导学生清晰地完成原生态的操作，如计算“9 4”时先数9根小棒再数4根小棒，得到13根小棒。在这一阶段，教师要引导学生操作多种不同的实物对象，并且使操作过程流畅，思路清晰。
第二步，引导学生进行简约操作。如计算“9 5”时，先记住9，再数小棒。在这一阶段，主要引导学生将某些局部的操作过程压缩，只作为一个结果整体考虑。
第三步，引导学生关注数数的结构。在9后数5个数，学生一般会一个接一个地数，即数10，11，12，13，14。教师可以示范数数，先数一个，即数到10，然后停下来，问学生“老师数了几个数”“为什么只数了一个数就停下来”，引导学生关注与“凑十法”有关的信息。接着，问“如果老师用数小棒的方法计算‘8 6’，应该数几个停一下，为什么”。掰手指、数小棒等操作活动，都可以通过这种停顿、发问的方式引导学生将原生态的操作过程进行结构化处理，并且从关注操作活动转向关注动作的结构，提升操作活动的思维含量。
第四步，沟通动作技能与心智技能间的关系。教师可以这样引导摆小棒、掰手指的学生：计算“9 5”时，先把9根小棒记在心里（在图中写“9”），再考虑5根小棒（在下图中写“5”），然后数1根小棒（板书①），和前面的9根小棒合起来共10根小棒（板书②），此时还剩4根小棒（板书③），再和前面的10根小棒加起来，一共有14根小棒（板书④）。
“9 5”算法分解图
学生初步掌握“凑十法”后，教师还需要引导学生脱离具体的操作，进行纯粹的心智操作。如教师可以这样引导：“现在不要摆小棒，在头脑中想一想9 7应该怎样计算？8 7呢？”这样就能借助动态想象和思维表象，引导学生将外显的操作活动转化为内部的想象活动，即具有心智技能的特征。
这样的教学，不是以“凑十法”算得“又对又快”为理由诱导学生放弃自己原有的算法，而是立足于学生原有的认知基础和操作经验，通过智慧引导，通过对学生连续数数的行为进行结构化处理（先数1个再数4个），沟通了摆小棒与“凑十”“数的分解”等知识的联系，从而使“凑十法”成为学生原有算法的升华和优化。这样的教学，才是真正基于学生认知基础和思维现实的自主建构。
简言之，运算技能既具有层次性，也具有多样性，教师通过恰当的引导和智慧点拨，将动作技能的算法引向心智技能是完全可以实现的。
参考文献：
[1] 钟建林.小学数学运算技能教学策略研究[D].福州：福建师范大学，2017：12-13.
[2] 钟建林.小学数学专题式教学导引[M].福州：福建人民出版社，2012：228-230.
[3] 伍尔福克.教育心理学[M].何先友，等译.北京：中国轻工业出版社，2014：263.
[4] Bruner J.Towards a Theory of Instruction[M].Cambridge：Harvard University Press， 1966：22.
[5] 钟建林.小学数学主流话题、疑难问题透析[M].北京：教育科学出版社，2011：185-186.
（江苏省扬州大学教育科学学院 225009）