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为有在物质和几何学之间的任意的联合的概括 f (R) 严肃的领域方程的热力学的行为在二种 spacetime 被学习，即，两空间地同质的、各向同性的 FRW 宇宙和静态的、球状地对称的黑色洞 spacetime。有在物质和几何学之间的任意的联合的概括 f (R)严肃的领域方程能与被认为的熵生产术语 d $\\bar S$被扔到热力学的第一条法律的表格，它是相当一般的并且能堕落到爱因斯坦一般相关性和纯 f (R)严肃的盒子与非联合并且 nonminimal 作为特殊情况联合。熵生产术语 d $\\bar